2025年新高考数学一轮复习第3章拔高点突破02极值点偏移问题与拐点偏移问题(七大题型)练习(学生版+教师版)
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\l "_Tc169256132" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc169256132 \h 2
\l "_Tc169256133" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc169256133 \h 3
\l "_Tc169256134" 题型一:极值点偏移:加法型 PAGEREF _Tc169256134 \h 3
\l "_Tc169256135" 题型二:极值点偏移:减法型 PAGEREF _Tc169256135 \h 8
\l "_Tc169256136" 题型三:极值点偏移:乘积型 PAGEREF _Tc169256136 \h 13
\l "_Tc169256137" 题型四:极值点偏移:商型 PAGEREF _Tc169256137 \h 20
\l "_Tc169256138" 题型五:极值点偏移:平方型 PAGEREF _Tc169256138 \h 28
\l "_Tc169256139" 题型六:极值点偏移:混合型 PAGEREF _Tc169256139 \h 33
\l "_Tc169256140" 题型七:拐点偏移问题 PAGEREF _Tc169256140 \h 39
\l "_Tc169256141" 03 过关测试 PAGEREF _Tc169256141 \h 44
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值,且函数与直线交于两点,则的中点为,而往往。如下图所示。
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义:对于函数在区间内只有一个极值点,方程的解分别为,且,(1)若,则称函数在区间上极值点偏移;(2)若,则函数在区间上极值点左偏,简称极值点左偏;(3)若,则函数在区间上极值点右偏,简称极值点右偏。
2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下:(1)定函数(极值点为),即利用导函数符号的变化判断函数单调性,进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数,即根据极值点构造对称函数,若证 ,则令.
(3)判断单调性,即利用导数讨论的单调性.
(4)比较大小,即判断函数在某段区间上的正负,并得出与的大小关系.
(5)转化,即利用函数的单调性,将与的大小关系转化为与之间的关系,进而得到所证或所求.
【注意】若要证明的符号问题,还需进一步讨论与x0的大小,得出所在的单调区间,从而得出该处导数值的正负.
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法,函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效
3、应用对数平均不等式证明极值点偏移:
①由题中等式中产生对数;
②将所得含对数的等式进行变形得到;
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径,然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
题型一:极值点偏移:加法型
【典例1-1】(2024·四川南充·一模)已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围;
(2)求证:.
【解析】(1)的定义域为,
因为,所以当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,取得最小值.
又当x趋近于0或时,趋于,
所以,要使有两个不同的零点,只需满足,即.
所以实数的取值范围为.
(2)不妨设,由(1)可知,,则,
要证,只需证,
又在上单调递增,所以只需证,即证.
记,
则,
当时,,单调递增,
又,
所以,即.
所以.
【典例1-2】(2024·安徽马鞍山·一模)设函数.
(1)若对恒成立,求实数的取值范围;
(2)已知方程有两个不同的根、,求证:,其中为自然对数的底数.
【解析】(1)由,得.
令,,则,
令,则.
所以,函数在上单增,故.
①当时,则,所以在上单增,,
此时对恒成立,符合题意;
②当时,,,
故存在使得,
当时,,则单调递减,此时,不符合题意.
综上,实数的取值范围.
(2)证明:由(1)中结论,取,有,即.
不妨设,,则,整理得.
于是,
即.
【变式1-1】(2024·甘肃酒泉·模拟预测)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若(为的导函数),方程有两个不等实根、,求证:.
【解析】(1)因为,则,所以,,,
所以,曲线在点处的切线方程为,即.
(2)证明:因为,,所以.
因为为增函数,所以在上单调递减,在上单调递增.
由方程有两个不等实根、,则可设,
欲证,即证,
即证,而,即,
即,
设,其中,
则,设,
则,所以,函数在上单调递增,
所以,所以在上单调递减,
所以,即,故得证.
【变式1-2】(2024·安徽淮南·二模)已知函数.
(1)若,证明:时,;
(2)若函数恰有三个零点,证明:.
【解析】(1)时,函数,
则,
在上单调递增,
所以.
(2),显然为函数的一个零点,设为;
设函数,
当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增.
由已知,必有两个零点,且,下证:.
设函数,则,
,
由于,则,
由(1)有,故,
即函数在上单调递减,
所以,
即有,
由于,且在上单调递增,
所以,
所以.
