2025年高考数学一轮复习考点突破和专题练习专题10函数模型及其应用（Word版附解析）

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1、几种常见的函数模型：
2、解函数应用问题的步骤：
（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；
（3）解模：求解数学模型，得出结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
一、单选题
1．（2024高三上·广东深圳·期末）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产万件该产品，需另投入成本万元.其中，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（ ）
A．720万元B．800万元
C．875万元D．900万元
【答案】C
【分析】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每年利润的最大值.
【详解】该企业每年利润为
当时，
在时，取得最大值；
当时，
（当且仅当时等号成立），即在时，取得最大值；
由，可得该企业每年利润的最大值为.
故选：C
2．（2024·浙江·二模）绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为（ ）（参考数据：）
A．0.58米B．0.87米C．1.17米D．1.73米
【答案】B
【分析】如图设横截面为等腰梯形，于，求出资金3万元都用完时，设，再根据梯形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】如图设横截面为等腰梯形，于，，
要使水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，
则，解得米，
设，则，故，且，
梯形的面积，
当时，，
此时，
即当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为0.87米.
故选：B.
3．（2024高三下·北京·开学考试）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤（ ）
（参考数据：）
A．2次B．3次C．4次D．5次
【答案】D
【分析】设出未知数，列出不等式，结合指数和对数运算法则计算出答案.
【详解】设经过次过滤后，水中杂质减少到原来的5%以下，
则，即，
不等式两边取常用对数得：，解得：，
故至少需要过滤5次.
故选：D
4．（2024·全国）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
5．（2024·全国）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
【答案】B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为，
，故至少需要志愿者名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
6．（2024·河南郑州·模拟预测）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位：）．水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为，保护对象的设计喷雾强度W为时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（参考数据：）（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】把给定的数据代入公式计算即可作答.
【详解】依题意，，，，，
由，，得，
所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个.
故选：C
7．（2024·四川成都·三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，若放在的空气中冷却，经过物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据及物体经过物体的温度为得出的值，再求出时的值即可．
【详解】由题意得，，，代入，
，即，
所以，
所以，
由题意得，，代入，
即，得，
即， 解得，
即若使物体的温度为，需要冷却，
故选：C．
8．（2024·福建福州·模拟预测）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于贷款人的年收入（单位：万元）的Lgistic，模型：，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（ ）（精确到0.01万元，参考数据：，）
A．4.65万元B．5.63万元C．6.40万元D．10.00万元
【答案】A
【分析】先根据题中数据代入计算函数中参数的值，然后计算时的值即可.
【详解】由题意，即，得，所以.
令，
得，
得，
得
得.
故选：A.
9．（2024·江苏南通·模拟预测）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）(参考数据：)
A．14次B．15次C．16次D．17次
【答案】C
【分析】依题运用特殊值求得函数模型中的值，然后运用函数模型得到关于的不等式，通过指、对运算求得的取值范围，即可得解．
【详解】依题意，，，当时，，即，可得，
于是，由，得，即，
则，又，因此，
所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．
故选：C
10．（2024·江西·二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式.若花同样的钱买到的级草莓比级草莓多倍，且级草莓的市场销售单价为元千克，则级草莓的市场销售单价最接近（ ）（参考数据：，）
A．元千克B．元千克C．元千克D．元千克
【答案】C
【分析】由指数运算，可得，求得的值.
【详解】由题可知，由则
.
故选：C.
11．（2024·重庆·模拟预测）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑，二类建筑．二类建筑室内甲醛浓度小于等于为安全范围，已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为，4周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（ ）
A．5周B．6周C．7周D．8周
【答案】B
【分析】根据题意列式求解可得，即，令运算求解即可.
【详解】由题意可得：，解得，
所以，
令，整理得，
因为，
故，则，所以至少需要放置6周.
故选：B.
12．（2024·山西朔州·模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数与每平米平均建筑成本（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：
则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用和楼层数的回归方程类型的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】通过观察散点图并结合选项函数的类型得出结果.
【详解】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类型，故C正确.
故选：C.
