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    2025年新高考数学一轮复习第3章拔高点突破02极值点偏移问题与拐点偏移问题(七大题型)练习(学生版+教师版)

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    2025年新高考数学一轮复习第3章拔高点突破02极值点偏移问题与拐点偏移问题(七大题型)练习(学生版+教师版)

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    这是一份2025年新高考数学一轮复习第3章拔高点突破02极值点偏移问题与拐点偏移问题(七大题型)练习(学生版+教师版),文件包含2025年新高考数学一轮复习第3章拔高点突破02极值点偏移问题与拐点偏移问题七大题型教师版docx、2025年新高考数学一轮复习第3章拔高点突破02极值点偏移问题与拐点偏移问题七大题型学生版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共73页, 欢迎下载使用。
    \l "_Tc169256132" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc169256132 \h 2
    \l "_Tc169256133" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc169256133 \h 3
    \l "_Tc169256134" 题型一:极值点偏移:加法型 PAGEREF _Tc169256134 \h 3
    \l "_Tc169256135" 题型二:极值点偏移:减法型 PAGEREF _Tc169256135 \h 8
    \l "_Tc169256136" 题型三:极值点偏移:乘积型 PAGEREF _Tc169256136 \h 13
    \l "_Tc169256137" 题型四:极值点偏移:商型 PAGEREF _Tc169256137 \h 20
    \l "_Tc169256138" 题型五:极值点偏移:平方型 PAGEREF _Tc169256138 \h 28
    \l "_Tc169256139" 题型六:极值点偏移:混合型 PAGEREF _Tc169256139 \h 33
    \l "_Tc169256140" 题型七:拐点偏移问题 PAGEREF _Tc169256140 \h 39
    \l "_Tc169256141" 03 过关测试 PAGEREF _Tc169256141 \h 44
    1、极值点偏移的相关概念
    所谓极值点偏移,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值,且函数与直线交于两点,则的中点为,而往往。如下图所示。

    图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
    极值点偏移的定义:对于函数在区间内只有一个极值点,方程的解分别为,且,(1)若,则称函数在区间上极值点偏移;(2)若,则函数在区间上极值点左偏,简称极值点左偏;(3)若,则函数在区间上极值点右偏,简称极值点右偏。
    2、对称变换
    主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下:(1)定函数(极值点为),即利用导函数符号的变化判断函数单调性,进而确定函数的极值点x0.
    (2)构造函数,即根据极值点构造对称函数,若证 ,则令.
    (3)判断单调性,即利用导数讨论的单调性.
    (4)比较大小,即判断函数在某段区间上的正负,并得出与的大小关系.
    (5)转化,即利用函数的单调性,将与的大小关系转化为与之间的关系,进而得到所证或所求.
    【注意】若要证明的符号问题,还需进一步讨论与x0的大小,得出所在的单调区间,从而得出该处导数值的正负.
    构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法,函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效
    3、应用对数平均不等式证明极值点偏移:
    ①由题中等式中产生对数;
    ②将所得含对数的等式进行变形得到;
    ③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
    4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径,然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
    题型一:极值点偏移:加法型
    【典例1-1】(2024·四川南充·一模)已知函数有两个不同的零点.
    (1)求实数的取值范围;
    (2)求证:.
    【解析】(1)的定义域为,
    因为,所以当时,,当时,,
    所以在上单调递减,在上单调递增,
    所以当时,取得最小值.
    又当x趋近于0或时,趋于,
    所以,要使有两个不同的零点,只需满足,即.
    所以实数的取值范围为.
    (2)不妨设,由(1)可知,,则,
    要证,只需证,
    又在上单调递增,所以只需证,即证.
    记,
    则,
    当时,,单调递增,
    又,
    所以,即.
    所以.
    【典例1-2】(2024·安徽马鞍山·一模)设函数.
    (1)若对恒成立,求实数的取值范围;
    (2)已知方程有两个不同的根、,求证:,其中为自然对数的底数.
    【解析】(1)由,得.
    令,,则,
    令,则.
    所以,函数在上单增,故.
    ①当时,则,所以在上单增,,
    此时对恒成立,符合题意;
    ②当时,,,
    故存在使得,
    当时,,则单调递减,此时,不符合题意.
    综上,实数的取值范围.
    (2)证明:由(1)中结论,取,有,即.
    不妨设,,则,整理得.
    于是,
    即.
    【变式1-1】(2024·甘肃酒泉·模拟预测)已知函数.
    (1)求曲线在点处的切线方程;
    (2)若(为的导函数),方程有两个不等实根、,求证:.
    【解析】(1)因为,则,所以,,,
    所以,曲线在点处的切线方程为,即.
    (2)证明:因为,,所以.
    因为为增函数,所以在上单调递减,在上单调递增.
    由方程有两个不等实根、,则可设,
    欲证,即证,
    即证,而,即,
    即,
    设,其中,
    则,设,
    则,所以,函数在上单调递增,
    所以,所以在上单调递减,
    所以,即,故得证.
    【变式1-2】(2024·安徽淮南·二模)已知函数.
    (1)若,证明:时,;
    (2)若函数恰有三个零点,证明:.
    【解析】(1)时,函数,
    则,
    在上单调递增,
    所以.
    (2),显然为函数的一个零点,设为;
    设函数,
    当时,,当时,,
    故在上单调递减,在上单调递增.
    由已知,必有两个零点,且,下证:.
    设函数,则,

