2025年新高考数学一轮复习第3章重难点突破05利用导数研究恒(能)成立问题(十一大题型)练习(学生版+教师版)

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\l "_Tc169104511" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc169104511 \h 2
\l "_Tc169104512" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc169104512 \h 3
\l "_Tc169104513" 题型一：直接法 PAGEREF _Tc169104513 \h 3
\l "_Tc169104514" 题型二：端点恒成立 PAGEREF _Tc169104514 \h 5
\l "_Tc169104515" 题型三：端点不成立 PAGEREF _Tc169104515 \h 6
\l "_Tc169104516" 题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离 PAGEREF _Tc169104516 \h 7
\l "_Tc169104517" 题型五：洛必达法则 PAGEREF _Tc169104517 \h 9
\l "_Tc169104518" 题型六：同构法与朗博同构 PAGEREF _Tc169104518 \h 10
\l "_Tc169104519" 题型七：必要性探路 PAGEREF _Tc169104519 \h 11
\l "_Tc169104520" 题型八：max，min函数问题 PAGEREF _Tc169104520 \h 13
\l "_Tc169104521" 题型九：构造函数技巧 PAGEREF _Tc169104521 \h 14
\l "_Tc169104522" 题型十：双变量最值问题 PAGEREF _Tc169104522 \h 16
\l "_Tc169104523" 题型十一：恒成立问题求参数的具体值 PAGEREF _Tc169104523 \h 17
\l "_Tc169104524" 03过关测试 PAGEREF _Tc169104524 \h 18
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，．
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集．
4、法则1若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点的去心 \t "" 邻域内，与可导且；
（3），
那么=．
法则2若函数和满足下列条件：（1）及；
（2），和在与上可导，且；
（3），
那么=．
法则3若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点的去心 \t "" 邻域内，与可导且；
（3），
那么=．
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立．
（2）洛必达法则可处理，，，，，，型．
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
题型一：直接法
【典例1-1】（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，．
(1)试比较与的大小；
(2)若恒成立，求的取值范围．
【典例1-2】（2024·山西·模拟预测）已知函数，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
【变式1-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
【变式1-2】（2024·湖南衡阳·三模）已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【变式1-3】（2024·四川成都·模拟预测）设
(1)当，求函数的零点个数.
(2)函数，若对任意，恒有，求实数的取值范围
题型二：端点恒成立
【典例2-1】（2024·广西·三模）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，求的取值范围.
【典例2-2】（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)若有3个极值点，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【变式2-1】（2024·山西·三模）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)当时，恒成立，求的取值范围
【变式2-2】（2024·河北·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
题型三：端点不成立
【典例3-1】（2024·河南郑州·模拟预测）已知．（）
(1)讨论的单调性；
(2)若，且存在，使得，求的取值范围．
【典例3-2】（2024·山东泰安·三模）已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)若，且，求的取值范围.
【变式3-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数（，）在点处的切线方程为．
(1)求函数的极值；
(2)设（），若恒成立，求的取值范围．
【变式3-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）.
(1)若的图象在点处的切线经过原点，求；
(2)对任意的，有，求的取值范围.
【变式3-3】（2024·浙江金华·三模）已知函数在（为自然对数的底数）处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)若不等式恒成立，求k的范围．
题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
【典例4-1】（2024·陕西咸阳·三模）已知函数.
(1)当时，求函数极值；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【典例4-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，函数．
(1)若直线与函数交于点A，直线与函数交于点B，且函数在点A处的切线与函数在点B处的切线相互平行或重合，求a的取值范围；
(2)函数在其定义域内有两个不同的极值点，，且，存在实数使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式4-1】已知函数．
(1)若函数，，讨论函数的单调性；
(2)若不等式恒成立，求实数b的取值范围．
【变式4-2】（2024·山东济南·三模）已知函数，其中且．
(1)若是偶函数，求a的值；
(2)若时，，求a的取值范围．
【变式4-3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设函数的两个极值点分别为．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
【变式4-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与轴平行．
(1)求实数的值；
(2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
【变式4-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
题型五：洛必达法则
【典例5-1】已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【典例5-2】设函数.当时，，求的取值范围.
【变式5-1】设函数．如果对任何，都有，求的取值范围．
【变式5-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若对任意的恒成立，求的范围.
题型六：同构法与朗博同构
【典例6-1】已知函数.
(1)若，判断的零点个数；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【变式6-1】已知函数，其中.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.
【变式6-2】（2024·海南海口·一模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知，若存在，不等式成立，求实数的最大值.
【变式6-3】（2024·云南·模拟预测）已知函数
(1)若函数在处的切线也与函数的图象相切，求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【变式6-4】（2024·内蒙古·三模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围.
题型七：必要性探路
【典例7-1】（2024·江西九江·统考三模）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性：
(2)当时，若，，求实数m的取值范围．
【典例7-2】已知函数）在处的切线斜率为.
