高考数学一轮复习：2基本初等函数-专题3练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc136508419" 题型一： 函数奇偶性的判断 PAGEREF _Tc136508419 \h 3
\l "_Tc136508420" 题型二： 函数奇偶性求值 PAGEREF _Tc136508420 \h 4
\l "_Tc136508421" 题型三： 函数奇偶性求解析式 PAGEREF _Tc136508421 \h 5
\l "_Tc136508422" 题型四： 函数奇偶性求参数 PAGEREF _Tc136508422 \h 7
\l "_Tc136508423" 题型五： 函数奇偶性与不等式 PAGEREF _Tc136508423 \h 7
\l "_Tc136508424" 题型六： 函数的周期性 PAGEREF _Tc136508424 \h 9
\l "_Tc136508425" 题型七： 函数的对称性 PAGEREF _Tc136508425 \h 10
\l "_Tc136508426" 题型八： 函数性质综合 PAGEREF _Tc136508426 \h 12
知识点总结
函数的奇偶性
函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【常用结论与知识拓展】
1．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数．
2．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
4．对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．
例题精讲
函数奇偶性的判断
【要点讲解】(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于±f(x).
(2)图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称.
(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)
判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
（1），，；
（2），；
（3）；
（4）．
判断下列函数的奇偶性，并证明．
（1）；
（2）；
（3），，；
（4）；
（5）；
（6），．
函数奇偶性求值
【要点讲解】将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解
已知是奇函数，当时，，则的值为 ．
已知是奇函数，当时，，则的值是
A．8B．C．4D．
已知函数为奇函数，且当时，，则
A．1B．C．2D．
已知函数为奇函数，当时，，且，则
A．B．C．D．2
已知，且，( )
A．B．C．D．
已知函数，若，则( )
A．B．C．D．
已知函数且，则的值为 ．
函数奇偶性求解析式
【要点讲解】将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出
下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是
A．B．C．D．
下列既是奇函数且在上单调递增的函数为
A．B．
C．D．
已知定义在，上的奇函数，当时，，则的值为
A．B．8C．D．24
已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为 ．
已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是
A．B．
C．D．
已知为奇函数，为偶函数，且满足，则
A．B．C．D．
已知函数同时满足以下两个条件：①对任意实数，都有；②对任意实数，，当时，都有．则函数的解析式可能为
A．B．C．D．
已知函数同时满足性质：①；②对于，，，则函数可能是
A．B．C．D．
函数奇偶性求参数
【要点讲解】利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值
若函数为上的奇函数，则实数的值为
A．B．C．1D．2
已知函数，若是偶函数，则( )
A．B．C．2D．4
若是奇函数，则 ， ．
若函数为奇函数，则 （结果用数字表示）．
函数奇偶性与不等式
【要点讲解】(1)根据函数的奇偶性,将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式.如果函数是奇函数,当函数值前面有“-”时,可通过函数是奇函数将“-”移到括号内;如果函数是偶函数,可根据f(-x)=f(x)=f(|x|)将函数值都化为自变量为正值的形式.
(2)根据单调性,将“f”去掉,结合定义域得到关于所求变量的不等式或不等式组.
已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，，则使不等式成立的的取值范围是
A．B．C．D．
已知为常数）为奇函数，则满足（1）的实数的取值范围是
A．B．C．D．
设是定义域为的偶函数，且在，上单调递减，则满足的的取值范围是
A．B．C．D．
函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，（1），则不等式的解集为
A．，B．
C．，，D．
已知定义在上的函数在，上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，则
A．（3）（4）B．（3）（4）
C．（3）（4）D．（4）（3）
已知函数是定义在上的奇函数，当，，则不等式的解集是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
函数的周期性
【要点讲解】(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.
已知是定义在上的偶函数，并满足，当，，则
A．5.5B．C．D．2.5
是以2为周期的函数，若，时，，则 ．
已知函数满足，且，当时，，则
A．B．0C．1D．2
已知函数的周期为1，则
A．B．
C．D．
已知函数为定义在上的奇函数，且，当时，，则
A．2021B．1C．D．0
设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，，上，，则 ．
函数是定义在上的偶函数，且，若，，，则
A．4B．2C．1D．0
已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则
A．B．C．D．
函数的对称性
【要点讲解】(1)求解与函数的对称性有关的问题时,应根据题目特征和对称性的定义,求出函数的对称轴或对称中心.
(2)解决函数对称性有关的问题,一般结合函数图象,利用对称性解决求值或参数问题.
(3)①若f(a+x)=f(a-x),对称轴:x=a;
②若f(a+x)=f(b-x),对称轴:x=a+b2;
③若f(a+x)+f(a-x)=0,对称中心:(a,0);
④若f(a+x)+f(b-x)=c,对称中心:(a+b2,c2).
已知函数，则的图象
A．关于直线对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于原点对称
函数的图象关于直线对称，那么
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是偶函数
已知函数的图象关于直线对称，关于对称，则下列说法正确的是
A．B．
C．D．
函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给出下列四个结论：
①图象的对称中心是；
②图象的对称中心是；
③类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数：
④类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数．
其中所有正确结论的序号是 ．
设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当，时，，若，则 ．
函数性质综合
【要点讲解】(1)根据奇偶性推得周期性;
(2)利用周期性转化自变量所在的区间;
(3)利用单调性解决相关问题.
已知函数满足，且是偶函数，当时，，则
A．B．3C．D．
已知为上的奇函数，为上的偶函数，且当，时，，若，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
已知函数，则不等式的解集为
A．，，B．，，
C．D．，，
已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则
A．5B．4C．3D．0
已知函数，若的最小值为0，则
A．B．C．D．
已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为
A．或B．或C．D．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，则
A．（3）（4）B．（3）（4）
C．（3）（4）D．（4）（3）
2．下列函数为偶函数且在上单调递减的是
A．B．C．D．
3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则，，大小关系为
A．B．C．D．
4．已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若（1），则（2）（3）
A．3B．2C．0D．50
5．若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且（3），则满足的的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
6．已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为
A．B．
C．D．，，
二．多选题（共2小题）
7．下列函数中，既是偶函数，又满足对任意的，，当时，都有的是
A．B．C．D．
8．若函数，分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有
A．B．
C．（2）（3）D．（2）（3）
三．填空题（共4小题）
9．已知是定义在上的奇函数，且在，上单调递减，为偶函数，若在，上恰好有4个不同的实数根，，，，则 ．
10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则 ．
11．已知是定义在上的偶函数，的图象是一条连续不断的曲线，若，，，且，，则不等式的解集为 ．
12．写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式： ．
①定义域为；②值域为；③是奇函数．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数是奇函数．
（1）求的值，并求的定义域；
（2）已知实数满足，求的取值范围．
14．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）若（a），求实数的值；
（3）若，求证：为偶函数，并求的解集．
15．设．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由；
（3）若，求的取值范围．
偶函数
奇函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)
图象特征
关于y轴对称
关于原点对称