    由于,则,
    由(1)有,故,
    即函数在上单调递减,
    所以,
    即有,
    由于,且在上单调递增,
    所以,
    所以.
    【变式1-3】(2024·河南新乡·三模)已知函数.
    (1)讨论的单调性.
    (2)若函数有两个零点 ,且,证明:.
    【解析】(1)函数的定义域为,.
    ①当时,令,得,则在上单调递减;
    令,得,则在上单调递增.
    ②当时,令,得,则在上单调递减;
    令,得,则在上单调递增.
    综上所述,当时,在上单调递减,在上单调递增;
    当时,在上单调递减,在上单调递增.
    (2)证明:因为为的两个零点,所以,,
    两式相减,可得,即,,
    因此,,.
    令,则,
    令,则,
    所以函数在上单调递增,所以,即.
    因为,所以,故得证.
    题型二:极值点偏移:减法型
    【典例2-1】已知函数.
    (1)当时,讨论的单调性;
    (2)当时,若方程有三个不相等的实数根,且,证明:.
    【解析】(1)由题意可知:的定义域为,

    令,可得,且,
    即,
    ,可知在内恒成立,
    即在内恒成立,所以在内单调递增.
    (2)当时,可得,


    故在内单调递增,在内单调递减,
    由题意可得:,
    因为,
    令,
    则,
    可知在内单调递增,
    则,可得在内恒成立,
    因为,则,
    且在内单调递减
    则,即;
    令,
    则,
    可知在内单调递增,则,
    可得在内恒成立,
    因为,则,
    且在内单调递增,
    则,即;
    由和可得.
    【典例2-2】(2024·湖南邵阳·一模)已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)当时,方程有三个不相等的实数根,分别记为.
    ①求的取值范围;
    ②证明.
    【解析】(1)函数的定义域为.
    又,令,得.
    当,即时,在恒成立,.
    当,即时,方程有两根,可求得:,
    因为所以,
    当和时,,为增函数,
    当时,,为减函数.
    综上:当时,在上单调递增,
    当时,在和上单调递增,在上单调递减.
    (2)当时,.
    ①方程有三个不相等的实数根,
    即方程在上有三个不相等的实数根.
    令,
    则,
    令,求得:或,
    则当或时,,
    当时,,
    则在和上单调递增,在上单调递减,
    存在极大值为,存在极小值,
    且当时,,当时,.
    要使方程有三个不相等的实数根,则
    的取值范围为.
    ②证明:设方程三个不相等的实数根分别为:,且,
    由①可得,要证,
    只需证,即证,
    当时,在和上单调递增,在上单调递减,
    且当时,,当时,.
    由,
    构造函数,
    ,当时,在上单调递增,
    ,即在上恒成立,
    又,则有:,
    又,且在上单调递减,
    ,即.
    构造函数,
    ,当时在上单调递增.
    ,即在上恒成立.
    又,则.即,
    由,则.
    在上单调递增,.
    又,则可证得:.
    【变式2-1】已知函数.
    (1)讨论的单调区间;
    (2)已知,设的两个极值点为,且存在,使得的图象与有三个公共点;
    ①求证:;
    ②求证:.
    【解析】(1),,
    其中,,
    当时,即,此时恒成立,
    函数在区间单调递增,
    当时,即或,
    当时,在区间上恒成立,
    即函数在区间上单调递增,
    当时,,得或,
    当,或时,,
    当时,,
    所以函数的单调递增区间是和,
    单调递减区间是,
    综上可知,当时,函数的单调递增区间是;
    当时,函数的单调递增区间是和,
    单调递减区间是;
    (2)①由(1)知,当时,函数的单调递增区间是和,
    单调递减区间是,、是方程的两根,
    有,,
    又的图象与有三个公共点,
    故,则,
    要证,即证,又,
    且函数在上单调递减,即可证,
    又,即可证,
    令,,
    由,

