人教版数学七年级下册期末提升训练专题02 实数 （知识点树梳理+经典例题+变式训练） （解析版）

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【知识梳理】

【典例剖析】
考点1 平方根
【典例1】（2020•怀化）（﹣2）2的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．
【答案】C
【解答】解：∵（﹣2）2＝4，
∴4的平方根是：±2．
故选：C．
【变式1】（2021秋•平顶山期末）16平方根是（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．±8
【答案】C
【解答】解：16平方根是±4．
故选：C．
【变式2】（2020•章丘市二模）的平方根是（ ）
A．81B．±3C．﹣3D．3
【答案】B
【解答】解：∵＝9，
而9＝（±3）2，
∴的平方根是±3．
故选：B．
考点2 利用平方根解方程
【典例2】（2022春•浦北县校级月考）解方程：
（1）4x2＝16； （2）9x2﹣121＝0．
【答案】（1）x＝±2 （2）
【解答】解：（1）4x2＝16，
x2＝4，
x＝±2；
（2）9x2﹣121＝0，
9x2＝121，
x2＝
【变式1】（2021秋•鼓楼区期末）求下列各式中的x：
（1）2x2＝10； （2）（3x+2）2＝16；
【答案】（1） （2）x＝或x＝﹣2
【解答】解：（1）2x2＝10，
x2＝5，
；
（2）3x+2＝4或3x+2＝﹣4，
解得x＝或x＝﹣2；
【典例3】（2021秋•临漳县期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【答案】（1） a＝1 (2) 49 (3)x＝±4．
【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得，a＝1；
（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，
∴m＝72＝49；
（3）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
【变式1】（2021春•淮滨县期末）一个正数的两个平方根是2m﹣4和3m﹣1，则m的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．无法确定
【答案】C
【解答】解：由题意可得：2m﹣4+3m﹣1＝0，
解得：m＝1，
故选：C．
【变式2】（2022春•仁怀市校级月考）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求：
（1）m+n的值；
（2）（m+n）2的平方根．
【答案】（1） 2 （2）±2
【解答】解：（1）∵132＝169，
∴m＝13，
∵（﹣11）2＝121，
∴n＝﹣11，
∴m+n＝13+（﹣11）＝2；
（2）（m+n）2＝4＝（±2）2，
∴（m+n）2的平方根是±2．
故答案为：（1）2，（2）±2．
考点3 算术平方根
【典例4】（2022•武昌区模拟）的值是（ ）
A．5B．±5C．D．±12.5
【答案】A
【解答】解：因为52＝25，
所以＝5．
故选：A．
【变式1】（2021秋•崂山区期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．＝4B．＝﹣2C．＝±4D．±＝2
【答案】A
【解答】解：∵＝4，∴A正确；
∵无意义，∴B不正确；
∵＝4≠±4，∴C不正确；
∵＝±2≠2，∴D不正确；
故选：A．
【变式2】（2022春•崇川区校级月考）若≈10.1，＝3.19，则≈ ．
【答案】1.01
【解答】解：＝＝≈＝1.01，
故答案为：1.01．
【典例5】（2022春•滑县月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a、b的值；
（2）求ab+5的平方根．
【答案】（1）a＝5，b＝4； （2）±5
【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．
∴2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，
解得a＝5，b＝4；
（2）当a＝5，b＝4时，ab+5＝25，
而25的平方根为±＝±5，
即ab+5的平方根是±5．
【变式1】（2021春•饶平县校级期中）已知2a﹣1的平方根是，3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b的平方根．
【答案】±7
【解答】解：根据题意，得2a﹣1＝17，3a+b﹣1＝62，
解得a＝9，b＝10，
所以，a+4b＝9+4×10＝9+40＝49，
∵（±7）2＝49，
∴a+4b的平方根是±7．
考点4 非负数的性质
【典例6】（2021春•霍邱县期中）已知+＝0，那么（a+b）2021的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．
【答案】C
【解答】解：根据题意得，a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
所以（a+b）2021
