广东省深圳市多校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省深圳市多校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是( )
A.B.
C.D.
2．直线的一个方向向量为( )
A.B.C.D.
3．若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线，所成角的大小为( )
A.B.C.D.
4．已知圆关于直线对称，则实数( )
A.B.1C.D.2
5．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是( )
A.B.
C.D.
6．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面的关系是( )
A.B.
C.D.或
7．如图，在正方体中，，M，N分别是棱，的中点，则点到直线的距离为( )
A.B.C.1D.
8．已知M，N是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数a的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9．已知直线l过点,且在x轴上的截距是y轴上的截距的3倍,则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
10．下列圆中与圆相切的是( )
A.B.
C.D.
11．如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，M，N，G分别为，，的中点，则( )
A.
B.与所成角的余弦值是
C.点G到平面的距离为
D.过点M，N，B的平面截四棱锥的截面面积为
三、填空题
12．已知，，则线段的中点坐标为___________.
13．若直线与直线平行，则与之间的距离为___________.
14．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为___________.
四、解答题
15．求满足下列条件的圆的标准方程.
（1）圆心为，经过点；
（2）圆心在直线上，且与y轴交于点，.
16．已知向量，，.
（1）当时，若向量与垂直，求实数k的值；
（2）若向量与向量、共面，求实数x的值.
17．已知的三个顶点是，，.
（1）求BC边上的高所在直线的方程;
（2）若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程.
18．已知以点C为圆心的圆与x轴交于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点.（M，N与O不重合）
（1）求证：的面积为定值;
（2）设直线与圆C交于点A，B，若，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标.
19．在中，，，，D，E分别是，上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，M是的中点，如图所示
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点N，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由
参考答案
1．答案：C
解析：在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为.
故选：C
2．答案：C
解析：由,得,所以直线斜率为,
又当直线斜率存在时,直线的一个方向向量为,所以直线的一个方向向量为,
故选:C.
3．答案：B
解析：设直线，所成角为，，
所以，
所以.
故选：B
4．答案：A
解析：由，得，故圆心为，
又因为圆关于直线对称，
故圆心在直线上，则.
故选：A
5．答案：D
解析：记为点P，则直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，结合图象，可得直线l的斜率k的取值范围是.
故选：D.
6．答案：D
解析：因为，
所以，则或.
故选：D
7．答案：B
解析：如图，以D为原点，，，方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下所示：
易知，，，
，，;
取，
，
则，，
所以点到直线的距离为.
故选：B.
8．答案：A
解析：由题意可知:圆的圆心为，
半径，
设中点为Q，
则，
且，
可得，
又因为，
可知为等腰直角三角形，
则，可得，
故点P的轨迹是以原点O为圆心，4为半径的圆，
因为直线上存在点P使得，
即直线与圆有交点，
即圆心到直线的距离，
解得或.
故选：A
9．答案：BD
解析：当截距为0时,设直线l的方程为,
将点代入可得,所以,即;
当截距不等于0时,设直线l的方程为,
将点代入可得,解得,
所以直线l的方程为,即,
所以直线l的方程为或.
故选:BD
10．答案：AB
解析：由题知，圆C的圆心为，半径为4.
A选项，的圆心为，半径为2，故，
由于，所以圆C与内切，A正确；
B选项，的圆心为，半径为1，故，
由于，故圆C与外切，B正确；
C选项，的圆心为，半径为4，故，
由于，故圆C与不相切，C错误;
D选项，的圆心为，半径为1，故，
由于，故圆C与不相切，D错误.
故选：AB.
11．答案：AC
解析：如图，以点D为原点，以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，所以，，故A正确；
，，
则与所成角的余弦值为，故B错误；
，，设平面的法向量为，
则,令，可得，
则点G到平面距离为，故C正确；
设过点M，N，B的平面与线段的交点为，
则，，，
因为M，N，B，Q共面，则，，共面，
故存在唯一实数对使得，
即，
所以,解得，
所以，则，因为，
所以，，，
所以过点M，N，B的平面截四棱锥的截面面积为
，故D错误.
故选：AC
12．答案：
解析：因为，，所以线段的中点坐标为，
故答案为：.
13．答案：
解析：因为直线与直线平行，
所以直线斜率存在，且，得到，此时，即，满足，
所以与之间的距离，
故答案为：.
14．答案：
解析：法一：因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量，
又直线上有两个点，，
所以直线l的方向向量为，
所以直线l与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
法二：由题知两平面与的法向量分别为，，
设直线l的一个方向向量，
则即，取，则，
又平面的法向量，
所以直线l与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由两点间的距离公式可得圆的半径
故圆的标准方程为
（2）因为圆与y轴交于点，，所以圆心在直线上.
又圆心在直线上，所以圆心的坐标为，
所以圆的半径，
故圆的标准方程为.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，所以，解得，即.
由，且，
得，解得.
（2）因为向量与向量、共面，所以设，
因此，
即，解得，故x的值为.
17．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）因为，所以边上的高所在直线的斜率为1，
所以边上高所在直线为，即.
（2）因为点A，B到直线的距离相等，
所以直线与平行或过的中点，
①当直线与平行，
所以，
所以，即.
②当直线过的中点，
所以，
所以，即.
综上，直线的方程为或.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）最小值为，点
解析：（1）由圆C的方程，化简得，
其与x轴，y轴的交点分别为:，，
所以为定值.
（2）如图①所示，因为，所以.
又的斜率，所以，解得（负数舍去），
（3）如图②所示，由②知:圆C的方程为:，圆心，半径，.设点N关于直线的对称点为，
则中点为，且解得，即，
则，
又点到圆上点Q的最短距离为，
则的最小值为，
此时直线的方程为:，即.
点P为直线与直线l的交点，则解得即点
19．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)存在，或
解析：(1)因为在中，，
，且，
所以，，则折叠后，，
又，，平面，
所以平面，
平面，所以，
又已知，且都在面内，
所以平面；
(2)由(1)，以为x轴，为y轴，为z轴，
建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，
，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
(3)假设在线段上存在点N，
使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，
，，
设，
则，
，
设平面的法向量为，
则有，
即，
不妨令，
则，，
所以，
设平面的法向量为，
则有，
即，
不妨令，则，，
所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足
化简得，
解得或，
即或，
故在线段上存在这样的点N，
使平面与平面成角余弦值为.
此时的长度为或.