重庆市南开中学2024-2025学年高三上学期12月初数学测试题（Word版附解析）

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1. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. 7B. 14C. 21D. 42
2. 已知复数，则（ ）
A. 2B. C. 1D. 0
3. 已知直线和，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知椭圆左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ）
A. B. C. D. 4
7. 已知抛物线C：的焦点为，直线与C交于A，B两点，则（ ）
A. 18B. 16C. 6D. 4
8. 设无穷等差数列的公差为，集合.则（ ）
A. 不可能有无数个元素
B. 当且仅当时，只有1个元素
C. 当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为
D. 当时，最多有个元素，且这个元素的和为0
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 在数列和中，，，，下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 36是与的公共项D.
10. 已知椭圆，不经过原点、斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，为线段的中点.下列结论正确的是（ ）
A. 直线与垂直
B. 若点M坐标为，则直线方程为
C. 若直线方程，则点M坐标为
D. 若直线方程为，则
11. 已知直线l经过点，曲线，下列说法正确的（ ）
A. 当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为
B. 当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个
C. 当直线l与曲线有4个公共点时，直线l斜率的取值范围为
D. 存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若点A在第一象限，且，则直线AB的倾斜角为___________.
13. 已知圆，直线，直线l被圆C截得的最短弦长为________．
14. 椭圆C：的左右焦点分别为、，点M为其上的动点.当为钝角时，点M的横坐标的取值范围是________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆C的半径为1，圆心既在直线上又在直线上.
（1）求圆C的标准方程
（2）过点作圆C的切线，求切线方程．
16. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点.
求双曲线的方程；
以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程.
17. 某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据.

（1）设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型.
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量.
附：；样本相关系数；经验回归方程，其中.
18. 已知椭圆（，）的左、右焦点分别为、，左顶点为A，点P、Q为C上关于坐标原点O对称的两点，且，且四边形的面积为.
（1）求椭圆C标准方程；
（2）若斜率不为0的直线过椭圆C的右焦点且与椭圆C交于G、H两点，直线、与直线分别交于点M、N.求证：M、N两点的纵坐标之积为定值.
19. 已知函数．
（1）若曲线和直线相切，求a的值；
（2）若存在两个不同a，使得的最小值为0，求证：．
20
66
770
200
14
460
4.20
3125000
0308
21500