    恒成立,
    故在上单调递增,即,
    即恒成立,即得证;
    ②由,则,
    令,,


    故在上单调递增,即,
    即当时,,
    由,故,又,故,
    由,,函数在上单调递减,故,
    即,又由①知,故,
    又,
    故.
    题型三:极值点偏移:乘积型
    【典例3-1】(2024·全国·模拟预测)已知函数.
    (1)求的单调区间;
    (2)若有两个零点,,且,求证:.
    【解析】(1)因为函数的定义域是,,
    当时,,所以在上单调递减;
    当时,令,解得,
    当时,,单调递增;当时,,单调递减.
    综上所述,当时,的减区间为,无增区间;
    当时,的增区间为,减区间为.
    (2)因为是函的两个零点,由(1)知,
    因为,设,则,
    当,,当,,
    所以在上单调递增,在上单调递减,.
    又因为,且,
    所以,.
    首先证明:.
    由题意,得,设,则
    两式相除,得.
    要证,只要证,即证.
    只要证,即证.
    设,.
    因为,所以在上单调递增.
    所以,即证得①.
    其次证明:.设,.
    因为,所以在上单调递减.
    所以,
    即.
    所以②.
    由①②可证得.
    【典例3-2】(2024·北京通州·三模)已知函数
    (1)已知f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为,求实数a的值;
    (2)已知f(x)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围.
    (3)已知有两个零点,,求实数a的取值范围并证明.
    【解析】(1)因为,所以.
    所以,又f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为,
    所以,解得..
    (2)f(x)的定义域为(0,+∞),因为f(x)在定义域上为增函数,
    所以在(0,+∞)上恒成立.
    即恒成立.,即,
    令,所以,
    时,时,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    所以,即.
    (3)
    定义域为
    当时,,所以在(0,+∞)上单调递减,不合题意.
    当时,
    在(0,)上单调递减,在上单调递增,
    所以的最小值为,
    函数存在两个零点的必要条件是,
    即,又,
    所以在(1,)上存在一个零点().
    当时,,所以在(,+∞)上存在一个零点,
    综上函数有两个零点,实数a的取值范围是.
    不妨设两个零点
    由,所以,
    所以,所以,
    要证,
    只需证,
    只需证,
    由,
    只需证,
    只需证,
    只需证,
    令,只需证,
    令,

    ∴H(t)在(0,1)上单调递增,∴,
    即成立,
    所以成立.
    【变式3-1】(2024·湖北武汉·模拟预测)已知.
    (1)当时,讨论函数的极值点个数;
    (2)若存在,,使,求证:.
    【解析】(1)当时,,则,
    当时,,
    故在上单调递增,不存在极值点;
    当时,令,则总成立,
    故函数即在上单调递增,
    且,,所以存在,使得,
    所以当时,,单调递减;当时,,单调递增;
    故在上存在唯一极值点,
    综上,当时,函数的极值点有且仅有一个.
    (2)由知,
    整理得,(*),
    不妨令,则,故在上单调递增,
    当时,有,即,
    那么,
    因此,(*)即转化为,
    接下来证明,等价于证明,
    不妨令(),
    建构新函数,,则在上单调递减,
    所以,故即得证,
    由不等式的传递性知,即.
    【变式3-2】(2024·江西南昌·二模)已知函数,.
    (1)当时,恒成立,求a的取值范围.
    (2)若的两个相异零点为,,求证:.
    【解析】(1)当时,恒成立,
    即当时,恒成立,
    设,
    所以,即,

    设,
    则,
    所以,当时,,即在上单调递增,
    所以,
    所以当时,,即在上单调递增,
    所以,
    若恒成立,则.
    所以时,恒成立,a的取值范围为.
    (2)由题意知,,
    不妨设,由得,
    则,
    令,
    则,即:.
    要证,
    只需证,
    只需证,
    即证,
    即证(),
    令(),
    因为,
    所以在上单调递增,
    当时,,
    所以成立,
    故.
    【变式3-3】(2024·河北保定·二模)已知函数为其导函数.
    (1)若恒成立,求的取值范围;
    (2)若存在两个不同的正数,使得,证明:.
    【解析】(1),当时,单调递增;
    当时,单调递减.所以,
    解得,即的取值范围为.
    (2)证明:不妨设,则,要证,
    即证,则证,则证,
    所以只需证,即.
    令,则,.
    当时,,则,
    所以在上单调递减,则.所以.
    由(1)知在上单调递增,所以,从而成立.
    【变式3-4】(2024·高三·重庆·期末)已知函数有两个不同的零点.
    (1)求的最值;
    (2)证明:.
    【解析】(1),有两个不同的零点,
    ∴在内必不单调,故,
    令,解得,
    ∴在上单增,上单减,
    ∴,无最小值.
    (2)由题知两式相减得,即,
    故要证,即证,即证,
    不妨设,令,则只需证,
    设,则,
    设,则,∴在上单减,
    ∴,∴在上单增,
    ∴,即在时恒成立,原不等式得证.
    题型四:极值点偏移:商型
    【典例4-1】(2024·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中)已知函数,其中为自然对数的底数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)若,且,证明:.
    【解析】(1),是减函数,是增函数,
    所以在单调递减,
    ∵,
    ∴时,,单调递增;时,,单调递减.
    (2)由题意得,,即
    ,,
    设,,则由得,,且.
    不妨设,则即证,
    由及的单调性知,.
    令,,则

    ∵,∴,,
    ∴,取,则,
    又,则,
    又,,且在单调递减,∴,.
    下证:.
    (i)当时,由得,;
    (ii)当时,令,,则

