人教版数学八上期末训练专题04 整式的乘法与因式分解突破核心考点【知识梳理+解题方法+专题过关】（2份，原卷版+解析版）

这是一份人教版数学八上期末训练专题04 整式的乘法与因式分解突破核心考点【知识梳理+解题方法+专题过关】（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版数学八上期末训练专题04整式的乘法与因式分解突破核心考点知识梳理+解题方法+专题过关原卷版doc、人教版数学八上期末训练专题04整式的乘法与因式分解突破核心考点知识梳理+解题方法+专题过关解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。
考点一 同底数幂的乘法与逆用 考点二 幂的乘方运算与逆用
考点三 积的乘方运算与逆用 考点四 幂的混合运算
考点五 单项式乘多项式及多项式乘多项式 考点六 已知多项式乘积不含某项求字母的值
考点七 多项式乘多项式与图形面积 考点八 求完全平方式中的字母系数
考点九 整式四则混合运算及化简求值 考点十 乘法公式与几何图形
考点十一 通过对完全平方公式变形求值及求最值
考点十二 判断是否是因式分解 考点十三 已知因式分解的结果求参数
考点十四 因式分解 考点十五 因式分解的应用
【知识梳理+解题方法】
一、同底数幂的乘法性质
(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
二、幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
三、积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
四、单项式乘单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
五、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
六、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
七、平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
八、完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

九、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
十、补充公式
；；
；.
十一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
十二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
十三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
十四、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.
十五、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.
【专题过关+能力提升】
考点一 同底数幂的乘法与逆用
例题1：（2022·河南平顶山·七年级期末）计算：______．
例题2：（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）已知 ，，则=____
【变式训练】
1．（2022·湖南·新化县东方文武学校七年级期中）=________________．
2．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学七年级期中）计算： ____________．
3．（2022·山东·北辛中学七年级阶段练习）＝_____．
4．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学七年级阶段练习）已知，的值是_______．
5．（2022·江苏·南师附中新城初中黄山路分校七年级期中）若，，则______．
考点二 幂的乘方运算与逆用
例题1：（2022·湖南永州·七年级期中）计算______．
例题2：（2022·广东·佛山市顺德区勒流育贤实验学校七年级期中）已知，，则＝（ ）
A．24B．36C．48D．12
【变式训练】
1．（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）当时，则=_____
2．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）已知2m＝8n＝4，则m＝_____，2m+3n＝_____．
3．（2022·江西抚州·七年级期中）已知：，，则______．
4．（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）已知，，则＝（ ）
A．10B．5C．2D．40
5．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
考点三 积的乘方运算与逆用
例题1：（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）计算 的结果是（ ）
A．8x6 y2B．4 x6 y2C．4 x5 y2D．8 x5 y2
例题2：（2021·河南·鹤壁市外国语中学八年级开学考试）计算：
(1)已知，求的值；
(2)已知n为正整数，且，求的值．
【变式训练】
1．（2022·安徽·合肥新华实验中学七年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·江苏·南京钟英中学七年级阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果，求x的值；
（2）如果，求x的值；
（3）若，，用含x的代数式表示y．
4．（2020·吉林·长春市第十三中学校七年级期中）已知，， ．
（1）当，时， ， ．
（2）当，时， ， ．
（3）观察（1）和（2）的结果，可以得出结论： （n为正整数）．
（4）此性质可以用来进行积的乘方运算，反之仍然成立．如，，…．应用上述等式，求的值．
考点四 幂的混合运算
例题：（2022·安徽阜阳·八年级期末）计算:；
【变式训练】
1．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）计算：．
2．（2022·江苏·七年级专题练习）计算：
(1)； (2)； (3)．
3．（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）计算：
(1) (2)+
4．（2022·重庆市第十一中学校七年级期中）计算：
(1)； (2)．
5．（2022·全国·七年级）计算：
（1） （2）
考点五 单项式乘多项式及多项式乘多项式
例题1：（2022·江苏·阜宁县实验初级中学七年级阶段练习）计算的结果是________．
例题2：（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）计算：．
【变式训练】
1．（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）计算∶
(1) (2)
(3) (4)
2．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值，其中．
3．（2021·福建·上杭县第三中学八年级阶段练习）计算：
4．（2022·福建·福州立志中学八年级期末）计算．
考点四 已知多项式乘积不含某项求字母的值
例题：（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（ ）
A．1B．0C．-1D．
【变式训练】
1．（2021·福建省泉州市培元中学八年级期中）如果的展开式中不含项，则a的值是（ ）
A．5B．C．0D．
2．（2021·广东·惠州大亚湾区金澳实验学校八年级阶段练习）若x﹣m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．3B．1C．0D．﹣3
3．（2022·河北·安新县第二中学七年级阶段练习）已知多项式A＝2x3﹣2mx2+3x﹣1，B＝﹣x3+2x2+nx+6，若A﹣B的结果中不含x2和x项，则m，n的值为（ ）
A．m＝﹣1，n＝3B．m＝﹣1，n＝﹣3C．m＝1，n＝3D．m＝1，n＝﹣3
4．（2022·四川·达川区金华学校七年级期中）在与的积中，不含有xy项，则a=_____．
考点七 多项式乘多项式与图形面积
例题：（2022·广东·深圳市宝安区中英公学七年级期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
(1)用含，的整式表示花坛的面积；
(2)若，，工程费为元平方米，求建花坛的总工程费为多少元？
【变式训练】
1．（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示）留下一个“T”型的图形（阴影部分）
(1)用含，的代数式表示“T”型图形的面积并化简．
(2)若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．
2．（2022·浙江·余姚市舜水中学七年级期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成小块，除阴影部分A，B外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为．
(1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________．（用含的代数式表示）
(2)分别用含，的代数式表示阴影部分A，B的面积．
(3)当取何值时，阴影部分A与阴影部分的面积之差与的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分的面积之差．