【变式1-3】(2024·河南新乡·三模)已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若函数有两个零点 ,且,证明:.
【解析】(1)函数的定义域为,.
①当时,令,得,则在上单调递减;
令,得,则在上单调递增.
②当时,令,得,则在上单调递减;
令,得,则在上单调递增.
综上所述,当时,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)证明:因为为的两个零点,所以,,
两式相减,可得,即,,
因此,,.
令,则,
令,则,
所以函数在上单调递增,所以,即.
因为,所以,故得证.
题型二:极值点偏移:减法型
【典例2-1】已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时,若方程有三个不相等的实数根,且,证明:.
【解析】(1)由题意可知:的定义域为,
,
令,可得,且,
即,
,可知在内恒成立,
即在内恒成立,所以在内单调递增.
(2)当时,可得,
,
或
故在内单调递增,在内单调递减,
由题意可得:,
因为,
令,
则,
可知在内单调递增,
则,可得在内恒成立,
因为,则,
且在内单调递减
则,即;
令,
则,
可知在内单调递增,则,
可得在内恒成立,
因为,则,
且在内单调递增,
则,即;
由和可得.
【典例2-2】(2024·湖南邵阳·一模)已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,方程有三个不相等的实数根,分别记为.
①求的取值范围;
②证明.
【解析】(1)函数的定义域为.
又,令,得.
当,即时,在恒成立,.
当,即时,方程有两根,可求得:,
因为所以,
当和时,,为增函数,
当时,,为减函数.
综上:当时,在上单调递增,
当时,在和上单调递增,在上单调递减.
(2)当时,.
①方程有三个不相等的实数根,
即方程在上有三个不相等的实数根.
令,
则,
令,求得:或,
则当或时,,
当时,,
则在和上单调递增,在上单调递减,
存在极大值为,存在极小值,
且当时,,当时,.
要使方程有三个不相等的实数根,则
的取值范围为.
②证明:设方程三个不相等的实数根分别为:,且,
由①可得,要证,
只需证,即证,
当时,在和上单调递增,在上单调递减,
且当时,,当时,.
由,
构造函数,
,当时,在上单调递增,
,即在上恒成立,
又,则有:,
又,且在上单调递减,
,即.
构造函数,
,当时在上单调递增.
,即在上恒成立.
又,则.即,
由,则.
在上单调递增,.
又,则可证得:.
【变式2-1】已知函数.
(1)讨论的单调区间;
(2)已知,设的两个极值点为,且存在,使得的图象与有三个公共点;
①求证:;
②求证:.
【解析】(1),,
其中,,
当时,即,此时恒成立,
函数在区间单调递增,
当时,即或,
当时,在区间上恒成立,
即函数在区间上单调递增,
当时,,得或,
当,或时,,
当时,,
所以函数的单调递增区间是和,
单调递减区间是,
综上可知,当时,函数的单调递增区间是;
当时,函数的单调递增区间是和,
单调递减区间是;
(2)①由(1)知,当时,函数的单调递增区间是和,
单调递减区间是,、是方程的两根,
有,,
又的图象与有三个公共点,
故,则,
要证,即证,又,
且函数在上单调递减,即可证,
又,即可证,
令,,
由,
则
恒成立,
故在上单调递增,即,
即恒成立,即得证;
②由,则,
令,,
则
,
故在上单调递增,即,
即当时,,
由,故,又,故,
由,,函数在上单调递减,故,
即,又由①知,故,
又,
故.
题型三:极值点偏移:乘积型
【典例3-1】(2024·全国·模拟预测)已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若有两个零点,,且,求证:.
【解析】(1)因为函数的定义域是,,
当时,,所以在上单调递减;
当时,令,解得,
当时,,单调递增;当时,,单调递减.
综上所述,当时,的减区间为,无增区间;
当时,的增区间为,减区间为.
(2)因为是函的两个零点,由(1)知,
因为,设,则,
当,,当,,
所以在上单调递增,在上单调递减,.
又因为,且,
所以,.
首先证明:.
由题意,得,设,则
两式相除,得.
要证,只要证,即证.
只要证,即证.
设,.
因为,所以在上单调递增.
所以,即证得①.
其次证明:.设,.
因为,所以在上单调递减.
所以,
即.
所以②.
由①②可证得.