    记,,则,
    又在为减函数,∴,
    在单调递减,在单调递增,∴单调递减,从而,在单调递增,
    又,,
    ∴,
    又,
    从而,由零点存在定理得,存在唯一,使得,
    当时,单调递减;
    当时,单调递增.
    所以,,
    又,

    所以,,
    显然,,
    所以,,即,
    取,则,
    又,则,
    结合,,以及在单调递增,得到,
    从而.
    【典例4-2】已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.
    【解析】(1)的定义域为.
    由得,,
    当时,;当时;当时,.
    故在区间内为增函数,在区间内为减函数,
    (2)[方法一]:等价转化
    由得,即.
    由,得.
    由(1)不妨设,则,从而,得,
    ①令,
    则,
    当时,,在区间内为减函数,,
    从而,所以,
    由(1)得即.①
    令,则,
    当时,,在区间内为增函数,,
    从而,所以.
    又由,可得,
    所以.②
    由①②得.
    [方法二]【最优解】:变形为,所以.
    令.则上式变为,
    于是命题转换为证明:.
    令,则有,不妨设.
    由(1)知,先证.
    要证:

    令,
    则,
    在区间内单调递增,所以,即.
    再证.
    因为,所以需证.
    令,
    所以,故在区间内单调递增.
    所以.故,即.
    综合可知.
    [方法三]:比值代换
    证明同证法2.以下证明.
    不妨设,则,
    由得,,
    要证,只需证,两边取对数得,
    即,
    即证.
    记,则.
    记,则,
    所以,在区间内单调递减.,则,
    所以在区间内单调递减.
    由得,所以,
    即.
    [方法四]:构造函数法
    由已知得,令,
    不妨设,所以.
    由(Ⅰ)知,,只需证.
    证明同证法2.
    再证明.令.
    令,则.
    所以,在区间内单调递增.
    因为,所以,即
    又因为,所以,
    即.
    因为,所以,即.
    综上,有结论得证.
    【整体点评】(2)方法一:等价转化是处理导数问题的常见方法,其中利用的对称差函数,构造函数的思想,这些都是导数问题必备的知识和技能.
    方法二:等价转化是常见的数学思想,构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
    方法三:比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径,然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
    方法四:构造函数之后想办法出现关于的式子,这是本方法证明不等式的关键思想所在.
    【变式4-1】已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.
    【解析】(1)函数的定义域为,又,
    当时,,当时,,
    故的递增区间为,递减区间为
    (2)因为,故,
    即,故,
    设,则,
    不妨设,由(1)可知原命题等价于:已知,证明: .
    证明如下:
    若,恒成立;
    若, 即 时,
    要证:,即证,而,即证,
    即证:,其中
    设,,
    则,
    因为,故,故,
    所以,故在为增函数,所以,
    故,即成立,
    所以成立,
    综上,成立.
    【变式4-2】(2024·广东茂名·茂名市第一中学校考三模)已知函数,.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、,
    (ⅰ)求实数a的取值范围;
    (ⅱ)求证:.
    【解析】(1)因为,
    所以,其中.
    ①当时,,所以函数的减区间为,无增区间;
    ②当时,由得,由可得.
    所以函数的增区间为,减区间为.
    综上:当时,函数的减区间为,无增区间;
    当时,函数的增区间为,减区间为.
    (2)(i)方程可化为,即.
    令,因为函数在上单调递增,
    易知函数的值域为,
    结合题意,关于的方程(*)有两个不等的实根.
    又因为不是方程(*)的实根,所以方程(*)可化为.
    令,其中,则.
    由可得或,由可得,
    所以,函数在和上单调递减,在上单调递增.
    所以,函数的极小值为,
    且当时,;当时,则.
    作出函数和的图象如下图所示:
    由图可知,当时,函数与的图象有两个交点,
    所以,实数的取值范围是.
    (ii)要证,只需证,即证.
    因为,所以只需证.
    由(ⅰ)知,不妨设.
    因为,所以,即,作差可得.
    所以只需证,即只需证.
    令,只需证.
    令,其中,则,
    所以在上单调递增,故,即在上恒成立.
    所以原不等式得证.
    【变式4-3】(2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末)已知函数,.
    (1)若对于任意,都有,求实数的取值范围;
    (2)若函数有两个零点,求证:.
    【解析】(1)结合题意:对于任意,都有,所以,
    因为,所以只需,

    当时,,在上单调递减;
    当时,,在上单调递增.
    所以只需;
    (2)等价于,
    设函数,,易知在区间上单调递增;上单调递减,
    由知且,,
    设函数,其中,
    知,
    知在区间上单调递增,即时,
    即时,,
    即,
    又由已知由且,
    有且,由在上单调递减,
    所以,即.
    题型五:极值点偏移:平方型
    【典例5-1】(2024·全国·模拟预测)已知函数,.
    (1)若对任意的都有,求实数的取值范围;
    (2)若且,,证明:.
    【解析】(1)由,,
    得,,
    当时,,在区间上单调递增,当时,,在区间上单调递减,所以当时,的最大值为.
    当时,,在区间上单调递减,当时,,在区间上单调递增,所以当时,的最小值为.
    所以,故实数的取值范围为.
    (2)由得,两边取对数并整理,
    得,即,即.
    由(1)知,函数在上单调递增,在
    上单调递减,,(技巧:注意对第(1)问结论的应用)
    而,当时,恒成立,不妨设,则.
    记,,