13．（2024·全国）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
14．（2024高二·全国·课后作业）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为
A．45.606B．45.6C．45.56D．45.51
【答案】B
【详解】主要考查构建函数模型，利用导数解决生活中的优化问题．
解：设甲地销售辆，依题意L1 +L2=5.06－0.15 +2（15－）==，所以当取整数10时，最大利润为45.6，故选B．
15．（2024高三上·北京东城·开学考试）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（ ）
（参考数据）
A．5B．7C．9D．10
【答案】B
【分析】根据已知条件求得，然后列不等式来求得的取值范围，进而求得的最小整数值.
【详解】当时，，
所以，由得，
，
所以的最小整数值为.
故选：B
16．（2024·四川）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是
A．16小时B．20小时C．24小时D．21小时
【答案】C
【详解】试题分析：，两式相除得，解得， 那么，当时，故选C．
考点：函数的应用
17．（2024·四川成都·模拟预测）某程序研发员开发的小程序在发布时已有1000名初始用户，经过t天后，用户人数，其中k和m均为常数．已知小程序发布经过10天后有4000名用户，则用户超过2万名至少经过的天数为（ ）（天数按整数算，取）.
A．20B．21C．22D．23
【答案】C
【分析】根据题中条件求得参数，继而列出不等式，结合对数的运算，即可求得答案.
【详解】由题意知，当时，，
又因为小程序发布经过10天后有4000名用户，
所以，
令，
所以
，
故用户超过2万名至少经过的天数为22，
故选：C
18．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）苂光定量PCR是一种通过化学物质的苂光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，苂光信号强度达到阀值时，DNA的数量与扩增次数满足，其中为DNA的初始数量，为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率约为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，得出方程，结合对数的运算性质，即可求解.
【详解】由题意，可得，即，
所以，可得，
解得.
故选：C.
19．（2024·湖南）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得．
考点：函数模型的应用．
20．（2024高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理，
求出的值，解方程即可求解.
【详解】由题可知加密密钥为，
由已知可得，当时，，
所以，解得，
故，显然令，即，
解得，即．
故选：A.
21．（2024高一上·全国·课后作业）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】法一：利用散点图看增长趋势确定函数，法二：结合表中数据，根据函数的性质判断.
【详解】法一：由表格数据得到如下散点图，为递增趋势，随变大增长率变小，只有B符合；

法二：对于A，函数是指数函数，增长速度很快，且在时，
时，代入值偏差较大，不符合要求；
对于B，函数，是对数函数，增长速度缓慢，
且在时，时，基本符合要求；
对于C，函数是二次函数，且当时，时，
代入值偏差较大，不符合要求；
对于D，函数，当时，代入值偏差较大，不符合要求，
故选：B.
22．（2024高一·全国·课后作业）四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是，，，，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在同一平面直角坐标系中画出函数，，，的图象,利用数形结合法判断.
【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数，，，的图象，如图所示：

由图象知：当时，，
故选：D．
二、多选题
23．（2024·辽宁大连·三模）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型：
其中正实数分别为甲､乙两方初始实力，为比赛时间；分别为甲､乙两方时刻的实力；正实数分别为甲对乙､乙对甲的比赛效果系数.规定当甲､乙两方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为.则下列结论正确的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若，则甲比赛胜利
D．若，则甲比赛胜利
【答案】ABD
【分析】计算，A正确，确定，化简得到B正确，甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可，计算得到，C错误D正确，得到答案.
【详解】对选项A：若且，则，
所以，由可得，正确；
对选项B：当时根据A中的结论可知，所以乙方实力先为0，
即，化简可得，
即，两边同时取对数可得，
即，即，正确；
对选项C：，若甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可，
设甲方实力为0时所用时间为，乙方实力为0时所用时间为，
即，可得，
同理可得，即，解得，
又因为都为正实数，所以可得，甲方获得比赛胜利，错误；
对选项D：根据C知正确；
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用函数的性质比较函数值大小，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用作差法比较函数值的大小关系是解题的关键.
