高考数学一轮复习：2基本初等函数-跟踪练8（题型归纳与重难专题突破提升）

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1．函数的零点所在的区间是
A．B．C．D．
【解答】解：函数，
当时，，（1），（2），（3），（4），
（2）（3），
由零点的存在定理得函数的零点所在区间是，
故选：．
2．函数的零点所在区间是
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得函数定义域为，且在上单调递增，
（2），（3），
（2）（3），
函数的零点所在区间是，
故选：．
3．下列函数是增函数且在上有零点的是
A．B．C．D．
【解答】解：的唯一零点，不符合题意；
在上不单调，不符合题意；
在上单调递增，函数的唯一零点不在区间上，不符合题意；
在上单调递增，函数唯一的零点在区间上，符合题意．
故选：．
4．已知函数，则的零点所在的区间为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得在上单调递增，
（1），，（2），，（3），
（3），
的零点所在的区间为．
故选：．
5．在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间
A．B．
C．D．
【解答】解：设，，，
由二分法知当零点在时，取区间的中点1.6625，计算得，
由知，下一步应当确定零点位于区间．
故选：．
6．方程的解所在区间为
A．B．C．D．
【解答】解：和都是上的增函数．
故是上的增函数．
（1）．
（2）．
（1）（2），所以正确．
故选：．
7．已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为
A．，B．，C．D．
【解答】解：由得，
作出函数的图象如图：
由图象知，要使有四个不同的零点，
则需要与有4个不同的交点，
则此时，
即实数的取值范围是，．
故选：．
8．已知函数，若函数有七个不同的零点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：令，解得或，
作出函数的图象，如图所示，
与有4个交点，即方程有4个不相等的实根，
由题意可得：方程有3个不相等的实根，即与有3个交点，
故实数的取值范围是．
故选：．
9．著名画家达芬奇画完他的《抱银貂的女子》后，看着画中女人脖子上悬挂的黑色珍珠项链，开始思考这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，最终的答案是这条曲线的方程是双曲余弦函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为
A．B．
C．D．，，
【解答】解：，．
，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
又，则是定义在上的奇函数，
，即，
，即，解得，
故的取值范围为，
故选：．
10．已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意可知，函数的图象如图所示：
根据函数图像，函数在，上单调递增，
在，上单调递减；
故时取最大值2，在时取最小值0，是该图像的渐近线．
令，则关于的方程，即可写成，
此时关于的方程应该有两个不相等的实数根，
设，为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：
①当时，此时，则；
②当，时，此时，则；
综上可知，实数的取值范围是．
故选：．
11．牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为
A．0.333B．0.335C．0.345D．0.347
【解答】解：设，则，
，，，
则，
令，解得，
，，
则，
令，解得，
故选：．
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是
A．B．C．，D．，
【解答】解：依题意得若函数为不动点函数，则满足，即，即，
设，，
令，解得，
当时，，所以在上为增函数，
当时，，所以在上为减函数，
所以，
当时，，
当时，，
所以的图象为：
要想成立，则与有交点，所以，对应区间为，
故选：．
13．若关于的方程有3个不同实根，则满足条件的整数的个数是
A．24B．26C．29D．31
【解答】解：由，得，
则关于的方程有3个不同实根，
即为函数，的图象有3个不同的交点，
令，则，
当或时，，当时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以，（2），
当趋向负无穷时，趋向负无穷，当趋向正无穷时，趋向正无穷，
作出函数的大致图象，如图所示，
由图可得，所以，
所以满足条件的整数的个数是个．
故选：．
14．函数的零点个数是
A．1B．5C．6D．7
【解答】解：，
令，则，
令，则，
作出函数以及函数的图象如下图所示，
由图象可知，函数以及函数的图象共有7个交点，则所求零点个数为7个．
故选：．
15．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有
（1）当，时，；
（2）；
（3）若，则实数的最小值为
（4）若有三个零点，则实数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：因为是奇函数，是偶函数，
所以，解得，
由，
当时，，
则，所以，
同理：当时，，
以此类推，我们可以得到如下的图象：
对于（1）：根据上述规律，当时，，故（1）错误；
对于（2）：根据图象，刚好是相邻两个自然数中间的数，
则刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得，故（2）正确；
对于（3）：根据图象，当时，由图像可得（3）正确；
对于（4）：有三个零点，
等价于函数与函数有三个不同的交点，设，则函数的图象为恒过点的直线，如图所示．
当函数与，相切的时候，有三个交点，
相切时斜率小于直线的斜率，直线的斜率为，
故有三个零点，，故（4）错误．
说法正确的个数为2．
故选：．
16．不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数的取值范围是
A．B．，C．，D．
【解答】解：由题意可知，，设，．
由．可知在上为减函数，在，上为增函数，
的图象恒过点，在同一坐标系中作出，的图象如图，
若有且只有两个整数，，使得，
且，则，即，
解得，
故选：．
17．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是
A．，B．，C．D．，
【解答】解：由题意作函数与的图象如下，
方程有四个不同的解，，，，且，
，关于对称，即，