【典例3-2】(2024·北京通州·三模)已知函数
(1)已知f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为,求实数a的值;
(2)已知f(x)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围.
(3)已知有两个零点,,求实数a的取值范围并证明.
【解析】(1)因为,所以.
所以,又f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为,
所以,解得..
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),因为f(x)在定义域上为增函数,
所以在(0,+∞)上恒成立.
即恒成立.,即,
令,所以,
时,时,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,即.
(3)
定义域为
当时,,所以在(0,+∞)上单调递减,不合题意.
当时,
在(0,)上单调递减,在上单调递增,
所以的最小值为,
函数存在两个零点的必要条件是,
即,又,
所以在(1,)上存在一个零点().
当时,,所以在(,+∞)上存在一个零点,
综上函数有两个零点,实数a的取值范围是.
不妨设两个零点
由,所以,
所以,所以,
要证,
只需证,
只需证,
由,
只需证,
只需证,
只需证,
令,只需证,
令,
,
∴H(t)在(0,1)上单调递增,∴,
即成立,
所以成立.
【变式3-1】(2024·湖北武汉·模拟预测)已知.
(1)当时,讨论函数的极值点个数;
(2)若存在,,使,求证:.
【解析】(1)当时,,则,
当时,,
故在上单调递增,不存在极值点;
当时,令,则总成立,
故函数即在上单调递增,
且,,所以存在,使得,
所以当时,,单调递减;当时,,单调递增;
故在上存在唯一极值点,
综上,当时,函数的极值点有且仅有一个.
(2)由知,
整理得,(*),
不妨令,则,故在上单调递增,
当时,有,即,
那么,
因此,(*)即转化为,
接下来证明,等价于证明,
不妨令(),
建构新函数,,则在上单调递减,
所以,故即得证,
由不等式的传递性知,即.
【变式3-2】(2024·江西南昌·二模)已知函数,.
(1)当时,恒成立,求a的取值范围.
(2)若的两个相异零点为,,求证:.
【解析】(1)当时,恒成立,
即当时,恒成立,
设,
所以,即,
,
设,
则,
所以,当时,,即在上单调递增,
所以,
所以当时,,即在上单调递增,
所以,
若恒成立,则.
所以时,恒成立,a的取值范围为.
(2)由题意知,,
不妨设,由得,
则,
令,
则,即:.
要证,
只需证,
只需证,
即证,
即证(),
令(),
因为,
所以在上单调递增,
当时,,
所以成立,
故.
【变式3-3】(2024·河北保定·二模)已知函数为其导函数.
(1)若恒成立,求的取值范围;
(2)若存在两个不同的正数,使得,证明:.
【解析】(1),当时,单调递增;
当时,单调递减.所以,
解得,即的取值范围为.
(2)证明:不妨设,则,要证,
即证,则证,则证,
所以只需证,即.
令,则,.
当时,,则,
所以在上单调递减,则.所以.
由(1)知在上单调递增,所以,从而成立.
【变式3-4】(2024·高三·重庆·期末)已知函数有两个不同的零点.
(1)求的最值;
(2)证明:.
【解析】(1),有两个不同的零点,
∴在内必不单调,故,
令,解得,
∴在上单增,上单减,
∴,无最小值.
(2)由题知两式相减得,即,
故要证,即证,即证,
不妨设,令,则只需证,
设,则,
设,则,∴在上单减,
∴,∴在上单增,
∴,即在时恒成立,原不等式得证.
题型四:极值点偏移:商型
【典例4-1】(2024·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中)已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,且,证明:.
【解析】(1),是减函数,是增函数,
所以在单调递减,
∵,
∴时,,单调递增;时,,单调递减.
(2)由题意得,,即
,,
设,,则由得,,且.
不妨设,则即证,
由及的单调性知,.
令,,则
,
∵,∴,,
∴,取,则,
又,则,
又,,且在单调递减,∴,.
下证:.
(i)当时,由得,;
(ii)当时,令,,则
,
记,,则,
又在为减函数,∴,
在单调递减,在单调递增,∴单调递减,从而,在单调递增,
又,,
∴,
又,
从而,由零点存在定理得,存在唯一,使得,
当时,单调递减;
当时,单调递增.
所以,,
又,
,
所以,,
显然,,
所以,,即,
取,则,
又,则,
结合,,以及在单调递增,得到,
从而.