24．（2024高一上·山东德州·阶段练习）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（ ）
A．野生水葫芦的面积每月增长量相等
B．野生水葫芦从蔓延到历时超过1个月
C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有
D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度
【答案】BC
【分析】根据图中数据可计算得出A、B、D选项；根据图像得到指数函数解析式，表示出，，，根据对数计算即可判断C选项.
【详解】由图可知野生水葫芦第一个月增长面积为，第二个月增长面积为，A错误；
由图可知野生水葫芦从蔓延到历时超过1个月，B正确；
野生水葫芦的面积与时间的函数关系为，，，
，，所以，C正确；
野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为
野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为，D错误.
故选：BC
25．（2024高一上·山东德州·期末）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：℃），环境温度是（单位：℃），其中、则经过t分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值）
A．若，则
B．若，则红茶下降到所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是，k约为0.22
D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多
【答案】AC
【分析】由题知，根据指对数运算和指数函数的性质依次讨论各选项求解．
【详解】解：由题知，
A选项：若，即，所以，则，A正确；
B选项：若，则，则，两边同时取对数得，所以，所以红茶下降到所需时间大约为7分钟，B错误；
C选项：5分钟后物体的温度是，即，则，得，所以，故C正确；
D选项：为指数型函数，如图，可得红茶温度从下降到所需的时间（）比从下降到所需的时间（）少，故D错误．
故选：AC．
26．（2024·广东·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分）之间满足函数关系y＝f（t），其中（R为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．排气12分钟后，人可以安全进入车库
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
【答案】BD
【分析】
由已知，找到函数模型，通过待定系数法得到函数解析式，再解不等式即可.
【详解】
因为，所以符合要求．
又
解得，a＝128，故B正确，A错误．
，
当时，即，得，
所以，即，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确，C错误，
故选：BD.
27．（2024·全国）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
28．（2024高三·全国·专题练习）某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车 .（精确到小时）
【答案】4
【分析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升时，才能开车，因此只需由，求出的值即可.
【详解】当时，由得，
解得，舍去；
当时，由得，即，
解得，
因为，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.
故答案为：4
29．（2024·浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时， ， ．
【答案】
【分析】将代入解方程组可得、值.
【详解】
【点睛】实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口．
30．（2024·北京朝阳·一模）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论：
①若且，则；
②若且，则；
③若，则红方获得战斗演习胜利；
④若，则红方获得战斗演习胜利．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出，所以①正确；对于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0，即解得，②正确；对于③和④，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间、，比较大小即可知③错误，④正确.
【详解】对于①，若且，则，
即，所以，
由可得，即①正确；
对于②，当时根据①中的结论可知，所以蓝方兵力先为0，
即，化简可得，
即，两边同时取对数可得，
即，所以战斗持续时长为，
所以②正确；
对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力为0时所用时间为，蓝方兵力为0时所用时间为，
即，可得
同理可得
即，解得
又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利；
所以可得③错误，④正确.
故答案为：①②④.
31．（2024高二上·广东深圳·期末）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为 .（参考数据：）
【答案】12
【分析】设每次操作留下的长度为，得到为等比数列，公比为，首项为，求出，
从而得到去掉的所有线段长度总和为，列出不等式，求出答案.
【详解】设每次操作留下的长度为，
则，，且每次操作留下的长度均为上一次操作留下长度的，
所以为等比数列，公比为，首项为，故，
所以经过次这样的操作后，去掉的所有线段长度总和为，
故，即，
两边取对数得：，
因为，所以，则n的最小值为12.
故答案为：12
32．（2024高三上·湖南常德·阶段练习）研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中为非零常数；已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处的 米的位置，信息素浓度为.
【答案】4
【分析】根据函数关系式将已知数据代入求解即可.
【详解】因为释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，
所以，所以，即
当时，，
整理得即，
所以，因为，所以.
故答案为:4.
33．（2024高三下·江苏南京·开学考试）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：．设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为 ．
【答案】
【分析】由推导出，进而可得.
【详解】由，得，
由，得，
将代入，得，
有，
所以，则，
所以.
故答案为：.
34．（2024·北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ．
【答案】 130. 15.
【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.
