2023-2024学年山东省威海市乳山市(五四制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023-2024学年山东省威海市乳山市(五四制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】配方得：，
∴抛物线顶点坐标为．
故选：B．
2. 关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（ ）
A. 图象经过点B. 图象位于第一、三象限
C. 当时，随的增大而增大D. 图象关于原点成中心对称
【答案】C
【解析】A、把x=-1代入y=得y=-2，则点（1，2）在y=的图象上，
所以A选项的说法正确；
B、k=2＞0，则双曲线y=的两支分别位于第一、第三象限，
所以B选项的说法正确；
C、当时，随的增大而减小，所以C选项的说法错误；
D、图象关于原点成中心对称，所以D选项的说法正确．
故选：C．
3. 在中， ， ，则的值是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】如图：
∵，
∴可以假设，，
∴
∴，
故选：B．
4. 若点，都在反比例函数的图像上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵点在反比例函数的图像上，
∴，解得：，∴反比例函数的解析式为，
∵在反比例函数的图像上，
∴．故选：B．
5. 如图，点是函数图象上的一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足为点，，则四边形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据反比例函数k的几何意义可得四边形ABOC的面积为 ，
故选：B．
6. 下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（ ）
A. 1.6＜x1＜1.8B. 2.0＜x1＜2.2
C. 1.8＜x1＜2.0D. 2.2＜x1＜2.4
【答案】B
【解析】由表格可知当x＝2.0时，y＝−0.20＜0，当x＝2.2时，y＝0.22＞0，
所以方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1的取值范围是2.0＜x1＜2.2，
故选B．
7. 如图，小明在M处用高（即）的测角仪测得旗杆顶端B的仰角为，将测角仪沿旗杆方向前进到N处，测得旗杆顶端B的仰角为，则旗杆的高度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，
∵，
∴，
∴米，在中，，
即米，
∴
故选：D
8. 反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图知，的图象在第三象限，，的图象在第四象限，
∴，
又当时，有，
∴．故选：C．
9. 如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】∵抛物线的对称轴是直线，且经过点，
∴抛物线经过点，
∴当时，，
故选A．
10. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是菱形,点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】过作轴于，
，，
，
由勾股定理得：，
①当时，
如图所示，，，；
②时，，，．
故选C．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）
11. 若函数的图象过点，则此函数图象位于第_____象限．
【答案】一、三
【解析】根据题意得，
所以反比例函数得图象分布在第一、三象限．
故答案为：一、三．
12. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则_______.
【答案】
【解析】根据勾股定理得，，，
过点B作于点D，
∵，
∴，∴，
故答案为：．
13. 如图，抛物线与直线交于A，B两点，与x轴负半轴交于点C，则四边形的面积是_____．

【答案】9
【解析】对于，令得，
解得，,∴，∴
由和联立方程得，，解得，
∴
∴；又，
∴四边形的面积为：,
故答案为：9．
14. 如图,在等腰中,是上一点,若，则的长为_____．

【答案】2
【解析】作于E，

∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴在等腰直角三角形中，由勾股定理得，
故答案为：2．
15. 如图，点A在第一象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴的正半轴交于点B，对称轴为直线，点C在抛物线上，且位于点A，O之间（点C与A，O不重合），若的周长为m，则四边形的周长为_____．
【答案】
【解析】∵点A是抛物线的顶点，
∴．
∵的周长为m，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴四边形的周长．
故答案为：．
16. 如图，点A，B是第一象限内双曲线上的点（点B在点A的左侧），若B点的纵坐标为1，为等边三角形，则k的值是_____．
【答案】
【解析】作，交的延长线于N，作轴于H，轴于Q，
设，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴A是的中点，
∴，
∵点A、B是第一象限内双曲线上点（点B在点A的左侧），
∴
解得或，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程）
17. 计算：．
解：=．
18. 如图，函数与的图象交于点A，，连接．
（1）直接写出k和b的值： ， ；
（2）若，求x的取值范围；
（3）在函数的图象上存在点P，使得直线能将的面积二等分，直接写出点P的坐标： ．
解：（1）把代入，得：；
把代入，得：
∴，
故答案为：，4；
（2）由（1）知，，，
布局，得，
解得，；
∴,
∴根据图象得，当时，x的取值范围或；
（3）当直线经过线段的中点，
即是的中线能将的面积二等分，
∵,
∴线段的中点坐标为，即，
设直线的解析式为，
把代入得，，解得，，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去）
∴点P的坐标为：
故答案为：
19. 商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯长为，坡角，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）