【典例4-2】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.
【解析】(1)的定义域为.
由得,,
当时,;当时;当时,.
故在区间内为增函数,在区间内为减函数,
(2)[方法一]:等价转化
由得,即.
由,得.
由(1)不妨设,则,从而,得,
①令,
则,
当时,,在区间内为减函数,,
从而,所以,
由(1)得即.①
令,则,
当时,,在区间内为增函数,,
从而,所以.
又由,可得,
所以.②
由①②得.
[方法二]【最优解】:变形为,所以.
令.则上式变为,
于是命题转换为证明:.
令,则有,不妨设.
由(1)知,先证.
要证:
.
令,
则,
在区间内单调递增,所以,即.
再证.
因为,所以需证.
令,
所以,故在区间内单调递增.
所以.故,即.
综合可知.
[方法三]:比值代换
证明同证法2.以下证明.
不妨设,则,
由得,,
要证,只需证,两边取对数得,
即,
即证.
记,则.
记,则,
所以,在区间内单调递减.,则,
所以在区间内单调递减.
由得,所以,
即.
[方法四]:构造函数法
由已知得,令,
不妨设,所以.
由(Ⅰ)知,,只需证.
证明同证法2.
再证明.令.
令,则.
所以,在区间内单调递增.
因为,所以,即
又因为,所以,
即.
因为,所以,即.
综上,有结论得证.
【整体点评】(2)方法一:等价转化是处理导数问题的常见方法,其中利用的对称差函数,构造函数的思想,这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二:等价转化是常见的数学思想,构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三:比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径,然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
方法四:构造函数之后想办法出现关于的式子,这是本方法证明不等式的关键思想所在.
【变式4-1】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.
【解析】(1)函数的定义域为,又,
当时,,当时,,
故的递增区间为,递减区间为
(2)因为,故,
即,故,
设,则,
不妨设,由(1)可知原命题等价于:已知,证明: .
证明如下:
若,恒成立;
若, 即 时,
要证:,即证,而,即证,
即证:,其中
设,,
则,
因为,故,故,
所以,故在为增函数,所以,
故,即成立,
所以成立,
综上,成立.
【变式4-2】(2024·广东茂名·茂名市第一中学校考三模)已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、,
(ⅰ)求实数a的取值范围;
(ⅱ)求证:.
【解析】(1)因为,
所以,其中.
①当时,,所以函数的减区间为,无增区间;
②当时,由得,由可得.
所以函数的增区间为,减区间为.
综上:当时,函数的减区间为,无增区间;
当时,函数的增区间为,减区间为.
(2)(i)方程可化为,即.
令,因为函数在上单调递增,
易知函数的值域为,
结合题意,关于的方程(*)有两个不等的实根.
又因为不是方程(*)的实根,所以方程(*)可化为.
令,其中,则.
由可得或,由可得,
所以,函数在和上单调递减,在上单调递增.
所以,函数的极小值为,
且当时,;当时,则.
作出函数和的图象如下图所示:
由图可知,当时,函数与的图象有两个交点,
所以,实数的取值范围是.
(ii)要证,只需证,即证.
因为,所以只需证.
由(ⅰ)知,不妨设.
因为,所以,即,作差可得.
所以只需证,即只需证.
令,只需证.
令,其中,则,
所以在上单调递增,故,即在上恒成立.
所以原不等式得证.
【变式4-3】(2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末)已知函数,.
(1)若对于任意,都有,求实数的取值范围;
(2)若函数有两个零点,求证:.
【解析】(1)结合题意:对于任意,都有,所以,
因为,所以只需,
,
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增.
所以只需;
(2)等价于,
设函数,,易知在区间上单调递增;上单调递减,
由知且,,
设函数,其中,
知,
知在区间上单调递增,即时,
即时,,
即,
又由已知由且,
有且,由在上单调递减,
所以,即.
题型五:极值点偏移:平方型
【典例5-1】(2024·全国·模拟预测)已知函数,.
(1)若对任意的都有,求实数的取值范围;
(2)若且,,证明:.
【解析】(1)由,,
得,,
当时,,在区间上单调递增,当时,,在区间上单调递减,所以当时,的最大值为.
当时,,在区间上单调递减,当时,,在区间上单调递增,所以当时,的最小值为.
所以,故实数的取值范围为.
(2)由得,两边取对数并整理,
得,即,即.