【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
35．（2024高三上·福建龙岩·阶段练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即.取贝尔的倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音强度（单位：分贝）与喷出的泉水最高高度（单位：米）之间满足关系式，若甲游客大喝一声的声强大约相当于个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为 .
【答案】
【分析】设甲、乙游客的声强分别为、，大喝一声激起的涌泉最高高度为、米，则代入两式相减可得答案.
【详解】设甲游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，
乙游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，
则，，
两式相减得，
甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为米．
故答案为：.
36．（2024高三下·北京海淀·阶段练习）科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”，即一种能完全吸收照在其表面的电磁波（光）的物体．然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率与该黑体的绝对温度的次方成正比，即，为玻尔兹曼常数．而我们在做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本实验结果为例，为纵坐标，以为横坐标，则能够近似得到 （曲线形状），那么如果继续研究该实验，若实验结果的曲线如图所示，试写出其可能的横纵坐标的变量形式 ．
【答案】 射线 为纵坐标，以为横坐标.
【分析】（1）由于，所以曲线是一条射线；（2）由于曲线的形状类似，所以曲线可知可能的横纵坐标的变量形式：为纵坐标，以为横坐标.
【详解】（1）因为，为玻尔兹曼常数．为纵坐标，以为横坐标，因为，所以，所以曲线是一条射线；
（2）由于曲线的形状类似，根据曲线可知可能的横纵坐标的变量形式：为纵坐标，以为横坐标，故答案为：为纵坐标，以为横坐标.
故答案为：（1）射线；（2）为纵坐标，以为横坐标.
【点睛】本题主要考查函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.
37．（2024高三下·河南平顶山·阶段练习）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸．课堂上，老师给每位同学发了一张长为12cm，宽为10cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠．若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折痕长度的取值范围是 cm．
【答案】
【分析】求出长方形纸片的面积，不妨设折痕将纸片分成两部分的面积分别为，，则，分三种情况，表达出折痕的平方，根据得到自变量的取值范围，结合函数的单调性，求出折痕长度的取值范围.
【详解】由题意得长方形纸片的面积为，不妨设折痕将纸片分成两部分的面积分别为，，且，则，．
如图，其中，
当折痕MN为图（1）所示的三角形一边时，
设，，则，解得，
则，
令，，则，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，，故，
故．
当折痕MN为图（2）所示的梯形一边时，
设，，则，解得，
则，，
根据二次函数的性质可知，，则．
当折痕MN为图（3）所示的梯形一边时，
设，，则，解得，
则，，
根据二次函数的性质可知，，则．
综上所述，折痕长度的取值范围为．
故答案为：
四、解答题
38．（2024高三·全国·对口高考）如图是下水道的一种横截面，上部为半圆，下部为矩形，若矩形下底边长为，此横截面面积为y，周长为l（常量），求：

(1)y与x之间的函数表达式及其定义域；
(2)的最大值.
【答案】(1)，定义域为；
(2).
【分析】（1）根据已知条件，先求出矩形的另一边长，再结合矩形面积公式和圆的面积公式，即可求解.
（2）根据已知条件，结合（1）的结论，以及配方法，即可求解.
【详解】（1）由题意可得，矩形的另一边长为，
则面积，
又，解得，
则y与x之间的函数表达式为，
其定义域为.
（2）由（1）知
，
因，
故当时，函数取得最大值.
39．（2024·江苏）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
【答案】（1）炮的最大射程是10千米．
（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
【详解】试题分析：（1）求炮的最大射程即求（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解
试题解析：（1）令y＝0，得kx－ （1＋k2）x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．
（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标
⇔存在k＞0，使3.2＝ka－ （1＋k2）a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0
⇔a≤6.
所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．
考点：函数模型的选择与应用
40．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表.
(1)根据上表数据，从①，②，③中选取一个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解析式；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.
【答案】(1)，
(2)当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.
【分析】（1）根据表中数据的关系可选③来描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系，而根据表中数据可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式.
（2）利用基本不等式可求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.
【详解】（1）每枚纪念章的最低市场价不是关于上市时间的单调函数，故选.
分别把，代入，得
解得，，∴，.
此时该函数的图象恰经过点，∴，.