解：在中，
∵，
∴．
在中，．
∴．
所以水平距离增加的长度约为．
20. 某班同学参加社会行业体验及公益活动，准备以每斤6元的价格购进一批水果进行销售，并将所得利润捐给孤寡老人．所购水果每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）间的关系如下表：
（1）求每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）间的函数表达式；
（2）若水果的进货成本每天不超过960元，每天还要获得最大利润，求水果的销售单价及最大利润．
解：（1）设y与x之间的函数表达式是
由题意可得，
解得，
所以，y与x之间的函数表达式是：；
由题意可得，，
即每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）之间的函数表达式为：；
（2）由题意得．
解得．
由得对称轴为：．
∵，．
∴水果的销售单价为13元时，可获得最大利润．此时，
即每天要想获得最大的利润，这种水果的销售单价是13元，该天的最大利润是980元．
21. 已知关于x的二次函数．
（1）若该函数图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且经过点，求的面积；
（2）若将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式．
解：（1）∵该二次函数图象经过点，
∴，
解得．
∴二次函数的表达式为．
令，则．
∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为．
令，则．
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为．
所以的面积是．
（2），
∴该函数的顶点坐标是，
∵顶点恰好落在y轴上，
∴该函数图象向左平移个单位．
∴
22. 为进行技术转型，某企业从今年月开始对车间的生产线进行为期个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，利润与时间的图像如图所示．
（1）分别求出生产线升级改造前后，与的函数表达式．
（2）已知月利润少于万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月．
解：（1）∵改造期间的月利润与时间成反比例函数，
设升级改造前y与x的函数表达式为，
当时，，
∴，即，
∴升级改造前y与x的函数表达式为（，且为整数）；
当时，，
∵到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元，
∴，
∴升级改造后y与x的函数表达式为（且为整数），
∴升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）；
（2）在中，当时，，
∵，∴在该象限中，随的增大而减小，
∴时，，
在中，
当时，，
∴，
∴且为整数．
∴可取，，，，；共5个月．
∴资金紧张期共有个月．
23. 如图,直线与x，y轴分别交于点A,B,过A,B两点的抛物线与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）点M是直线上一动点，过点M作y轴的平行线与抛物线交于点D，若以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
解：（1）对于直线，令则；
令则，解得，
∴，
把代入，得，
解得，，
∴抛物线解析式为：；
（2）对于，令，则，
解得，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标为（m，），则点D的坐标为（m，）．
∴或．
∵以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，，
∴．
∴或．
由，得
，．
由，得，
∴方程无解．
∴点M的坐标为或．
24. 如图1,一次函数的图像与y轴交于点A,与反比例函数的图像交于点，连接．
（1）___________，___________．
（2）若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标．
解：（1）∵点在反比例函数的图像上，
∴，即．
∵一次函数的图像过点，
∴，解得．
故答案为：1，；
（2）存在．理由如下：
若是以为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论：
①当点O为直角顶点时，
如图，过点O作且，分别过点B、作y轴的垂线，垂足分别为E、F，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴
②当点B为直角顶点时，
如图，过点B作，且，连接，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴．
综上，点P的坐标为或．
（3）∵点C在线段AB上（不与点A，B重合），
∴设点，
则点，
则，
解得，（舍去），
故点C的坐标为．
x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
－0.80
－0.54
－0.20
0.22
0.72
x
10
11
12
13
14
…
y
200
180
160
140
120
…