由(1)知,函数在上单调递增,在
上单调递减,,(技巧:注意对第(1)问结论的应用)
而,当时,恒成立,不妨设,则.
记,,
则
,所以函数在上单调递增,
所以,即,,
于是,,
又在上单调递减,因此,即,
所以.
【典例5-2】(2024·江苏南通·模拟预测)已知函数,.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若,,求证:.
【解析】(1)当时,,导数为,
可得切线的斜率为,且,
所以切线的方程为,
即为;
(2)证明:由题意可得,
若,则,所以在递增,
因此不存在,使得,所以;
设,,则,
令,,
所以在递减,又,所以在恒成立,
从而在递减,从而.①
又由,可得,
所以.②
由①②可得.
又因为,所以,
因此要证,
只需证明,
即证,③
设,,则,
所以在上为增函数,
又因为,所以,即③式成立.
所以获证.
【变式5-1】(2024·山西·模拟预测)已知函数.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)若有2个不同的零点(),求证:.
【解析】(1)因为函数的定义域为,所以成立,等价于成立.
令,则,
令,则,所以在内单调递减,
又因为,所以当时,,单调递增;当时,,单调递减,
所以在处取极大值也是最大值.
因此,即实数的取值范围为.
(2)有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根.
令,则,当时,解得.
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以在处取极大值为.
又因为,当时,,当时,.
且时,.
所以,且.
因为是方程的2个不同实数根,即.
将两式相除得,
令,则,,变形得,.
又因为,,因此要证,只需证.
因为,所以只需证,即证.
因为,即证.
令,则,
所以在上单调递增,,
即当时,成立,命题得证.
【变式5-2】(2024·广东广州·模拟预测)已知函数.
(1)讨论函数的单调性:
(2)若是方程的两不等实根,求证:;
【解析】(1)由题意得,函数的定义域为.
由得:,
当时,在上单调递增;
当时,由得,由得,
所以在上单调递增,在上单调递减.
(2)因为是方程的两不等实根,,
即是方程的两不等实根,
令,则,即是方程的两不等实根.
令,则,所以在上递增,在上递减,,
当时,;当时,且.
所以0,即0.
令,要证,只需证,
解法1(对称化构造):令,
则,
令,
则,
所以在上递增,,
所以h,所以,
所以,所以,
即,所以.
解法2(对数均值不等式):先证,令,
只需证,只需证,
令,
所以在上单调递减,所以.
因为,所以,
所以,即,所以.
题型六:极值点偏移:混合型
【典例6-1】(2024·江苏泰州·模拟预测)已知函数,其中a,b为常数,为自然对数底数,.
(1)当时,若函数,求实数b的取值范围;
(2)当时,若函数有两个极值点,,现有如下三个命题:
①;②;③;
请从①②③中任选一个进行证明.
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
【解析】(1)当时,,
当时,因为,所以此时不合题意;
当时,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,
要,只需,
令,则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以,则由得,
所以,故实数b的取值范围为.
(2)当时,,,
令,则,
因为函数有两个极值点,,所以有两个零点,
若,则,单调递增,不可能有两个零点,所以,
令得,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
所以,
因为有两个零点,所以,则,
设,因为,,则,
因为,所以,,
则,取对数得,
令,,则,即
①令,则,因为,所以在上单调递减,在上单调递增,
令,
则,在上单调递减,
因为,所以,即,
亦即,
因为,,在上单调递增,所以,
则,整理得,
所以,故①成立
②令,则,
因为,所以在上单调递减,在上单调递增,
令,则,在上单调递增,
又,所以当时,,即,
因为,,在上单调递增,所以,
所以,即,
所以,
即,故②成立.
③令,,则,
令,则,
∴在上单调递增,则,
∴,则,
两边约去后化简整理得,即,
故③成立.
【典例6-2】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若时,都有,求实数的取值范围;
(3)若有不相等的两个正实数满足,求证:.
【解析】(1)函数的定义域为,.
①当时,令,即,解得:.
令,解得:;令,解得:;
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
②当时,则,所以函数在上单调递增.
综上所述:当时,函数在上单调递增,在上单调递减.
当时,函数在上单调递增.
(2)当时,都有,即,
亦即对恒成立.
令,只需.
.
令,则,所以当时,,
所以在上单增,所以,
所以当时,.