（2）由（1）知，
当且仅当，即时，有最小值，且.
故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.
41．（2024·湖北）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.

（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【答案】（Ⅰ）y=225x+
（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
【详解】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值
试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m
则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
（2）
．当且仅当225x=时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
考点：函数模型的选择与应用
42．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）今年第5号台风“杜苏芮”显得格外凶悍。自福建南部沿海登陆以来，“杜苏芮”一路北上，国内不少城市因此遭遇了百年一遇的极端强降水天气，并伴随着洪涝、塌方、泥石流等次生灾害，其中对黑龙江哈尔滨等地影响尤为巨大，此次强降雨时段，不仅带来了严重的城市内涝，部分公路、桥梁发生不同程度水毁。哈尔滨五常市某农场已发现有的农田遭遇洪涝，每平方米农田受灾造成直接损失400元，且渗水面积将以每天的速度扩散.灾情发生后，某公司立即组织人力进行救援，每位救援人员每天可抢修农田，劳务费为每人每天400元，公司还为每位救援人员提供240元物资补贴.若安排名人员参与抢修，需要天完成抢修工作，渗水造成总损失为元（总损失=因渗水造成的直接损失+各项支出费用）.
(1)写出关于的函数解析式；
(2)应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小，并求出总损失.
【答案】(1) ；
(2)元.
【分析】（1）根据的关系，结合总损失的计算方法进行求解即可；
（2）利用基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）因为每位救援人员每天可抢修农田，需要天完成抢修工作，
所以可得，
显然可得，且，
因为总损失=因渗水造成的直接损失+各项支出费用，
所以，
把代入中，得 ；
（2）
即，当且仅当时取等号，即当时取等号，
所以应安排名人员参与抢修，才能使总损失最小，此时总损失为元.
43．（2024·广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）
【答案】为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．
【分析】设楼房应建为层，楼房每平方米的平均综合费为元，根据平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，列出函数关系式，然后运用导数函数的最小值，并求出此时的取值即可.
【详解】解：设楼房应建为层，楼房每平方米的平均综合费为元，
则

，
当且仅当，即时，取最小值2000．
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．
44．（024高三·黑龙江）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元)
(1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)4千克，480元﹒
【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值即可．
【详解】（1）依题意，又，
∴．
（2）当时，，开口向上，对称轴为，
在上单调递减，在上单调递增，
在上的最大值为．
当时，，
当且仅当时，即时等号成立．
∵，∴当时，．
∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．
45．（2024高一上·四川成都·期中）科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量（单位：克）的函数．研究过程中的部分数据如下表：
已知当时，，其中为常数．当时，和的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②且；③且；其中均为常数．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式；
(2)求该新材料的含量为多少克时，产品的性能达到最大．
【答案】(1)选择①的函数模型，理由见详解，此时解析式为：；
(2)当新材料的含量克时，产品的性能达到最大.
【分析】（1）根据表中所给数据，结合所给的三个函数分别验证说明即可，然后根据数据求出所选函数的解析式；
（2）由（1）及题意得出函数的解析式，然后利用函数的性质求出最值即可.
【详解】（1）由表格知当时，，
若选①，则，
若选②且，则，
此时且不满足时，，
故不选，
若选③且，时无意义，故不选，
所以选①的函数模型来描述之间的关系，
由题意有当时，由，
且时得：；
当时得：；
当时得：；
联立，解得：，
所以当时，.
（2）由（1）当时，，
又当时，，
将代入上式有：，
解得：，
即当时，
综上有，
当时，，
所以当时，取到最大值，
当时，单调递减，
所以当时，，
故当新材料的含量克时，产品的性能达到最大.
函数模型
函数解析式
一次函数模型
，为常数且
反比例函数模型
，为常数且
二次函数模型
，，为常数且
指数函数模型
，，为常数，，，
对数函数模型
，，为常数，，，
幂函数模型
，为常数，
（一）
二次函数模型与分段函数模型
1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏．
题型1：二次函数模型
1-1．（2024高二上·山东潍坊·期末）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过.已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（ ）
A．甲、乙两车均超速B．甲车超速但乙车未超速
C．乙车超速但甲车未超速D．甲、乙两车均未超速
【答案】C
【分析】根据题意列出方程即可确定是否超速.