    ,所以函数在上单调递增,
    所以,即,,
    于是,,
    又在上单调递减,因此,即,
    所以.
    【典例5-2】(2024·江苏南通·模拟预测)已知函数,.
    (1)当时,求曲线在点处的切线方程;
    (2)若,,求证:.
    【解析】(1)当时,,导数为,
    可得切线的斜率为,且,
    所以切线的方程为,
    即为;
    (2)证明:由题意可得,
    若,则,所以在递增,
    因此不存在,使得,所以;
    设,,则,
    令,,
    所以在递减,又,所以在恒成立,
    从而在递减,从而.①
    又由,可得,
    所以.②
    由①②可得.
    又因为,所以,
    因此要证,
    只需证明,
    即证,③
    设,,则,
    所以在上为增函数,
    又因为,所以,即③式成立.
    所以获证.
    【变式5-1】(2024·山西·模拟预测)已知函数.
    (1)若,求实数的取值范围;
    (2)若有2个不同的零点(),求证:.
    【解析】(1)因为函数的定义域为,所以成立,等价于成立.
    令,则,
    令,则,所以在内单调递减,
    又因为,所以当时,,单调递增;当时,,单调递减,
    所以在处取极大值也是最大值.
    因此,即实数的取值范围为.
    (2)有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根.
    令,则,当时,解得.
    所以当时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    所以在处取极大值为.
    又因为,当时,,当时,.
    且时,.
    所以,且.
    因为是方程的2个不同实数根,即.
    将两式相除得,
    令,则,,变形得,.
    又因为,,因此要证,只需证.
    因为,所以只需证,即证.
    因为,即证.
    令,则,
    所以在上单调递增,,
    即当时,成立,命题得证.
    【变式5-2】(2024·广东广州·模拟预测)已知函数.
    (1)讨论函数的单调性:
    (2)若是方程的两不等实根,求证:;
    【解析】(1)由题意得,函数的定义域为.
    由得:,
    当时,在上单调递增;
    当时,由得,由得,
    所以在上单调递增,在上单调递减.
    (2)因为是方程的两不等实根,,
    即是方程的两不等实根,
    令,则,即是方程的两不等实根.
    令,则,所以在上递增,在上递减,,
    当时,;当时,且.
    所以0,即0.
    令,要证,只需证,
    解法1(对称化构造):令,
    则,
    令,
    则,
    所以在上递增,,
    所以h,所以,
    所以,所以,
    即,所以.
    解法2(对数均值不等式):先证,令,
    只需证,只需证,
    令,
    所以在上单调递减,所以.
    因为,所以,
    所以,即,所以.
    题型六:极值点偏移:混合型
    【典例6-1】(2024·江苏泰州·模拟预测)已知函数,其中a,b为常数,为自然对数底数,.
    (1)当时,若函数,求实数b的取值范围;
    (2)当时,若函数有两个极值点,,现有如下三个命题:
    ①;②;③;
    请从①②③中任选一个进行证明.
    (注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
    【解析】(1)当时,,
    当时,因为,所以此时不合题意;
    当时,当时,,单调递减,
    当时,,单调递增,
    所以,
    要,只需,
    令,则,
    当时,,单调递增;
    当时,,单调递减,
    所以,则由得,
    所以,故实数b的取值范围为.
    (2)当时,,,
    令,则,
    因为函数有两个极值点,,所以有两个零点,
    若,则,单调递增,不可能有两个零点,所以,
    令得,
    当时,,单调递减;
    当时,,单调递增;
    所以,
    因为有两个零点,所以,则,
    设,因为,,则,
    因为,所以,,
    则,取对数得,
    令,,则,即
    ①令,则,因为,所以在上单调递减,在上单调递增,
    令,
    则,在上单调递减,
    因为,所以,即,
    亦即,
    因为,,在上单调递增,所以,
    则,整理得,
    所以,故①成立
    ②令,则,
    因为,所以在上单调递减,在上单调递增,
    令,则,在上单调递增,
    又,所以当时,,即,
    因为,,在上单调递增,所以,
    所以,即,
    所以,
    即,故②成立.
    ③令,,则,
    令,则,
    ∴在上单调递增,则,
    ∴,则,
    两边约去后化简整理得,即,
    故③成立.
    【典例6-2】已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)若时,都有,求实数的取值范围;
    (3)若有不相等的两个正实数满足,求证:.
    【解析】(1)函数的定义域为,.
    ①当时,令,即,解得:.
    令,解得:;令,解得:;
    所以函数在上单调递增,在上单调递减.
    ②当时,则,所以函数在上单调递增.
    综上所述:当时,函数在上单调递增,在上单调递减.
    当时,函数在上单调递增.
    (2)当时,都有,即,
    亦即对恒成立.
    令,只需.
    .
    令,则,所以当时,,
    所以在上单增,所以,
    所以当时,.
    所以,所以在上单减,
    所以.
    所以.
    综上所述:实数的取值范围为.
    (3)可化为:.
    令,上式即为.
    由(1)可知:在上单调递增,在上单调递减,
    则为的两根,其中.
    不妨设,要证,只需,即,
    只需证.
    令.

