2025高考数学一轮复习-1.5-基本不等式-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-1.5-基本不等式-专项训练【含解析】，共10页。
一、单选题
1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))
B．y＝cs x＋eq \f(1,cs x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(00)在x＝3时取得最小值，则a＝( )
A．24 B．28
C．32 D．36
3．设00，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,3y)的最小值是( )
A．2 B．2eq \r(2)
C．4 D．2eq \r(3)
3．已知x>0，y>0且x＋y＝5，则eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,y＋2)的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B．2
C．eq \f(1,3) D．1
4．(多选题)早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项．毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称eq \f(a＋b,2)为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0)叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是( )
A．若a>0，b>0,2a＋b＝1，则eq \f(1,2a)＋eq \f(1,b)≥4
B．若实数a>0，b>0，满足2a＋b＝1，则4a2＋b2的最小值为eq \f(1,3)
C．若a>0，b>0，eq \f(1,a)＋b＝2，则eq \f(a,a＋1)＋eq \f(1,b)的最小值为eq \f(4,3)
D．若a>0，b>0，a＋b＝4，则eq \f(a2,a＋2)＋eq \f(b2,b＋2)的最小值为2
5．已知a，b∈R，且a＋2b－4＝0，则2a＋4b的最小值为________.
6．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则：①当且仅当a＝________时，eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)取得最小值________；②eq \f(1,a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))的最小值是________.
参考答案
【A级 基础巩固】
一、单选题
1．[解析] 由已知结合函数单调性及基本不等式分别检验各选项即可判断．令t＝eq \r(2＋x2)，则t≥eq \r(2)，y＝eq \f(x2＋3,\r(2＋x2))＝eq \f(1＋t2,t)＝t＋eq \f(1,t)在[eq \r(2)，＋∞)上单调递增，函数在t＝eq \r(2)处取得最小值eq \f(3\r(2),2)，A错误；令m＝cs x，则由01，,y>9，,\f(1,x)＋\f(9,y)＝1，,x－1＝y－9＝3，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝12))时取等号，故选B.
6．[解析] 因为x>0，y>0，x＋9y＝3，
则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(x＋9y)×eq \f(1,3)
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋\f(9y,x)＋\f(x,y)))≥eq \f(1,3)(10＋6)＝eq \f(16,3)，
当且仅当eq \f(9y,x)＝eq \f(x,y)且x＋9y＝3，
即y＝eq \f(1,4)，x＝eq \f(3,4)时取等号．
7．[解析] 由题意知，
f(x)＝eq \f(x2＋3x＋6,x＋1)＝eq \f(x＋12＋x＋1＋4,x＋1)＝x＋1＋eq \f(4,x＋1)＋1，
因为x>0，所以x＋1>0，
则x＋1＋eq \f(4,x＋1)＋1≥2eq \r(4)＋1＝5，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当x＋1＝\f(4,x＋1)，即x＝1时取“＝”))
故f(x)的最小值是5.
8．[解析] ∵2a＋b＝6，
∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b＋2)＝eq \f(4,2a)＋eq \f(1,b＋2)＝eq \f(1,8)(2a＋b＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2a)＋\f(1,b＋2)))
＝eq \f(1,8)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4＋1＋\f(2a,b＋2)＋\f(4b＋2,2a)))≥eq \f(1,8)×(5＋2eq \r(4))＝eq \f(9,8)，
当且仅当eq \f(2a,b＋2)＝eq \f(4b＋2,2a)，即b＝eq \f(2,3)，a＝eq \f(8,3)时，取等号．故选C.
二、多选题
9．[解析] 因为a，b>0，所以2＝a＋b≥2eq \r(ab)，所以00时，3x＋eq \f(4,x)≥2·eq \r(3x·\f(4,x))＝4eq \r(3)，当且仅当3x＝eq \f(4,x)，即x＝eq \f(2\r(3),3)时取“＝”，所以y＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(4,x)))有最大值2－4eq \r(3)，故C项不正确，D项正确．故选BD.
11．[解析] 由题意知n≤(3a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,a)＋\f(1,b)))＝10＋eq \f(3b,a)＋eq \f(3a,b)，
∵10＋eq \f(3b,a)＋eq \f(3a,b)≥10＋2eq \r(\f(3b,a)·\f(3a,b))＝16(当且仅当a＝b时取等号)，
∴10＋eq \f(3b,a)＋eq \f(3a,b)的最小值为16，
故n的最大值为16.选BC.
三、填空题
12．[解析] 由题设，eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)≥2eq \r(\f(1,a)·\f(9,b))＝eq \f(6,\r(ab))＝3，当且仅当b＝9a＝6时等号成立．
13．[解析] (1)∵x>2，∴x－2>0.
∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2eq \r(4)＋2＝6，
当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时“＝”成立．
∴x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6.
(2)∵x≥4，∴x－1≥3.
∵函数y＝t＋eq \f(4,t)在[3，＋∞)上单调递增，
∴当x－1＝3，即x＝4时，y＝(x－1)＋eq \f(4,x－1)＋1
有最小值eq \f(16,3).
14．[解析] f(x)＝3x＋1＋eq \f(a,3x＋1)－1≥2eq \r(a)－1＝5，∴a＝9，经检验，当3x＝2，即x＝lg32时等号成立．
15．[解析] ∵x>0，y>0，
∴eq \f(2y,x)＋eq \f(8x,y)≥2eq \r(\f(2y,x)·\f(8x,y))＝8(当且仅当y＝2x时取等号)，
∴eq \f(2y,x)＋eq \f(8x,y)的最小值为8，
由题意可知m2＋2m－80，y>0，
所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,3y)＝(x＋3y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,3y)))＝2＋eq \f(3y,x)＋eq \f(x,3y)≥2＋2eq \r(\f(3y,x)·\f(x,3y))＝4，当且仅当x＝3y＝eq \f(1,2)时取等号，所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,3y)的最小值为4.故选C.
3．[解析] 令x＋1＝m，y＋2＝n，
∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，
则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，
∴eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,y＋2)＝eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))×eq \f(1,8)(m＋n)
＝eq \f(1,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)＋\f(m,n)＋2))≥eq \f(1,8)·(2eq \r(1)＋2)＝eq \f(1,2).
当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(m,n)，即m＝n＝4时等号成立．
∴eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,y＋2)的最小值为eq \f(1,2).
4．[解析] 根据2a＋b＝1，利用基本不等式“1”的妙用，即可求出eq \f(1,2a)＋eq \f(1,b)的最小值；先将2a＋b＝1完全平方后展开，利用基本不等式即可求解；用b表示出a，再代入eq \f(a,a＋1)＋eq \f(1,b)中，利用基本不等式求出最小值；设eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋2＝m，,b＋2＝n，))用m和n表示出a和b，再代入eq \f(a2,a＋2)＋eq \f(b2,b＋2)化简变形，利用基本不等式求得最小值．因为a>0，b>0,2a＋b＝1，所以eq \f(1,2a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(1,b)))(2a＋b)＝2＋eq \f(b,2a)＋eq \f(2a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,2a)·\f(2a,b))＝4，当且仅当eq \f(b,2a)＝eq \f(2a,b)，即b＝2a时，等号成立，故A正确；∵2a＋b＝1，∴1＝(2a＋b)2＝4a2＋b2＋4ab＝4a2＋b2＋2eq \r(4a2)eq \r(b2)≤2(4a2＋b2)，∴4a2＋b2≥eq \f(1,2)，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))时等号成立，故B错误；原式＝eq \f(1,\f(1,a)＋1)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,2－b＋1)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,3－b)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3－b)＋\f(1,b)))(3－b＋b)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3－b,b)＋1＋1＋\f(b,3－b)))≥eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当b＝\f(3,2)，a＝2时取等号))，故C正确；令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋2＝m，,b＋2＝n，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝m－2，,b＝n－2，))由a＋b＝4，得m＋n＝8，则eq \f(a2,a＋2)＋eq \f(b2,b＋2)＝eq \f(m－22,m)＋eq \f(n－22,n)＝m＋eq \f(4,m)－4＋n＋eq \f(4,n)－4＝eq \f(4,m)＋eq \f(4,n)，而eq \f(4,m)＋eq \f(4,n)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2\r(\f(n,m)·\f(m,n))))＝2，当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(m,n)，即n＝m时，等号成立，故D正确．故选ACD。
5．[解析] 由a＋2b－4＝0得a＋2b＝4，∴2a＋4b＝2a＋22b≥2eq \r(2a·22b)＝2eq \r(2a＋2b)＝2eq \r(24)＝8(当且仅当2a＝22b，即a＝2b时取等号)．∴2a＋4b的最小值为8.
6．[解析] 由eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋b)＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(2a,b)≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(2a,b))＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当b＝eq \r(2)a，即a＝eq \r(2)－1，b＝2－eq \r(2)时等号成立，
eq \f(1,a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))＝eq \f(b,a)＋eq \f(1,ab)＝eq \f(b,a)＋eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(b＋1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋2b,a)＋eq \f(a＋b,b)＝2＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝2＋2eq \r(2)，
当且仅当a＝eq \r(2)b，即a＝2－eq \r(2)，b＝eq \r(2)－1时等号成立．