【详解】对于甲车，令，即
解得（舍）或，所以甲未超速；
对于甲车，令，即
解得（舍）或，所以乙超速；
故选:C.
1-2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据题意解出长度，设，得到，再分析求值域，判断取等条件即可求解.
【详解】设，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：，，
所以，且，
所以，
又，所以，解得，即，
设，，则，
，所以在中，
有，
令，所以，
所以，
因为，所以，则要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，
令， ，
所以的对称轴为：，所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，即最大，此时，即，
所以，所以，即为获得最佳的射门角度（即最大），
则射门时甲离上方端线的距离为：.
故选：B.
1-3．（2024·北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟
【答案】B
【详解】由图形可知，三点都在函数的图象上，
所以，解得，
所以，因为，所以当时，取最大值，
故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.
考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
题型2：分段函数模型
2-1．（2024·云南·二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数
5-10件
11-50件
51-100件
101-300件
300件以上
每件价格
37元
32元
30元
27元
25元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ ）
A．116件B．110件C．107件D．106件
【答案】C
【分析】根据题意，设购买的件数为，花费为元，根据表中的数据列出满足的函数关系式，当时，求出的最大值即可.
【详解】设购买的件数为，花费为元，
则，当时，，
当时，，所以最多可购买这种产品件，
故选：C.
2-2．（2024·四川绵阳·模拟预测）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三挡：月用电量不超过200度的部分按元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按元/度收费，超过400度的部分按元/度收费.

(1)求某户居民月用电费（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目条件，分段列出函数解析式即可；
（2）将代入（1）中解析式得到的值，再结合频率分布直方图求的值；
【详解】（1）当时，；
当时，，
当时，，
所以与之间的函数解析式为，
（2）由（1）可知：当时，，则，
结合频率分布直方图可知：，
∴
2-3．（2024·全国）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以（单位：t，100≤≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
（Ⅰ）将T表示为的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）0.7
【详解】试题分析：（I）由题意先分段写出，当X∈[100，130）时，当X∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．
（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．
解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T=500X﹣300（130﹣X）=800X﹣39000，
当X∈[130，150]时，T=500×130=65000，
∴T=．
（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．
由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，
所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．
考点：频率分布直方图．
2-4．（2024高一上·江西赣州·期中）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其它总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元）．
(1)求的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当投入的肥料费用为6元时，该单株农作物获得的利润最大，最大利润为52元
【分析】（1）根据利润毛收入成本可得结果；
（2）分段求出最大值，再两者中的更大的为最大值.
【详解】（1）由题意可得，
所以函数的函数关系式为
（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以，
当时， ，
当且仅当，即时等号成立，此时
综上：当投入的肥料费用为6元时，单株农作物获得的利润最大为52元.
2-5．（2024高二下·四川眉山·阶段练习）某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量，（，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为元.
(1)求商店日利润关于需求量的函数表达式；
(2)估计日利润在区间内的概率.
【答案】(1)
(2)0.54
【分析】（1）根据题意列出分段函数解析式，即得答案；
（2）判断的单调性，确定日利润在区间内的概率即为求海鲜需求量在区间的频率，结合频率分布直方图可得答案.
【详解】（1）商店的日利润关于需求量的函数表达式为：,
化简得：.
（2）由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
由于时，,
故在区间上单调递增，
令，得；令，得；
故求日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率，
即为；
2-6．（2024·全国）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
【答案】（1）
2）（i）
（ii）应购进17枝
【详解】（1）当时，
当时，
得：
（2）（i）可取，，
的分布列为
（ii）购进17枝时，当天的利润为
得：应购进17枝
（二）
对勾函数模型
1、解决此类问题一定要注意函数定义域；
2、利用模型求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
题型3：对勾函数模型
3-1．（2024高三下·河北唐山·阶段练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为 ．（本题中取进行计算）
【答案】
【分析】设圆弧的半径为x，根据平面几何知识写出关于x的函数关系式，运用基本不等式求解函数的最大值即可.