    当时,;当时,.
    由零点存在定理可得:存在,使得.
    当时,,单增;当时,,单减;
    又,所以.
    .
    因为, ,
    所以.
    所以恒成立.
    所以.
    所以.
    所以
    即证.
    【变式6-1】(2024·山东·模拟预测)已知函数.
    (1)若有两个零点,的取值范围;
    (2)若方程有两个实根、,且,证明:.
    【解析】(1)函数的定义域为.
    当时,函数无零点,不合乎题意,所以,,
    由可得,
    构造函数,其中,所以,直线与函数的图象有两个交点,
    ,由可得,列表如下:
    所以,函数的极大值为,如下图所示:
    且当时,,
    由图可知,当时,即当时,直线与函数的图象有两个交点,
    故实数的取值范围是.
    (2)证明:因为,则,
    令,其中,则有,
    ,所以,函数在上单调递增,
    因为方程有两个实根、,令,,
    则关于的方程也有两个实根、,且,
    要证,即证,即证,即证,
    由已知,所以,,整理可得,
    不妨设,即证,即证,
    令,即证,其中,
    构造函数,其中,
    ,所以,函数在上单调递增,
    当时,,故原不等式成立.
    题型七:拐点偏移问题
    【典例7-1】已知函数,.
    (1)若在处取得极值,求的值;
    (2)设,试讨论函数的单调性;
    (3)当时,若存在实数,满足,求证:.
    【解析】(1)因为,所以,
    因为在处取得极值,
    所以,解得:.
    验证:当时,,
    易得在处取得极大值.
    (2)因为,
    所以,
    ①若,则当时,,所以函数在上单调递增;
    当时,,函数在上单调递减;
    ②若,,
    当时,易得函数在和上单调递增,在上单调递减;
    当时,恒成立,所以函数在上单调递增;
    当时,易得函数在和上单调递增,在上单调递减.
    (3)证明:当时,因为,
    所以,
    所以,
    令,,则,
    当时,,所以函数在上单调递减;
    当时,,所以函数在上单调递增;
    所以函数在时,取得最小值,最小值为1,
    所以,
    即,所以,
    当时,此时不存在,满足等号成立条件,
    所以.
    【典例7-2】已知函数,.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)对实数,令,正实数,满足,求的最小值.
    【解析】(1).
    若,当时,,即在上单调递增;
    当时,,即在上单调递减.
    若,当时,,即在(,上均单调递增;
    当时,,即在上单调递减.
    若,则,即在上单调递增.
    若,当时,,即在,上均单调递增;
    当时,,即在上单调递减.
    (2)当实数时,,



    令,,
    由于,知当时,,即单调递减;
    当时,,即单调递增.
    从而,,
    于是,,即,
    而,所以,
    而当,时,取最小值6.
    【变式7-1】已知函数,.
    (1)若在处取得极值,求的值;
    (2)设,试讨论函数的单调性;
    (3)当时,若存在正实数满足,求证:.
    【解析】(1)因为,所以,
    因为在处取得极值,
    所以,解得.
    验证:当时,在处取得极大值.
    (2)因为
    所以.
    ①若,则当时,,所以函数在上单调递增;
    当时,,函数在上单调递减.
    ②若,,
    当时,易得函数在和上单调递增,
    在上单调递减;
    当时,恒成立,所以函数在上单调递增;
    当时,易得函数在和上单调递增,
    在上单调递减.
    (3)证明:当时,,
    因为,
    所以,
    即,
    所以.
    令,,
    则,
    当时,,所以函数在上单调递减;
    当时,,所以函数在上单调递增.
    所以函数在时,取得最小值,最小值为.
    所以,
    即,所以或.
    因为为正实数,所以.
    当时,,此时不存在满足条件,
    所以.
    【变式7-2】已知函数.
    (1)求曲线在点处的切线方程.
    (2)若正实数满足,求证:.
    【解析】(1),切点为.
    ,.
    切线为:,即.
    (2)
    .
    令, ,,

