内蒙古自治区呼和浩特第十六中学2024-2025学年九年级上学期10月数学月考试题（解析版）-A4

这是一份内蒙古自治区呼和浩特第十六中学2024-2025学年九年级上学期10月数学月考试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故不合题意；
B、不是整式方程，故不合题意；
C、是一元一次方程，故不合题意；
D、是一元二次方程，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2. 已知m是方程的一个根，则代数的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，得，整理得，即可作答．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴把代入，
得，
则，
∴则代数的值等于，
故选：C．
3. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ）
A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【答案】D
【解析】
【详解】解：将抛物线y=-3x2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y=-3（x-1）2， 再向下平移2个单位得到抛物线y=-3（x-1）2-2．
故选D．
【点睛】此题考查了抛物线的平移问题，根据“上加下减，左加右减”解决问题．
4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. ，且D. ，且
【答案】D
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可．本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，，
解得：，且
故选：D．
5. 一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，设平均每节课一人教会x人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案．
【详解】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得：
，
即：，
故选：B．
6. 若m，n为方程的两根，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 10D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】由方程的解得定义可得，再根据根与系数的关系可得，然后对变形即可解答．本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识点，根据题意得到和是解答本题的关键．
【详解】解：∵m，n为方程的两根，
∴，即；，
∴，
．
故选：A．
7. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
根据题意得：．
故选：A．
8. 已知，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为，再根据抛物线的增减性以及对称性可得，，的大小关系．
【详解】二次函数，
对称轴为，
，
时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
，，在二次函数的图象上，且，，
．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
9. 二次函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．熟练掌握二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
先根据二次函数的图象确定各选项中的正负，然后判断各选项中对应的一次函数图象经过的象限，最后作答即可．
详解】解：A中二次函数，，则一次函数经过第一、二、四象限，A中一次函数图象不符，故不符合要求；
B中二次函数，，则一次函数经过第一、三、四象限，B中一次函数图象不符，故不符合要求；
C中二次函数，，则一次函数经过第一、二、三象限，C中一次函数图象不符，故不符合要求；
D中二次函数，，则一次函数经过第一、二、四象限，D中一次函数图象相符，故符合要求；
故选：D．
10. 如图，是二次函数的图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：①；②；③；④若，，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（ ）

A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴的位置，抛物线与轴的交点即可对①进行判断；根据抛物线的对称轴得，则，则可对②进行判断；由于当时，，则得到，则可对③进行判断；通过点和点离对称轴的远近对④进行判断．
【详解】解： 抛物线开口向上，
，
，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以①正确；
抛物线对称轴为直线，
，
，所以②正确；
对称轴是直线，且过点，
图象与轴的另一个交点为，
抛物线开口向上，
∴当时，，
，所以③错误；
点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大，
，所以④正确．
综上，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象性质，二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）．抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
二、填空题(每题3分，共18分)
11. 方程的一次项系数是________．
【答案】
【解析】
【分析】将方程整理成一元二次方程的一般形式，进而可得答案．
【详解】解：整理方程为，即，
∴该方程的一次项系数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程一般式，熟知一元二次方程的一般形式（，b，c为常数），其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
12. 如果函数是二次函数，则m的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】由二次函数的定义进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的定义进行解题．
13. 已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为____________．
【答案】8
【解析】
【分析】将方程左边进行因式分解后求出方程的两个根，利用三角形的三边关系可以判断出三角形的第三边长是3，由此即可求出周长．
【详解】解：由题可知：
．
不成立，
由三角形的三边关系可知它的第三边长为3，
三角形周长为2+3+3=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和解一元二次方程的内容，学生需要掌握三角形任意两边之和大于第三边的结论，题中方程用因式分解法解更为简便，该题考查了考生对三角形三边关系的理解与应用以及灵活运用恰当的方法解一元二次方程的能力．
14. 抛物线开口向_________；顶点坐标是_________；对称轴是直线____________．
【答案】 ①. 上 ②. ③.