【详解】设圆弧的半径为，根据题意可得：
令，则
根据基本不等式，，当却仅当 ，即时取“=”.
， 时，
故答案为：.
3-2．（2024高一下·浙江·期末）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分．已知扇环周长，大扇形半径，设小扇形半径，弧度，则
①关于x的函数关系式 ．
②若雕刻费用关于x的解析式为，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为 ．
【答案】 ，；
【分析】利用弧长公式求与根据扇环周长可得关于x的函数关系式；根据扇形面积公式求出扇环面积，进而得出砖雕面积与雕刻费用之比，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意可知，， ，，
所以，，，
扇环周长，
解得，
砖雕面积即为图中环形面积，记为，
则
，
即雕刻面积与雕刻费用之比为，
则，
令，则，

，当且仅当时（即）取等号，
所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为.
故答案为：，；
3-3．（2024高三·全国·专题练习）某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，求得关于的表达式，利用基本不等式求出的最小值及其对应的值，即可得出结论.
【详解】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，
则年后的设备维护费用为，
所以年的平均费用为（万元），
当且仅当时，等号成立，
因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为.
故选：B.
（三）
指数型函数、对数型函数、幂函数模型
1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型．
2、在解决指数型函数、对数型函数、幂函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图像求解最值问题．
题型4：指数型函数
4-1．（2024高三下·云南·阶段练习）近年来，天然气表观消费量从2006年的不到m3激增到2021年的m3. 从2000年开始统计，记k表示从2000年开始的第几年，，.经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合，其中是从2000年后第k年天然气消费量，是2000年的天然气消费量，是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然气消费量为m3，2018年的天然气消费量为m3，根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为（ ）
（参考数据：，
A．m3B．m3
C．m3D．m3
【答案】B
【分析】由题意，，，由已知数据解出，再由，代入参考数据计算即可.
【详解】据题意，，两式相除可得，
又因为，
故选：B．
4-2．（2024·山东）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
【答案】B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
4-3．（2024·浙江·二模）提丢斯一波得定则，简称“波得定律”，是表示各行星与太阳平均距离的一种经验规则.它是在1766年德国的一位中学教师戴维·提丢斯发现的.后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个如下经验公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1，若某行星的编号为n，则该行星到太阳的平均距离表示为，那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于（ ）
行星
金星
地球
火星
谷神星
木星
土星
天王星
海王星
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
公式推得值
0.7
1
1.6
2.8
5.2
10
19.6
38.8
实测值
0.72
1
1.52
2.9
5.2
9.54
19.18
30.06
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】代入数据计算的值即可.
【详解】由表格可得，
故选：D
题型5：对数型函数
5-1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般情况下不低于，否则为供养不足.在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:描述血氧饱和度（单位）随机给氧时间（单位:时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为，若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ ）小时.（参考数据:）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，分别表示出与的范围，然后结合对数的运算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，则，，
所以，
则使血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时.
故选：D.
5-2．（2024·全国·二模）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据已知的浓度解析式，代入变量，结合对数的运算，化简求值.
【详解】由题意，，
所以），
即．又，所以．
因为，所以．
故选：B．
5-3．（2024·四川绵阳·二模）经研究发现：某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得信息素浓度y满足函数（A，K为非零常数）．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4秒后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（ ）米．
A．B．2C．D．4
【答案】D
【分析】根据已知数据可得，再根据即可求出值.
【详解】由题知：当，时，，
代入得：
，
当，时，
，
即，
而，
解得：或（舍）
故选：D.
题型6：幂函数模型
6-1．（2024高三上·安徽亳州·阶段练习）“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种花如桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽毫州的诗句，毫州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.毫州自商汤建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了毫州医药的发展，到明､清时期毫州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首.毫州建有全球规模最大､设施最好､档次最高的“中国（毫州）中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心.某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在2021年的价格浮动最大的一个月内（以30天计）日平均销售单价（单位：元/千克）与第天（）的函数关系满足（为正常数）.该中药材的日销售量（单位：千克）与的部分数据如下表所示：
4
10
20
30
149
155
165
155
已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.（日销售收入=日销售单价日销售量）
(1)求的值；
(2)给出以下四种函数模型：①，②，③，④，请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入（单位：元）的最小值.