当得或，则，故，
故选：．
18．函数的零点所在的区间为
A．B．C．D．
【解答】解：函数，单调递增，
（1），
（2），
（3），
根据函数零点的存在性定理得出：零点所在区间是．
故选：．
二．多选题（共5小题）
19．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，，（1），（2），（3），
由零点存在性定理得函数一定包含零点的区间是，和，
故选：．
20．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如表对应值表：
则一定包含的零点的区间是
A．B．C．D．
【解答】解：由已知得：在定义域内连续，
且（1）（2），（3）（4），（4）（5），
所以一定包含的零点的区间是，，．
故选：．
21．已知函数，为自然对数的底数），则下列说法正确的是
A．方程至多有2个不同的实数根
B．方程可能没有实数根
C．当时，对，总有成立
D．当，方程有4个不同的实数根
【解答】解：，
由，得，由，得，
对于、：若，则时，无实数根，
当时，，解得，
综上所述，时，有1个实数根；
当时，时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，时，有2个实数根，；
当时，则时，，解得，
时，无实数根，
综上所述，时，有1个实数根，
故方程至多有2个不同的实数根，故正确，错误；
对于，
当时，在，上单调递增，
在上单调递增，
，，
在上单调递增，即对，总有成立，
故对，总有成立，故正确；
对于：当时，，
由选项得，解得或，
则，即或，
由，得，，
由，得，，故正确，
故选：．
22．已知直线分别与函数和的图象交于点，，，，则
A．B．
C．D．
【解答】解：画出图形，如图，
由于函数和函数是互为反函数，
故函数及函数的图象关于直线对称，
从而直线与函数及函数的图象的交点，，，也关于直线对称，
，，
又，在上，即有，
故，
，
故选项正确，
对于，，
构造函数，，
则，
所以在，上单调递增，
所以，即，故正确．
对于，令，，
，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以，
所以
所以，故错误．
对于，因为直线分别与函数和的图象交于点，，，，
所以，，
所以，，
所以，
因为，所以，
所以，故正确．
故选：．
23．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数不可能是
A．B．C．0D．1
【解答】解：，
则函数的图象，如图所示：
函数恰有两个零点，即有两个实数根，转化为的图象与有两个交点，
由图象得，
又当时，，由图象得，或，符合题意，
故实数的取值范围为，
故选：．
三．填空题（共5小题）
24．已知函数，则的最小值是 ，若关于的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数的取值范围是 ．
【解答】解：当时，，由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为；
当时，；
所以函数的最小值是；
作出函数的图象如下图所示，
由图可知，当时，函数与函数的图象无交点，
当或时，函数与函数的图象有4个交点，
当时，函数与函数的图象有3个交点，当时，函数与函数的图象有2个交点，
则符合题意的整数为0或1，
故答案为：；，．
25．方程的解集为 ， ．
【解答】解：，
故，
即，
，，
又，，
所以，在第一象限，
故，，
故答案为：，．
26．已知函数的定义域为，对任意，有，且（1），则不等式的解集为 ，， ．
【解答】解：根据题意，设，
（1），则（1）（1），
若对任意，有，则有，
必有，
函数为上的减函数，
（1），
则有，必有，解可得或，
即不等式的解集为：，，．
故答案为：，，．
27．已知函数，当方程有3个实数解时，的取值范围是 ， ．
【解答】解：方程有3个实数解，等价于函数的图象与直线有3个公共点，
因当时，在，上单调递减，在，上单调递增，，，当时，单调递增，取一切实数，
在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图：
由图象可知，当时，函数的图象及直线有3个公共点，方程有3个解，
所以的取值范围为，．
故答案为：，．
28．已知函数，，，，则满足不等式的实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：根据题意，函数，，，，
则，则函数为偶函数，
在区间，上，，其导数，
由于，，则，易得，则在，上为增函数，
则，
解可得，即实数的取值范围为，．
故答案为：，．
四．解答题（共3小题）
29．已知函数．
（1）求的值；
（2）若关于的方程有且只有一个实根，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以；
（2）因为，
所以，
则，
即，
设，因为，
当时，，
则在上有且只有一个实根，
当时，（1），不成立；
当时，△，
解得，
则，
当时，，则在有且只有一个实根，
则，解得；
综上：实数的取值范围是．
30．已知函数满足．
（1）若关于的方程恰有四个不同实数根，求实数的取值范围；
（2）若对定义域中的恒成立（其中，求的最大值．
【解答】解：（1）根据题意可得①，
②，
①②得，．
关于的方程恰有四个不同的实数根，
当时，，
此时方程只有一个实数根，不符合题意，
所以，，
所以方程可化为，
令转化为有四个根，
所以与有四个交点，
所以或，
所以，，．
（2）因为对定义域内的恒成立，即对于定义域内的恒成立，
①当时，函数是单调递减函数，
不能使恒成立，
②当时，得，
令，则，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，为增函数，
所以，
令，，
，
令，得，
所以时，，为增函数，
，时，，为减函数，
所以，
所以的最大值为．
31．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式；并画出函数图象；
（2）根据图象写出函数的单调区间，最值，若有三个解，求实数的取值范围；
（3）函数，，当，时，求函数的最小值．
【解答】解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以，
设，则，所以，
又因为是奇函数，所以，即，
综上所述，．
图象如图：
（2）函数的单调增区间为：和，单调减区间为：．有三个解，即有三个解，由图象得，．
（3）因为，，所以，
当，即时，在，上单调递增，的最小值（1），
当，即时，在，上单调递减，在，上单调递增，的最小值，
当，即时，在，上单调递减，的最小值（2）．
1
2
3
4
5
31
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