3．（2022·浙江杭州·七年级期中）如图所示，有一块边长为(3a+b)米和(a+2b)米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为(2a+b)米，宽为(a+b)米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．
(1)请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）
(2)若，，求休息区域的面积；
(3)若游泳池面积和休息区域的面积相等，且，求此时游泳池的长与宽的比值．
考点八 求完全平方式中的字母系数
例题：（2022·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若是完全平方式，则k的值为____________．
【变式训练】
1．（2022·云南文山·七年级期中）若代数式是完全平方式，则k等于（ ）
A．B．8C．16D．
2．（2022·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
3．（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）若是关于的完全平方式，则______．
4．（2022·山东烟台·八年级期中）关于的二次三项式是完全平方式，则的值是______________．
考点九 乘法公式化简运算
例题1：（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个B．个C．个D．个
例题2：（2022·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【变式训练】
1．（2022·四川乐山·八年级期末）化简：
2．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝2；
3．（2022·河南平顶山·七年级期末）运用整式乘法公式先化简，再求值．其中，a＝－2，b＝1．
4．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x=-1，y=2．
5．（2021·湖南·长沙一中岳麓中学八年级阶段练习）整式化简：
(1)；
(2)．
6．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）先化简，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中，．
考点十 乘法公式与几何图形
例题1：（2022·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： ；
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
例题2：（2021·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．
(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______．
【变式训练】
1．（2022·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算：；
(3)【拓展】计算：．
3．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸片，种纸片是边长为的 正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形， 并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．
(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为的矩形， 则需要号卡片 1 张，号卡片 2 张，号卡片________张．
(3)根据（1） 题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 ：，，求的值；
②已知，求的值．
4．（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．
(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则=_____．
(3)知识迁移：设A=，B=x+2y﹣3，化简的结果．
(4)知识延伸：若，代数式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．
考点十一 通过对完全平方公式变形求值及最值
例题1：（2021·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）已知a﹣b＝5，ab＝3，求代数式的值．
例题2：（2022·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为，因为，所以，即的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)求的最大值．
【变式训练】
1．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
2．（2021·黑龙江·大庆市大同区同祥学校七年级期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
(1)a2+b2；
(2)a2﹣ab+b2．
3．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：，
又，，的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
4．（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____；
(2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若，求y+2x的最小值．
考点十二 判断是否是因式分解
例题：（2021·福建省泉州市培元中学八年级期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2022·福建·尤溪县坂面中学八年级期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x+2＝x（1+）D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
2．（2022·江苏宿迁·七年级期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
考点十三 已知因式分解的结果求参数
例题：（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）把多项式因式分解得(x+3)(x+2)，则m＝_____．
【变式训练】
1．（2022·河北保定·八年级期末）若多项式因式分解为，则________．
2．（2022·浙江舟山·七年级期末）已知二次三项式分解后有一个因式为，则______．
考点十四 因式分解
例题1：（2022·黑龙江大庆·八年级期末）因式分解：
(1)； (2)
例题2：（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
例题3：（2022·广东·南山实验教育集团八年级期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．
这种分解因式的方法叫分组分解法．
请利用这种方法分解因式．
【变式训练】
1．（2022·江苏宿迁·七年级期末）因式分解
(1)； (2)．
2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学八年级阶段练习）分解因式：
(1) (2) (3)
3．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
4．（2022·福建三明·八年级期中）阅读下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解
．
这样，我们得到．
利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式．
例把分解因式
分析：中的二次项系数为1，常数项，一次项系数，这是一个型式子．
解：
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式．
(1)
(2)
5．（2022·山西吕梁·八年级期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
__________________；
__________________．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
考点十五 因式分解的应用
例题：（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则a＝ ，b＝ ．
(2)已知，求xy的值．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长．
【变式训练】
1．（2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学七年级期中）阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则 ， ．
(2)已知，求的值．
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．
2．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：
(1)不论x，y为何有理数，的值均为( )
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
(2)若，求的值．
(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．