＝（﹣2+1）2021
＝（﹣1）2021
＝﹣1，
故选：C．
【变式1】（2020春•肇源县期末）已知＝0，则（a﹣b）2＝ ．
【答案】25
【解答】解：由题意知，，
解得，
∴（a﹣b）2＝（2+3）2＝25．
【变式2】（2022春•崇川区校级月考）已知+＝0，求（x+y）2020的值．
【答案】1
【解答】解：根据题意，得
x+3＝0，2y﹣4＝0，
解得：x＝﹣3，y＝2，
∴（x+y）2020＝（﹣3+2）2020＝1．
即（x+y）2020的值是1．
考点5 立方根
【典例7】（2022•碑林区校级二模）﹣27的立方根为（ ）
A．±3B．±9C．﹣3D．﹣9
【答案】C
【解答】解：＝﹣3．
故选：C．
【变式1】（2021秋•常宁市期末）的立方根是（ ）
A．±B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∴（）3＝，
∴的立方根是；
故选：D．
【变式2】（2021秋•淮阳区期末）已知x没有平方根，且|x|＝64，则x的立方根为（ ）
A．8B．﹣8C．±4D．﹣4
【答案】D
【解答】解：由题意得，x为负数，
又∵|x|＝64，
∴x＝﹣64，
故可得：x的立方根为：﹣4．
故选：D．
【典例8】（2019秋•南关区校级月考）64（x+1）3﹣125＝0．
【答案】x＝．
【解答】解：方程整理得：（x+1）3＝，
开立方得：x+1＝，
解得：x＝．
【变式1】（2021春•龙马潭区月考）求式中的x：27（x﹣3）3＝﹣64．
【答案】x＝．
【解答】解：方程两边除以27得，（x﹣3）3＝﹣，
x﹣3＝﹣
x＝．
【变式2】（2021春•海城市月考）解方程：3（x﹣1）3＝24．
【答案】x＝3
【解答】解：3（x﹣1）3＝24，
（x﹣1）3＝8，
x﹣1＝2，
x＝3．
【典例9】（2021秋•文山市期末）已知：2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，求的值．
【答案】4
【解答】解：∵2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，
∴2a+1＝32＝9，3a﹣b﹣1＝23＝8，
∴a＝4，b＝3，
∴原式＝＝＝4．
【变式1】（2021秋•义乌市期末）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求6a+3b的平方根．
【答案】（1） a＝5，b＝2 （2）±6
【解答】解：（1）∵4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4，
∴4a+7＝27，2a+2b+2＝16，
∴a＝5，b＝2；
（2）由（1）知a＝5，b＝2，
∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，
∴6a+3b的平方根为±6．
【变式2】（2021秋•乾县期末）已知2a的平方根是±2，﹣2是3a+b的立方根，求a﹣2b的算术平方根．
【答案】
【解答】解：∵4的平方根是±2，
∴2a＝4，
解得a＝2，
∵﹣2是3a+b的立方根，
∴3a+b＝﹣8，
6+b＝﹣8，
解得b＝﹣14，
∴
＝
＝，
∴a﹣2b的算术平方根是．
考点6 无理数
【典例10】（2022•平阳县一模）数，1，0，﹣3中是无理数的是（ ）
A．B．1C．0D．﹣3
【答案】A
【解答】解：A、是无理数，故此选项符合题意；
B、1是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、﹣3是整数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【变式1】（2022•梅州模拟）在下列实数中，无理数是（ ）
A．B．C．D．2π
【答案】D
【解答】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．2π是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式2】（2021秋•沙坡头区校级期末）在0，﹣，2π，3.141592，2+，，3.212212221…（两个1之间依次增加1个2）这些数中，无理数的个数为（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：0，，是整数，属于有理数；
﹣是分数，属于有理数；
3.141592是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
无理数有2π，2+，3.212212221…（两个1之间依次增加1个2），共3个．
故选：C．
考点7 实数的性质
【典例11】（2020•新华区一模）如图，设一枚5角硬币的半径为1个单位长度，将这枚硬币放置在平面内一条数轴上，使硬币边缘上一点P与原点O重合，让这枚硬币沿数轴正方向无滑动滚动，转动一周时，点P到达数轴上点P′的位置，则点P′所对应的数是（ ）
A．2πB．6.28C．πD．3.14
【答案】A
【解答】解：硬币的周长是2π，转动一周时前进了2π个单位长度，所以点P′所对应的数是2π．
故选：A．
【变式1】（2020•淄博）能与数轴上的点一一对应的是（ ）
A．整数B．有理数C．无理数D．实数
【答案】D
【解答】解：根据实数与数轴上的点是一一对应关系．