【答案】(1)
(2)③，，最小值为3125元
【分析】（1）根据题中条件，第天该中药的日销售收入为元，将其代入函数关系式中即可求出的值；
（2）首先根据数据的变化规律和特点选定合适的销售量函数，再根据函数的解析式结合均值定理求解日销售收入的最小值即可.
【详解】（1）由时，，得；
（2）因为数据有增有减，①④不合符题意，
将二三组数据代入②类函数解析式可得：
，解得：，
即得②类函数解析式为.
将二三组数据代入③类函数解析式可得：
，解得：，
即得③类函数解析式为，
将第一组数据代入，
可知：，
将第一组数据代入，
可知：，
因此最合适.
当时
，
当且仅当时，等号成立
当时
函数在上单调递减，
所以，当且仅当时，等号成立
综上可知，当或日销售收入最小值为3125元.
6-2．（2024·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10%B．20%C．22%D．32%
【答案】B
【分析】设年平均增长率为，依题意列方程求即可.
【详解】由题意，设年平均增长率为，则，
所以，故年平均增长率为20%.
故选：B
6-3．（2024·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解．
【详解】设初始状态为，则，，
又，，即，
，，，，．
故选：D．
（四）
已知函数模型的实际问题
求解已知函数模型解决实际问题的关键
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
题型7：已知函数模型的实际问题
7-1．（2024高三·全国·专题练习）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要.则的值为 ．
【答案】
【分析】根据所给模型代入数据，即可根据指对互化求解.
【详解】由题意，把，，，代入中，
得，所以，
所以，解得.
故答案为：.
7-2．（2024高二下·浙江宁波·学业考试）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米．
【答案】
【分析】根据题意可得函数，利用基本不等式求解.
【详解】由题意及，可得，即，
∴．
隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和（万元），
当且仅当，即（厘米）时达到最小值．
故答案为: .
7-3．（2024·四川宜宾·模拟预测）当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式，（其中为生物死亡之初体内的碳14含量，为死亡时间（单位：年），通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为，则该生物的死亡时间大约是 年前．
【答案】
【分析】根据题意，列出方程，求得的值，即可得到答案.
【详解】由题意，生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式 ，
因为测定发现某古生物遗体中碳14含量为，
令，可得，所以，解得年.
故答案为：年.
7-4．（2024高一上·福建三明·阶段练习）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数）．根据图所提供的信息，回答下列问题：

（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为 ；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
【答案】 /
【分析】（1）当时，可设，把点代入直线方程求得，得到直线方程；当时，把点代入求得，曲线方程可得．最后综合可得答案．
（2）分析可知只有当药物释放完毕，室内药量减少到毫克以下时学生方可进入教室，可出，解此不等式组即可得解.
【详解】解：（1）依题意，当时，设，则，解得，
将代入可得，解得.
综上所述，.
（2）由题意可得，因为药物释放过程中室内药量一直在增加，
即使药量小于毫克，学生也不能进入教室，
所以只有当药物释放完毕，室内药量减少到毫克以下时学生方可进入教室，
即，解得，
由题意至少需要经过小时后，学生才能回到教室．
故答案为：（1）；（2）.
7-5．（2024·江西南昌·二模）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是 万元.
【答案】
【分析】根据题意，得到，进而得到月利润的表示，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足，
即，
所以月利润为
，
当且仅当时，即时取等号，
即月最大利润为万元.
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及基本不等式的应用，其中解答中认真审题，得到月利润的函数解析式，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
7-6．（2024·福建福州·三模）某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的值.假定，那么在时，GDP增长的速度大约是 .（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：，当取很小的正数时，
【答案】0.52
【分析】由题可得GDP增长的速度为，进而即得.
【详解】由题可知，
所以，
所以,
即GDP增长的速度大约是.
故答案为：.
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
上市时间/天
2
6
32
市场价/元
148
60
73
（单位：克）
0
2
6
10
…
－4
8
8
…