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，根据二次函数的顶点式直接判断．即，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，顶点坐标是，对称轴是．
【详解】抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是．
故答案为：上，，．
15. 某工程队计划将一块长20米宽15米的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路其余区域进行绿化，若使绿化区域的面积为208平方米，则小路的宽为____________．
【答案】2米
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积即可得出关于x的一元二次方程，求解方程即可．
【详解】解：设小路的宽为x米，则绿化区域的长为米，宽为米，
根据题意得，，
整理得，，
解得，（不合题意，舍去）
即小路的宽为2米，
故答案为：2米．
16. 如图1，在矩形中，，点E和F同时从点A出发，点E以的速度的方向运动，点F以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动，设运动时间为，的面积为，y关于x的函数图象如图2，图象经过点，，则n 的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象．分析图形可知，图2中的图象分为三段：当点F在上时；当点E在上，且点F在上时；当点E在上，且点F在上时．图2中的最高点是当点E与点B重合时，y的值为4；当点E和点F相遇时，即到达点C时，用时6秒．由此可求出，由此可求出当点E运动3秒后y的值，即可求出m的值，进而可求出n的取值．
【详解】解：由图2可知，当点E运动到点B时，，即，
当点E和点F相遇时，即到达点C时，运动了6秒，即，
解得：，
当时，如图，，
；
当时，点F在上，点E在上，如图，
此时，，
∴；
解得，或（舍）．
故答案为：．
三、解答题(共52 分)
17. 解方程
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，对于（1），根据公式法求解；
对于（2），先整理，再根据直接开方法计算即可．
【小问1详解】
解：，
由，
可知Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×1=12>0，
∴，
∴；
【小问2详解】
整理，得，
开方，得，
即或，
∴．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程及根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案．
小问1详解】
解：由题意可知：，
∵，
∴方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解：
，
解得：或
∵方程有一个根为负数，
∴．
∴．
19. 求出符合下列条件的二次函数解析式:
（1）二次函数图象经过点，求该抛物线的解析式；
（2）已知抛物线的顶点坐标是，并且抛物线与x轴的一个交点坐标为，试求该抛物线的解析式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的三种形式．
（1）根据抛物线与x轴的交点坐标可设该抛物线的解析式为，由抛物线过点，利用待定系数法即可求出该抛物线的解析式．
（2）根据二次函数图象的顶点坐标可设该二次函数的解析式为，由二次函数图象过，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴的交点坐标为，
∴设该抛物线的解析式为．
∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴该抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：∵二次函数的图象的顶点坐标为，
∴设该二次函数的解析式为．
∵二次函数图象过点，
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为．
20. 某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．
（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；
（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？
【答案】（1）二、三月份销售量的平均月增长率为25%；（2）每件降价50元，四月份可获利12000元．
【解析】
【分析】（1）由题意可得：一月份的销售量为：320件；设二月份到三月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：320（1+x）；三月份的销售量为：320（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：500元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润=12000求出即可．
【详解】（1）解：设二、三月份销售量的平均月增长率为x，根据题意得：
320（1+x）2=500
解得：x1=0.25，x2=-2.25（不合题意，舍去）．
答：二、三月份销售量的平均月增长率为25%．
（2）解：设每件降价y元，根据题意得：
（500+10×）（150-y-80）=12000
整理得：y2+180y-11500=0
解得：y1=50，y2=-230（不合，舍去）．
答：每件降价50元，四月份可获利12000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
21. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于？
（2）几秒钟后，P，Q两点之间的距离等于？
【答案】（1）2秒或4秒
（2）2秒或秒
【解析】
【分析】考查了一元二次方程的应用，勾股定理，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用勾股定理和直角三角形的面积公式列方程求解．
（1）根据题意表示出、的长，再根据三角形的面积公式列方程即可．
（2）根据题意表示出、的长，再根据勾股定理列方程即可．
【小问1详解】
解：根据题意，知
，．
根据三角形的面积公式，得
，
，
，
解得或4．
故经过2秒或4秒钟，的面积等于；
【小问2详解】
根据勾股定理，得
，
，
解得，．
故2或秒钟后，，两点之间的距离等于．
22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，直线的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值；
（3）当取最大值时，求的面积．
【答案】（1）
（2）1 （3）2
【解析】
【分析】（1）先求出A、C的坐标，再根据二次函数的对称性求出点B的坐标 ，再利用待定系数法求解即可；
（2）设，则，则，由二次函数性质求解即可；
（3）根据，进行求解即可．
【小问1详解】
解：在中，令，则，令，则，
∴，
∵抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，
∴，
∴可设抛物线解析式为，
把代入中得，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：设，则，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为1；
【小问3详解】
解：由（2）得当最大时，，
∴
．