所以,所以在上单减,
所以.
所以.
综上所述:实数的取值范围为.
(3)可化为:.
令,上式即为.
由(1)可知:在上单调递增,在上单调递减,
则为的两根,其中.
不妨设,要证,只需,即,
只需证.
令.
则
当时,;当时,.
由零点存在定理可得:存在,使得.
当时,,单增;当时,,单减;
又,所以.
.
因为, ,
所以.
所以恒成立.
所以.
所以.
所以
即证.
【变式6-1】(2024·山东·模拟预测)已知函数.
(1)若有两个零点,的取值范围;
(2)若方程有两个实根、,且,证明:.
【解析】(1)函数的定义域为.
当时,函数无零点,不合乎题意,所以,,
由可得,
构造函数,其中,所以,直线与函数的图象有两个交点,
,由可得,列表如下:
所以,函数的极大值为,如下图所示:
且当时,,
由图可知,当时,即当时,直线与函数的图象有两个交点,
故实数的取值范围是.
(2)证明:因为,则,
令,其中,则有,
,所以,函数在上单调递增,
因为方程有两个实根、,令,,
则关于的方程也有两个实根、,且,
要证,即证,即证,即证,
由已知,所以,,整理可得,
不妨设,即证,即证,
令,即证,其中,
构造函数,其中,
,所以,函数在上单调递增,
当时,,故原不等式成立.
题型七:拐点偏移问题
【典例7-1】已知函数,.
(1)若在处取得极值,求的值;
(2)设,试讨论函数的单调性;
(3)当时,若存在实数,满足,求证:.
【解析】(1)因为,所以,
因为在处取得极值,
所以,解得:.
验证:当时,,
易得在处取得极大值.
(2)因为,
所以,
①若,则当时,,所以函数在上单调递增;
当时,,函数在上单调递减;
②若,,
当时,易得函数在和上单调递增,在上单调递减;
当时,恒成立,所以函数在上单调递增;
当时,易得函数在和上单调递增,在上单调递减.
(3)证明:当时,因为,
所以,
所以,
令,,则,
当时,,所以函数在上单调递减;
当时,,所以函数在上单调递增;
所以函数在时,取得最小值,最小值为1,
所以,
即,所以,
当时,此时不存在,满足等号成立条件,
所以.
【典例7-2】已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)对实数,令,正实数,满足,求的最小值.
【解析】(1).
若,当时,,即在上单调递增;
当时,,即在上单调递减.
若,当时,,即在(,上均单调递增;
当时,,即在上单调递减.
若,则,即在上单调递增.
若,当时,,即在,上均单调递增;
当时,,即在上单调递减.
(2)当实数时,,
,
,
,
令,,
由于,知当时,,即单调递减;
当时,,即单调递增.
从而,,
于是,,即,
而,所以,
而当,时,取最小值6.
【变式7-1】已知函数,.
(1)若在处取得极值,求的值;
(2)设,试讨论函数的单调性;
(3)当时,若存在正实数满足,求证:.
【解析】(1)因为,所以,
因为在处取得极值,
所以,解得.
验证:当时,在处取得极大值.
(2)因为
所以.
①若,则当时,,所以函数在上单调递增;
当时,,函数在上单调递减.
②若,,
当时,易得函数在和上单调递增,
在上单调递减;
当时,恒成立,所以函数在上单调递增;
当时,易得函数在和上单调递增,
在上单调递减.
(3)证明:当时,,
因为,
所以,
即,
所以.
令,,
则,
当时,,所以函数在上单调递减;
当时,,所以函数在上单调递增.
所以函数在时,取得最小值,最小值为.
所以,
即,所以或.
因为为正实数,所以.
当时,,此时不存在满足条件,
所以.
【变式7-2】已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程.
(2)若正实数满足,求证:.
【解析】(1),切点为.
,.
切线为:,即.
(2)
.
令, ,,
,
,,为减函数,
,,为增函数,
,所以.
即.
得:,
得到,即:.
【变式7-3】已知函数,,当时,恒成立.
(1)求实数的取值范围;
(2)若正实数、满足,证明:.
【解析】(1)根据题意,可知的定义域为,
而,
当时,,,
为单调递增函数,
当时,成立;
当时,存在大于1的实数,使得,
当时,成立,
在区间上单调递减,
当时,;
不可能成立,
所以,即的取值范围为.