(1)求a的值；
(2)若，，求实数m的取值范围.
【变式7-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的零点个数；
(2)已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.
【变式7-2】（2024·浙江温州·模拟预测）函数
(1)求的单调区间.
(2)若在时恒成立，求的取值范围.
【变式7-3】（2024·湖北·模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【变式7-4】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数在区间上零点的个数；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式7-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，其中为常数.
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)若，，求实数的取值范围.
【变式7-6】（2024·重庆·三模）已知函数.
(1)若，求在点处的切线方程，并求函数的单调区间:
(2)若在定义域上的值域是的子集，求实数的取值范围.
题型八：max，min函数问题
【典例8-1】已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【典例8-2】已知是自然对数的底数，函数，直线为曲线的切线，．
(1)求的单调区间；
(2)求的值；
(3)定义函数，在上单调递增，求实数的取值范围．
【变式8-1】已知函数，，设表示，的最大值，设.
(1)讨论在上的零点个数；
(2)当时，求的取值范围.
【变式8-2】已知函数，，其中.
(1)证明：当时，；当时，；
(2)用表示中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，请说明理由.
【变式8-3】已知为实数，函数.
(1)若函数在处的切线斜率为2，求的值；
(2)讨论函数在上的零点个数；
(3)设表示的最大值，设.当时，，求的取值范围.
题型九：构造函数技巧
【典例9-1】已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
【典例9-2】已知关于x的函数与在区间D上恒有．
（1）若，求h(x)的表达式；
（2）若，求k的取值范围；
（3）若求证：．
【变式9-1】已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【变式9-2】已知函数.
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【变式9-3】已知函数．
(1)判断的导函数的零点个数；
(2)若，求a的取值范围．
【变式9-4】（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数，（e为自然对数的底数）．
(1)若函数的最大值为0，求a的值；
(2)若对于任意正数x，恒成立，求实数a的取值范围．
题型十：双变量最值问题
【典例10-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知关于不等式对任意和正数恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【典例10-2】（2024·江苏·模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．－1C．D．－2
【变式10-1】若对于任意正实数，都有( 为自然对数的底数)成立，则的最小值是 .
【变式10-2】已知函数，，其中
(1)若，且的图象与的图象相切，求的值；
(2)若对任意的恒成立，求的最大值.
【变式10-3】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）已知函数，，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若曲线在点(1，0)处的切线为l : x＋y－1＝0，求a，b的值；
（3）若恒成立，求的最大值．
题型十一：恒成立问题求参数的具体值
【典例11-1】已知函数．
(1)当时，讨论在区间上的单调性；
(2)若，求的值．
【典例11-2】（2024·福建福州·模拟预测）已知函数，，其中为自然对数的底数.
(1)证明：时，；
(2)求函数在内的零点个数；
(3)若，求的取值范围.
【变式11-1】（2024·河北保定·三模）已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值集合.
【变式11-2】（2024·福建福州·三模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求的值
1．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数（其中），.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)当时，若恒成立，求的取值范围.
2．（2024·甘肃酒泉·三模）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围．
3．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若为增函数，求的取值范围.
4．（2024·广西·模拟预测）设函数，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)证明：．
5．（2024·江西·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程为．
(1)求a，b的值；
(2)求的单调区间；
(3)已知，且，证明：对任意的，．
6．（2024·河南·三模）已知函数.
(1)如果，求曲线在处的切线方程；
(2)如果对于任意的都有且，求实数满足的条件.
7．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对于任意，都有，求实数a的取值范围.
8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
9．（2024·河南信阳·模拟预测）设函数，
(1)已知对任意恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知直线与曲线，分别切于点，，其中．
①求证：；
②已知对任意恒成立，求的取值范围．
10．（2024·黑龙江·三模）设函数
(1)讨论的单调性;
(2)若为正数，且存在，使得求的取值范围.
11．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数．
(1)若存在唯一的负整数，使得，求的取值范围；
(2)若，当时，，求的取值范围．
12．（2024·福建厦门·三模）已知函数.
(1)若，设，讨论函数的单调性；
(2)令，若存在，使得，求的取值范围.
13．（2024·云南昭通·模拟预测）设函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，求实数的取值范围.
14．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.
15．（2024·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
16．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
17．（2024·河南·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)，，求的取值范围.
(1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值；
(2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
23．（2024·北京通州·二模）已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．
24．（2024·云南昆明·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，，求a的取值范围．
25．（2024·天津·二模）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线的斜率为2，求的值；
(2)当时，证明：，；
(3)若在区间上恒成立，求的取值范围．
26．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数，若曲线不在轴的上方，求实数的取值范围.
27．（2024·江西南昌·二模）已知且.
(1)当时，求证：在上单调递增;
(2)设，已知，有不等式恒成立，求实数的取值范围.