广东省深圳市重点高中2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份广东省深圳市重点高中2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 下列圆中与圆相切的是等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：选择性必修第一册第一章和第二章.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴的对称点得解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.
故选：C
2. 直线的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线方程直接写出其方向向量即可得答案.
【详解】由，得，所以直线斜率为，
又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为，所以直线的一个方向向量为，
故选：C.
3. 若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线方向向量的夹角余弦的绝对值即可得解.
【详解】设直线所成角为，
所以，
所以.
故选：B
4. 已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线经过圆心，可求的值.
【详解】由，得，故圆心为，
又因为圆关于直线对称，
故圆心在直线上，则.
故选：A
5. 已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D. [1,4]
【答案】D
【解析】
【分析】记为点，求出的斜率，结合图象可得结论．
【详解】记为点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率，
因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是[1,4].
故选：D．
6. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线方向向量与平面法向量垂直得出结论.
【详解】因为，
所以，则或.
故选：D
7. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及直线的方向向量，利用向量法直接求解即可.
【详解】如图，以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系，如下所示：
易知，，;
取，，则，
所以点到直线的距离为．
故选：B.
8. 已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据，确定点轨迹，再由点轨迹与直线有公共点求参数的取值范围.
【详解】由题意可知:圆的圆心为，半径，
设中点为，则，且，可得，
又因为，可知为等腰直角三角形，
则，可得，
故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
因为直线上存在点使得，
即直线与圆有交点，
即圆心到直线的距离，解得或.

故选：A
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线过点，且在轴上的截距是轴上的截距的3倍，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线在坐标轴上的截距为0与不为0讨论求解即可.
【详解】当截距为0时，设直线的方程为，
将点代入可得，所以，即;
当截距不等于0时，设直线的方程为，
将点代入可得，解得，
所以直线的方程为，即，
所以直线的方程为或.
故选：BD
10. 下列圆中与圆相切的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】判断圆心距是否等于两圆的半径之和或差的绝对值．
【详解】由题知，圆的圆心为，半径为4.
A选项，的圆心为，半径为2，故，
由于，所以圆与内切，A正确；
B选项，的圆心为，半径为1，故，
由于，故圆与外切，B正确；
C选项，的圆心为，半径为4，故，
由于，故圆与不相切，C错误;
D选项，的圆心为，半径为1，故，
由于，故圆与不相切，D错误.
故选：AB．
11. 如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，分别为的中点，则（ ）
A.
B. 与所成角的余弦值是
C. 点到平面的距离为
D. 过点的平面截四棱锥的截面面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用判断A，根据向量的夹角公式判断异面直线所成角判断B，利用向量法求点到平面距离判断C，利用向量法确定截面为四边形对角线垂直，求面积判断D.
【详解】如图，以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，所以，故A正确；
，则与所成角的余弦值为，故B错误；
，设平面的法向量为，
则令，可得，
则点到平面距离为，故C正确；
设过点的平面与线段的交点为，
则，
因为共面，则共面，
故存在唯一实数对使得，
即，
所以 解得，
所以，则，因为，
所以，
所以过点的平面截四棱锥的截面面积为
，故D错误．
故选：AC
【点睛】关键点点睛：利用坐标的方法，确定D选项中的截面与线段的交点为的坐标，再由此确定确定垂直，是解决四边形面积的关键所在.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则线段的中点坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解.
【详解】因为，所以线段的中点坐标为，
故答案为：.
13. 若直线与直线平行，则与之间的距离为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，先求出的值，再利用平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】因为直线与直线平行，
所以直线斜率存在，且，得到，此时，即，满足，
所以与之间的距离，
故答案为：.
14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由平面方程求得其一个法向量，再确定直线的一个方向向量，（可根据直线上两点，也可根据直线与两个平面的法向量垂直求解），由法向量与方向向量的夹角可得线面角．
【详解】法一：因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量，
又直线:上有两个点，
所以直线的方向向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：．
法二：由题知两平面与的法向量分别为，
设直线的一个方向向量，
则即，取，则，
又平面的法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求满足下列条件的圆的标准方程.
（1）圆心为，经过点；
（2）圆心在直线上，且与轴交于点.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆心和圆上的点求圆的半径，可得圆的标准方程.
（2）根据垂径定理，圆心在线段的垂直平分线上，又圆心在直线上可求圆心，再求半径，得圆的标准方程.
【小问1详解】
由两点间的距离公式可得圆的半径
故圆的标准方程为
【小问2详解】
因为圆与y轴交于点，所以圆心在直线y=3上.
又圆心在直线上，所以圆心的坐标为，
所以圆的半径，
故圆的标准方程为.
16. 已知向量，，.
（1）当时，若向量与垂直，求实数的值；
（2）若向量与向量、共面，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由可求出的值，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值；
（2）设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解得实数的值.
【小问1详解】
因为，所以，解得，即.
由，且，
得，解得.
【小问2详解】
因为向量与向量、共面，所以设，
因此，
即，解得，故的值为.
17. 已知的三个顶点是.
（1）求BC边上的高所在直线的方程;
（2）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据垂直关系得出高所在直线斜率，点斜式得出直线方程；
（2）由题意转化为所求直线与AB平行或过AB的中点，分别求解即可.
【小问1详解】
因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为1，
所以BC边上高所在直线为，即.
【小问2详解】
因为点A，B到直线的距离相等，
所以直线与AB平行或过AB的中点，
①当直线与AB平行，
所以，
所以，即.
②当直线过AB的中点，
所以，
所以，即.
综上，直线的方程为或.
18. 已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点N，O为坐标原点.（M，N与不重合）
（1）求证：的面积为定值;
（2）设直线与圆交于点A，B，若，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆上的动点，求|PQ|的最小值及此时点的坐标.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）最小值为，点
【解析】
【分析】（1）求出圆与坐标的交点坐标，然后计算三角形面积可得．
（2）由与垂直，斜率乘积为可得；
（3）求出关于直线的对称点的坐标，连接，线段与直线的交点为与圆的交点为，此时的长度即为所示最小值．
【小问1详解】
由圆的方程，化简得，
其与轴，轴的交点分别为:，
所以为定值.
【小问2详解】
如图①所示，因为，所以.
又OC的斜率，所以，解得（负数舍去），
【小问3详解】
如图②所示，由②知:圆的方程为:，圆心，半径.
设点关于直线的对称点为，
则中点为，且解得，即，
则，
又点到圆上点的最短距离为，
则的最小值为，
此时直线的方程为:，即.
点为直线与直线交点，则解得即点
【点睛】方法点睛：定直线上的点到定点与定圆上点的距离之和最值问题，首先把定点转化为此定点关于直线的对称点，过对称点与圆心的直线与直线相交的点，与圆相交的点即为取得最值的动点，圆上的交点有两个一个是最小值点，一个是最大值点．
19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；
（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小；
（3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.
【小问1详解】
因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
【小问2详解】
由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
【小问3详解】
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.