(2)证明:不妨设,
正实数、满足,
有(1)可知,,
又为单调递增函数,
所以,
又,
所以只要证明:,
设,则,
可得,
当时,成立,
在区间上单调增函数,
又,
当时,成立,即,
所以不等式成立,
所以.
1.已知函数.
(1)若,讨论的单调性.
(2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根.
(i)求的取值范围;
(ii)求证:.
【解析】(1)当时,,则;
令,解得:或,
当时,;当时,;
在,上单调递增,在上单调递减.
(2)(i)由得:,
恰有个正实数根,恰有个正实数根,
令,则与有两个不同交点,
,当时,;当时,;
在上单调递减,在上单调递增,又,
当从的右侧无限趋近于时,趋近于;当无限趋近于时,的增速远大于的增速,则趋近于;
则图象如下图所示,
当时,与有两个不同交点,
实数的取值范围为;
(ii)由(i)知:,,
,,
,
不妨设,则,
要证,只需证,
,,,则只需证,
令,则只需证当时,恒成立,
令,
,
在上单调递增,,
当时,恒成立,原不等式得证.
2.(2024·江苏·模拟预测)已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)当时,证明:.
【解析】(1),
令,
则,;
当时,,在上单调递减,
又,,,使得,
则当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,
,又当时,,;
当时,,即;当时,,即;
的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由(1)知:若,则,
要证,只需证,
,,
又在上单调递减,则只需证,
,则只需证,即证,
则需证,又,
只需证,即证,
令,
则,,
在上单调递减,,
在上单调递增,,
,原不等式得证.
3.(2024·安徽淮北·一模)已知函数,
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数在上有两个不相等的零点,求证:.
【解析】(1),.
①当时,恒成立,单调递增;
②当时,由得,,单调递增,
由得,,单调递减.
综上:当时,单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.
(2)∵在上有两个不相等的零点,,不妨设,
∴在上有两个不相等的实根,
令,,∴,
由得,,单调递减,由得,,单调递增,
,,,,
∴
要证,即证,又∵,
只要证,即证,
∵,即证
即证,即证,即证
令,,∴,
令,,则,当时,恒成立,所以在上单调递增,又,∴,∴,∴
∴在上递增,∴,∴
∴.
4.已知函数,,当时,恒成立.
(1)求实数的取值范围;
(2)若正实数、满足,证明:.
【解析】(1)根据题意,可知的定义域为,
而,
当时,,,
为单调递增函数,
当时,成立;
当时,存在大于1的实数,使得,
当时,成立,
在区间上单调递减,
当时,;
不可能成立,
所以,即的取值范围为.
(2)证明:不妨设,
正实数、满足,
有(1)可知,,
又为单调递增函数,
所以,
又,
所以只要证明:,
设,则,
可得,
当时,成立,
在区间上单调增函数,
又,
当时,成立,即,
所以不等式成立,
所以.
5.已知函数.
(1)若的极小值为-4,求的值;
(2)若有两个不同的极值点,证明:.
【解析】(1),当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
当时,取得极小值,
由,解得或(舍去).
故的值为。
(2)由题意可知,方程有两个不同的正实数根,即有两个不同的实数根.
令,则,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
验证可知,,
由得,所以.
当时,方程,即方程,则有两个不同的正实数根.
设,则,
所以在上单调递增,在上单调递减.
不妨设,则.
令,
则,
所以在上单调递增,则当时,,
所以
又,函数在上单调递减,
所以,则,
因为,故.
6.(2024·云南·二模)已知常数,函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)若、是的零点,且,证明:.
【解析】(1)由已知得的定义域为,
且
,
当时,,即在上单调递减;
当时,,即在上单调递增.
所以在处取得极小值即最小值,
,
,
,即的取值范围为.
(2)由(1)知,的定义域为,
在上单调递减,在上单调递增,且是的极小值点.
、是的零点,且,
、分别在、上,不妨设,
设,
则
当时,,即在上单调递减.
,
,即,
,
,
,
,
又,在上单调递增,
,即.
7.已知函数有两个零点.
(1)求实数的取值范围;
(2)证明:.
【解析】(1)由得,
则由有两个零点知方程有两个不同的实数根.
令,则,
由得,由得,
所以在上单调递减,在上单调递增.