    ,,为减函数,
    ,,为增函数,
    ,所以.
    即.
    得:,
    得到,即:.
    【变式7-3】已知函数,,当时,恒成立.
    (1)求实数的取值范围;
    (2)若正实数、满足,证明:.
    【解析】(1)根据题意,可知的定义域为,
    而,
    当时,,,
    为单调递增函数,
    当时,成立;
    当时,存在大于1的实数,使得,
    当时,成立,
    在区间上单调递减,
    当时,;
    不可能成立,
    所以,即的取值范围为.
    (2)证明:不妨设,
    正实数、满足,
    有(1)可知,,
    又为单调递增函数,
    所以,
    又,
    所以只要证明:,
    设,则,
    可得,
    当时,成立,
    在区间上单调增函数,
    又,
    当时,成立,即,
    所以不等式成立,
    所以.
    1.已知函数.
    (1)若,讨论的单调性.
    (2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根.
    (i)求的取值范围;
    (ii)求证:.
    【解析】(1)当时,,则;
    令,解得:或,
    当时,;当时,;
    在,上单调递增,在上单调递减.
    (2)(i)由得:,
    恰有个正实数根,恰有个正实数根,
    令,则与有两个不同交点,
    ,当时,;当时,;
    在上单调递减,在上单调递增,又,
    当从的右侧无限趋近于时,趋近于;当无限趋近于时,的增速远大于的增速,则趋近于;
    则图象如下图所示,
    当时,与有两个不同交点,
    实数的取值范围为;
    (ii)由(i)知:,,
    ,,

    不妨设,则,
    要证,只需证,
    ,,,则只需证,
    令,则只需证当时,恒成立,
    令,

    在上单调递增,,
    当时,恒成立,原不等式得证.
    2.(2024·江苏·模拟预测)已知函数.
    (1)求的单调区间;
    (2)当时,证明:.
    【解析】(1),
    令,
    则,;
    当时,,在上单调递减,
    又,,,使得,
    则当时,;当时,;
    在上单调递增,在上单调递减,
    ,又当时,,;
    当时,,即;当时,,即;
    的单调递增区间为,单调递减区间为.
    (2)由(1)知:若,则,
    要证,只需证,
    ,,
    又在上单调递减,则只需证,
    ,则只需证,即证,
    则需证,又,
    只需证,即证,
    令,
    则,,
    在上单调递减,,
    在上单调递增,,
    ,原不等式得证.
    3.(2024·安徽淮北·一模)已知函数,
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)若函数在上有两个不相等的零点,求证:.
    【解析】(1),.
    ①当时,恒成立,单调递增;
    ②当时,由得,,单调递增,
    由得,,单调递减.
    综上:当时,单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.
    (2)∵在上有两个不相等的零点,,不妨设,
    ∴在上有两个不相等的实根,
    令,,∴,
    由得,,单调递减,由得,,单调递增,
    ,,,,

    要证,即证,又∵,
    只要证,即证,
    ∵,即证
    即证,即证,即证
    令,,∴,
    令,,则,当时,恒成立,所以在上单调递增,又,∴,∴,∴
    ∴在上递增,∴,∴
    ∴.
    4.已知函数,,当时,恒成立.
    (1)求实数的取值范围;
    (2)若正实数、满足,证明:.
    【解析】(1)根据题意,可知的定义域为,
    而,
    当时,,,
    为单调递增函数,
    当时,成立;
    当时,存在大于1的实数,使得,
    当时,成立,
    在区间上单调递减,
    当时,;
    不可能成立,
    所以,即的取值范围为.
    (2)证明:不妨设,
    正实数、满足,
    有(1)可知,,
    又为单调递增函数,
    所以,
    又,
    所以只要证明:,
    设,则,
    可得,
    当时,成立,
    在区间上单调增函数,
    又,
    当时,成立,即,
    所以不等式成立,
    所以.
    5.已知函数.
    (1)若的极小值为-4,求的值;
    (2)若有两个不同的极值点,证明:.
    【解析】(1),当时,,当时,,
    所以在上单调递减,在上单调递增.
    当时,取得极小值,
    由,解得或(舍去).
    故的值为。
    (2)由题意可知,方程有两个不同的正实数根,即有两个不同的实数根.
    令,则,
    当时,,当时,,
    所以函数在上单调递增,在上单调递减.
    验证可知,,
    由得,所以.
    当时,方程,即方程,则有两个不同的正实数根.
    设,则,
    所以在上单调递增,在上单调递减.
    不妨设,则.
    令,
    则,
    所以在上单调递增,则当时,,
    所以
    又,函数在上单调递减,
    所以,则,
    因为,故.
    6.(2024·云南·二模)已知常数,函数.
    (1)若,求的取值范围;
    (2)若、是的零点,且,证明:.
    【解析】(1)由已知得的定义域为,


    当时,,即在上单调递减;
    当时,,即在上单调递增.
    所以在处取得极小值即最小值,


    ,即的取值范围为.
    (2)由(1)知,的定义域为,
    在上单调递减,在上单调递增,且是的极小值点.
    、是的零点,且,
    、分别在、上,不妨设,
    设,

    当时,,即在上单调递减.