故选：D．
【变式2】（2020•开县校级一模）如图，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B，则点B表示的数是（ ）
A．πB．2πC．2π﹣1D．2π+1．
【答案】C
【解答】解：A点表示的数加两个圆周，可得B点，
﹣1+2π，
故选：C．
【变式3】（2021秋•长沙县期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么a，﹣a，b，﹣b之间的大小关系正确的是（ ）
A．b＜aB．a＜﹣bC．﹣a＜bD．﹣a＜﹣b
【答案】C
【解答】解：由数轴可知，a＜0＜b，且|b|＞|a|，
如图，
∴﹣b＜a＜﹣a＜b，
故选：C．
【典例12】（2021秋•东营期末）﹣2的绝对值是 ．
【答案】2﹣
【解答】解：﹣2的绝对值是 2﹣，
故答案为：2﹣．
【变式1】】（2021秋•丹棱县期末）1﹣的绝对值是 ．
【答案】﹣1
【解答】解：1﹣的绝对值是﹣1．
故答案为：﹣1．
【变式2】（2021秋•江阴市期末）的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：的相反数是﹣（﹣1）＝1﹣，
故选：B．
【变式3】（2022春•新罗区校级月考）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．2与B．﹣2与C．与D．|﹣3|与
【答案】B
【解答】解：A．2与＝2，两数相等，故此选项不合题意；
B．﹣2与＝2，两数互为相反数，故此选项符合题意；
C．与＝2，两数不相等也不是互为相反数，故此选项不合题意；
D．|﹣3|与＝3，两数相等，故此选项不合题意；
故选：B．
考点8 实数的估算
【典例13】（2022•淮阴区模拟）估计2的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【答案】B
【解答】解：∵2＝，4＜＜5，
∴2的值应在4和5之间，
故选：B．
【变式1】（2022春•滑县月考）a和b是两个连续的整数，且满足a＜＜b，则a，b分别表示（ ）
A．2，3B．6，7C．9，10D．10，11
【答案】B
【解答】解：∵＜＜，
∴6＜＜7，
又∵a和b是两个连续的整数，且满足a＜＜b，
∴a＝6，b＝7，
故选：B．
【变式2】估计的取值范围是（ ）
A．0到1之间B．1到2之间C．2到3之间D．3到4之间
【答案】B
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴估计的取值范围是1到2之间，
故选：B．
考点9 实数的运算
【典例14】（2022•椒江区校级开学）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）-10 （2）3．
【解答】解：（1）
＝﹣1+（﹣3）﹣6
＝﹣4﹣6
＝﹣10；
（2）
＝2﹣2﹣2+﹣（﹣4）
＝2﹣2﹣2++4
＝3．
【变式1】（2021秋•船山区校级期末）计算：+++．
【答案】+2
【解答】解：+++
＝﹣2+5+2﹣3
＝+2．
【变式2】（2021秋•石景山区期末）计算：．
【答案】
【解答】解：
＝
＝3﹣2+﹣1+3
＝．
考点10 实数的实际应用
【典例15】（2021春•越秀区校级期中）如图，有一个面积为400cm2的正方形．
（1）正方形的边长是多少？
（2）若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明．
【答案】（1）20（cm） （2）不能
【解答】解：（1）∵正方形的面积为400cm2，
∴正方形的边长是＝20（cm）；
（2）设长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm，
则5x•4x＝360，
解得：x＝3，
则5x＝15＞20，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2．
【变式1】（2021秋•江干区校级期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9．
（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由．
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1） 2和3之间（2）3﹣6
【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6，
∴小正方形的边长为，
∵4＜6＜9，
∴2＜＜3，
∴小正方形的边长在2和3之间；
（2）阴影部分的面积＝×（3﹣）＝3﹣6．
【变式2】（2021春•大连期末）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面积为30cm2？请说明理由．
【答案】不能
【解答】解：不能，
因为大正方形纸片的面积为（）2+（）2＝36cm2，
所以大正方形的边长为6cm，
设截出的长方形的长为3bcm，宽为2bcm，
则6b2＝30，
所以b＝（取正值），
所以3b＝3＝＞，
所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片．