河北省石家庄市第八十一中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省石家庄市第八十一中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在式子：，，，，中，分式的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的定义，对应两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此求解即可．
【详解】解：在式子：，，，，中，分式有，，，共3个，
故选：C．
2. 下列命题中，是真命题的为（ ）
A. 如果a＞b，那么|a|＞|b|B. 一个角的补角大于这个角
C. 平方后等于4的数是2D. 直角三角形的两个锐角互余
【答案】D
【解析】
【详解】当b＜a＜0时，|a|＜|b|；当a、b互为相反数，且a＞0，b＜0时，|a|=|b|，故A选项错误；
当一个角为钝角时，这个角的补角小于这个角；当一个角为直角时，这个角的补角等于这个角，故B选项错误；
平方后等于4的数是2或－2，故C选项错误；
直角三角形的两个锐角互余，故D选项正确.
故选D.
3. 下列各式变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【详解】A、原式，所以A选项错误；
B、原式=，所以B选项错误；
C、原式=，所以C选项错误；
D、，所以D选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了分式基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者同一个不为零的整式，分式的值不变．
4. 在下列各组的条件中，不能判定和全等的是（ ）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法：，还有直角三角形的，是解题的关键．利用全等三角形的判定方法逐一进行判断．
【详解】解：如图，
A、由，，，利用即可证明和全等；
B、由，，，利用即可证明和全等；
C、由，，，利用即可证明和全等；
D、由，，无法证明和全等，
故选：D．
5. 已知，，那么的值为（ ）
A. 2B. C. 7D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式的加减法，乘法运算，平方差公式的应用．先计算出，将变形为，再整体代入计算即可．
【详解】解：，，
，
，
故选：B．
6. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大3倍B. 缩小3倍C. 缩小6倍D. 不变
【答案】D
【解析】
【分析】将x，y用3x，3y代入化简，与原式比较即可．
【详解】解：将x，y用3x，3y代入得
故分式的值不变．
故选D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟悉掌握分式的性质是解题关键．
7. 计算：的结果为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．原式利用除法法则变形，计算分式乘法，再计算加法即可得到结果．
【详解】解：原式
，
故选：B．
8. 运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解．
【详解】解：由题意可知：若设甲种雪糕的价格为x元，乙种雪糕价格是1.5x元，因为甲种雪糕比乙种雪糕多20根，
即甲种雪糕的根数-乙种雪糕的根数=20，甲种雪糕的根数为，乙种雪糕的根数为，所以列式为
故选B．
【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9. 如图，D在上，E在上，且．补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴要使全等，只需要一组对应边对应相等即可，
∴当或或时，，
当时，三组对应角相等，不能判定，
故选B．
【点睛】本题考查添加条件证明三角形全等．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．注意不能判定三角形全等．
10. 若关于x的方程的解为，则a应取值（ ）
A. 4B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到一个关于a的分式方程，求解检验即可．
【详解】解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：．
经检验是原方程的解，
，
故选：A．
11. 下列各分式中与分式的值相等是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的基本性质，知分式本身的符号、分子的符号、分母的符号中，只要改变其中两个符号，则分式的值不变，根据这一性质逐一分析．
【详解】解：A、在改变分母的符号时，分母应为，所以该选项与原分式的值不相等，故此选项不符合题意；
B、在改变分母的符号时，分母应为，所以该选项与原分式的值不相等，故此选项不符合题意；
C、同时改变了分子和分母的符号，与原分式的值相等，故此选项符合题意；
D、同时改变了三个符号，所以该选项与原分式的值不相等，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了分式的基本性质，能够熟练运用分式的基本性质对分式中的符号进行改变．
12. 若关于x的方程产生增根，则m的值是（ ）
A. B. C. 2D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程有增根的情况下求参数，理解分式方程的增根情况是解题关键．先去分母化简，然后根据题意得出，将其代入方程求解即可．
【详解】解：
方程两边同乘以，得
∵原方程有增根，
∴，即，
把代入，得，
故选：B．
13. 如图，已知AC和BD相交于O点，AD∥BC，AD＝BC，过点O任作一条直线分别交AD，BC于点E，F，则下列结论：①OA＝OC；②OE＝OF；③AE＝CF；④OB＝OD，其中成立的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件可得△AOD≌△CBO，△AOE≌△COF，根据这些三角形全等可以得出这四个结论.
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
又∵AD=BC，
∴△ADO≌△CBO，
∴OA=OC，OB=OD，
而∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，AE=CF．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与全等的性质；题目的难点在于根据前面得到的条件得到△AOE≌△COF，做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．
14. 已知，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，整体代入是解题的关键．
由已知可以得到，把这个式子代入所要求的式子，化简就得到所求式子的值．
【详解】解：已知，可以得到，
即，
则原式，
故选：D．
15. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）

A ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】易证，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确．
【详解】解：为的角平分线，
，
在和中，
，
，①正确；
，
，
，
，
，
，②正确，
，
，
，
，
，
，③正确；
过作，交的延长线于点，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键．
16. 如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜-2，那么符合条件的所有整数a的积是 （ ）
A. -3B. 0C. 3D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】把a看作已知数表示出不等式的解集，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a的值，即可求出之积．
【详解】解：，
由①得：x≤2a＋4，
由②得：x＜−2，
由不等式组的解集为x＜−2，得到2a＋4≥−2，即a≥−3，
分式方程去分母得：a−3x−3＝1−x，
把a＝−3代入整式方程得：−3x−6＝1−x，即x＝−，符合题意；
把a＝−2代入整式方程得：−3x−5＝1−x，即x＝−3，不合题意；
把a＝−1代入整式方程得：−3x−4＝1−x，即x＝−，符合题意；
把a＝0代入整式方程得：−3x−3＝1−x，即x＝−2，不合题意；
把a＝1代入整式方程得：−3x−2＝1−x，即x＝−，符合题意；
把a＝2代入整式方程得：−3x−1＝1−x，即x＝−1，不合题意；
把a＝3代入整式方程得：−3x＝1−x，即x＝−，符合题意；
∴符合条件的整数a的取值为−3，−1，1，3，它们的积为9，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题
17. 把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）， 如图，若测得AB＝5厘米，则槽宽为_________厘米．
【答案】5
【解析】
【分析】连接，，设为和的中点，且即可判定，即可求得的长度．
【详解】解：连接，，设为和的中点，
，，
，
即，
故（厘米），
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形的证明和对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．
18. 在中，，则边上的中线的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的不等关系；延长至E，使，连接，证明，再由三角形三边不等关系即可求解．倍长中线是关键．
【详解】解：延长至E，使，连接．
在和中，
，
∴，
∴．
在中，，
即，
故．
故答案为：．

19. 已知：，则________．
【答案】
【解析】
【分析】将方程两边同时除以字母x，把整式方程化为分式方程，再结合完全平方公式及其变式即可求解．
【详解】解：将方程两边同时除以字母x得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式及其变式，掌握相关知识是解题关键．
20. 如图，已知等边三角形中，，与交于点，则_______．

【答案】60
【解析】
【分析】由等边三角形的性质可得，，由证明得到，再由三角形外角的性质可得，即可得解．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
三、解答题（共6题）
21. 解下列分式方程
（1）
（2）
【答案】（1）无解 （2）
【解析】
【分析】（1）方程两边同时乘以，即可把方程转化成整式方程，求得的值，然后进行检验即可求解；
（2）方程两边同时乘以，即可把方程转化成整式方程，求得的值，然后进行检验即可求解．
【小问1详解】
解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
原分式方程无解；
【小问2详解】
解：方程两边同时乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
则方程的解是：．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，解方程需要注意：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
（3）去分母时要注意符号的变化．
22. 如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．求证：
（1）EC＝BF；
（2）EC⊥BF．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°，从而得证．
【小问1详解】
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
【小问2详解】
如图，设AB交CE于D
根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
所以EC⊥BF．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用“8字型”证明角相等．
23. 先化简代数式，再从-2，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件确定的值，将字母的值代入求解．
【详解】解：
，
∵，，
∴当时，原式
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
24. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
【答案】（1）见解析（2）成立
【解析】
【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB和△CFD全等，从而证出CE=CF．
（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG和△FCG全等，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．
【详解】解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵，
∴△CBE△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．
理由：∵由（1）得：△CBE△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF．
∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC，
∴△ECG△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
【点睛】本题考查了以下内容：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；解决本题的关键是理解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定．
25. 荷花文化节前夕，我市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案：
①甲队单独做这项工程刚好如期完成．
②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天．
③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．求：
（1）甲乙单独完成这项工程各需多少天？
（2）在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由．
【答案】（1）甲队单独完成需要20天，，乙队单独完成需要25天；
（2）方案③最省钱
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数乘法的实际应用：
（1）设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用天，把工作总量看做单位1，根据甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求分别求出对应方案的费用，比较即可得到结论．
小问1详解】
解：设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用天，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要25天；
【小问2详解】
解：方案①的费用为万元，
方案②的费用为万元，但是此种方案耽误工期，不符合题意；
方案③的费用为万元，
∵，
∴方案③最省钱．
26. 数学模型学习与应用：
（1）学习：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D；又∠ACB＝∠AED＝90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝ ，BC＝ ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．
（2）应用：如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若DE＝a，BD＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）；
（3）拓展：如图3，在（2）的条件下，若α＝120°，且△ACF是等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）DE，AE；（2）CE＝a﹣b；（3）等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AC＝DE，BC＝AE；
（2）由“AAS”可证△ABD≌△CAE，可得AD＝CE，BD＝AE，即可求解；
（3）由“SAS”可证△BDF≌△AEF，可得DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，可得结论．
详解】解：（1）∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC＝DE，BC＝AE，
故答案为：DE，AE；
（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝180°﹣α＝∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
∵DE＝a，BD＝b，
∴CE＝DE﹣BD＝a﹣b；
（3）△DEF是等边三角形，
理由如下：由（2）知：△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，
∵△ACF等边三角形，
∴∠CAF＝60°，AB＝AF，
∴△ABF等边三角形，
∴∠ABD+∠ABD＝∠CAE+∠CAF，
即∠DBF＝∠FAE，
在△BDF和△AEF中，
，
∴△BDF≌△AEF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝∠AFD+∠BFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形．