    ,即,




    又,在上单调递增,
    ,即.
    7.已知函数有两个零点.
    (1)求实数的取值范围;
    (2)证明:.
    【解析】(1)由得,
    则由有两个零点知方程有两个不同的实数根.
    令,则,
    由得,由得,
    所以在上单调递减,在上单调递增.
    而,当时,,当时,,
    故,即,实数的取值范围为.
    (2)法一、
    由(1)知,令,则.
    由得,
    要证,只需证,
    只需证,即证,
    即证.
    令,
    则,
    令,,则,
    所以单调递增,即,
    故在上恒成立,
    即在上单调递减,故,得证.
    法二、
    由(1)知,
    当时,显然.
    当时,则,
    要证,只需证,
    又且在上单调递增,
    故只需证,即证,
    即证,即证,
    令,
    则,
    令,
    则,在上单调递减,
    所以,故,所以在上单调递减,则,
    又,所以当时,,即.
    8.已知函数.
    (1)当时,判断函数的单调性;
    (2)若关于的方程有两个不同实根,求实数的取值范围,并证明.
    【解析】(1)时,,
    故,
    在上单调递增.
    (2)关于的方程有两个不同实根,,
    即有两不同实根,,得,
    令,,
    令,得,
    当时,,在上单调递增,
    当时,,在上单调递减,
    时,取得最大值,且,得图象如图:.
    ,则,
    即当时,有两个不同实根,,
    两根满足,,
    两式相加得:,两式相减地,
    上述两式相除得,
    不妨设,要证:,
    只需证:,即证,
    设,令,
    则,
    函数在上单调递增,且,
    ,即,
    .
    9.已知函数(其中为自然对数的底数).
    (1)求函数的单调区间;
    (2)若为两个不相等的实数,且满足,求证:.
    【解析】(1),
    令,解得,令,解得,
    所以的增区间为,减区间为.
    (2)证明:将两边同时除以得,即,
    所以,
    由(1)知在上单调递增,在上单调递减,
    又,,当时,,
    设,则,
    令,
    则,
    由得,所以,,
    所以,在上单调递增,
    又,所以,
    当时,,即,即,
    又,所以,
    又,,在上单调递减,
    所以,即.
    10.已知函数.
    (1)若有唯一极值,求的取值范围;
    (2)当时,若,,求证:.
    【解析】(1)函数的定义域为,
    求导得,
    当时,若,,函数在上单调递增,无极值点,不符合题意;
    若,当或时,,当时,,
    即函数在上单调递增,在上单调递减,函数有两个极值点,不符合题意;
    若,当或时,,当时,,
    即函数在上单调递增,在上单调递减,函数有两个极值点,不符合题意;
    当时,当时,,当时,,
    即函数在上单调递增,在上单调递减,2是函数的极大值点,且是唯一极值点,
    所以的取值范围是.
    (2)当时,函数在上单调递增,在上单调递减,
    由,,不妨令,
    要证,只证,即证,就证,
    令,求导得
    ,于是函数在上单调递减,,
    而,则,即,又,
    因此,显然,又函数在上单调递增,则有,
    所以.
    11.(2024·吉林·二模)在平面直角坐标系中,的直角顶点在轴上,另一个顶点在函数图象上
    (1)当顶点在轴上方时,求 以轴为旋转轴,边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值;
    (2)已知函数,关于的方程有两个不等实根.
    (i)求实数的取值范围;
    (ii)证明:.
    【解析】(1)因为在轴上方,所以:;
    为直角三角形,所以当轴时,所得圆锥的体积才可能最大.
    设,则,().
    设(),则,由.
    因为,所以,
    所以在上单调递增,在上单调递减,所以.
    从而:.
    (2)(i)因为,即,即,
    令,所以,
    因为为增函数,所以即,
    所以方程有两个不等实根等价于有两个不等实根,
    令,所以
    当时,,单调递增;当时,,单调递减.所以.
    当时,;当时,由洛必达法则知;
    所以.
    因为,
    不妨设,则只需证,
    构造函数,则,
    故在上单调递减,故,即得证,
    综上所述:即证.
    13.已知函数的图像与直线交于不同的两点,,求证:.
    【解析】证明:由题意,,令,得,
    当,,所以在区间上单调递减,
    当,,所以在区间上单调递增,
    所以当时,取到极小值.
    所以与交于不同的两点,,
    所以不妨设,且,
    令,则,代入上式得,得,
    所以,
    设,则,
    所以当时,为增函数,,
    所以,
    故证:.
    14.已知函数.
    (1)若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切,求的值;
    (2)若函数有两个零点,证明:.
    【解析】(1)由题意:函数的定义域为,,
    当时,,当时,,
    故在上为减函数,在上为增函数,
    由可得,图象与直线相切.
    ,当时,,当时,,
    故在上为增函数,在上为减函数,,
    即图象与直线相切.
    两函数图象均与平行于轴的同一条直线相切,则,即.
    (2),令,
    由,得,
    函数在上为减函数,故,即
    即,不妨设,
    要证,只需证,
    只需证,即证,
    因为,
    只需证,即,
    令,
    则,
    在上单调递增,

    原题得证.

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