而,当时,,当时,,
故,即,实数的取值范围为.
(2)法一、
由(1)知,令,则.
由得,
要证,只需证,
只需证,即证,
即证.
令,
则,
令,,则,
所以单调递增,即,
故在上恒成立,
即在上单调递减,故,得证.
法二、
由(1)知,
当时,显然.
当时,则,
要证,只需证,
又且在上单调递增,
故只需证,即证,
即证,即证,
令,
则,
令,
则,在上单调递减,
所以,故,所以在上单调递减,则,
又,所以当时,,即.
8.已知函数.
(1)当时,判断函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不同实根,求实数的取值范围,并证明.
【解析】(1)时,,
故,
在上单调递增.
(2)关于的方程有两个不同实根,,
即有两不同实根,,得,
令,,
令,得,
当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减,
时,取得最大值,且,得图象如图:.
,则,
即当时,有两个不同实根,,
两根满足,,
两式相加得:,两式相减地,
上述两式相除得,
不妨设,要证:,
只需证:,即证,
设,令,
则,
函数在上单调递增,且,
,即,
.
9.已知函数(其中为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间;
(2)若为两个不相等的实数,且满足,求证:.
【解析】(1),
令,解得,令,解得,
所以的增区间为,减区间为.
(2)证明:将两边同时除以得,即,
所以,
由(1)知在上单调递增,在上单调递减,
又,,当时,,
设,则,
令,
则,
由得,所以,,
所以,在上单调递增,
又,所以,
当时,,即,即,
又,所以,
又,,在上单调递减,
所以,即.
10.已知函数.
(1)若有唯一极值,求的取值范围;
(2)当时,若,,求证:.
【解析】(1)函数的定义域为,
求导得,
当时,若,,函数在上单调递增,无极值点,不符合题意;
若,当或时,,当时,,
即函数在上单调递增,在上单调递减,函数有两个极值点,不符合题意;
若,当或时,,当时,,
即函数在上单调递增,在上单调递减,函数有两个极值点,不符合题意;
当时,当时,,当时,,
即函数在上单调递增,在上单调递减,2是函数的极大值点,且是唯一极值点,
所以的取值范围是.
(2)当时,函数在上单调递增,在上单调递减,
由,,不妨令,
要证,只证,即证,就证,
令,求导得
,于是函数在上单调递减,,
而,则,即,又,
因此,显然,又函数在上单调递增,则有,
所以.
11.(2024·吉林·二模)在平面直角坐标系中,的直角顶点在轴上,另一个顶点在函数图象上
(1)当顶点在轴上方时,求 以轴为旋转轴,边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值;
(2)已知函数,关于的方程有两个不等实根.
(i)求实数的取值范围;
(ii)证明:.
【解析】(1)因为在轴上方,所以:;
为直角三角形,所以当轴时,所得圆锥的体积才可能最大.
设,则,().
设(),则,由.
因为,所以,
所以在上单调递增,在上单调递减,所以.
从而:.
(2)(i)因为,即,即,
令,所以,
因为为增函数,所以即,
所以方程有两个不等实根等价于有两个不等实根,
令,所以
当时,,单调递增;当时,,单调递减.所以.
当时,;当时,由洛必达法则知;
所以.
因为,
不妨设,则只需证,
构造函数,则,
故在上单调递减,故,即得证,
综上所述:即证.
13.已知函数的图像与直线交于不同的两点,,求证:.
【解析】证明:由题意,,令,得,
当,,所以在区间上单调递减,
当,,所以在区间上单调递增,
所以当时,取到极小值.
所以与交于不同的两点,,
所以不妨设,且,
令,则,代入上式得,得,
所以,
设,则,
所以当时,为增函数,,
所以,
故证:.
14.已知函数.
(1)若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切,求的值;
(2)若函数有两个零点,证明:.
【解析】(1)由题意:函数的定义域为,,
当时,,当时,,
故在上为减函数,在上为增函数,
由可得,图象与直线相切.
,当时,,当时,,
故在上为增函数,在上为减函数,,
即图象与直线相切.
两函数图象均与平行于轴的同一条直线相切,则,即.
(2),令,
由,得,
函数在上为减函数,故,即
即,不妨设,
要证,只需证,
只需证,即证,
因为,
只需证,即,
令,
则,
在上单调递增,
,
原题得证.
增
极大值
减
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