浙教版数学八上期末专题训练专题06 等腰(等边)三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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考点一 等腰三角形的定义 考点二 根据等边对等角求角度
考点三 根据等腰三角形中三线合一求解 考点四 格点图中画等腰三角形
考点五 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 考点六 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
考点七 等腰三角形的性质与判定 考点八 等边三角形的性质与判定
典型例题

考点一 等腰三角形的定义
例题：（2022·四川资阳·八年级期末）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（ ）
A．5B．7C．8D．7或8
【答案】D
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为2和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＞3，所以能构成三角形，周长是2+2+3=7；
当腰为3时，3+2＞3，所以能构成三角形，周长是：2+3+3=8．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北鄂州·八年级期末）在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（ ）
A．40°B．55°C．65°D．70°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：当∠A＝70°为顶角时，则两底角为：；
当∠A＝70°为底角时，另一个底角为70°，顶角为180°-70°-70°=40°
∴∠C的度数不可能是65°．
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的分类讨论及三角形内角和定理，在不明确所给的角是等腰三角形的什么角时，需分类讨论是解题关键．
2．（2021·江苏淮安·八年级期中）已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（ ）
A．4，2B．3，3C．4，2或3，3D．以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：若腰长为4；若底边长为4，即可求解．
【详解】
解：若腰长为4，则底边长为10-4-4=2，
此时另两边长分别为4，2；可以构成三角形，满足题意；
若底边长为4，则腰长为，
此时另两边长分别为3，3；可以构成三角形，满足题意；
综上所述，另两边长分别为4，2或3，3．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
考点二 根据等边对等角求角度
例题：（2022·湖南株洲·八年级期末）如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，，则的大小为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据边相等的角相等，用∠B表示出∠CDA，然后就可以表示出∠ACB，求解方程即可．
【详解】
解：设∠B=x
∵AC=DC=DB
∴∠CAD=∠CDA=2x
∴∠ACB=180°-2x -x=105°
解得x=25°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质，（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180°，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
【变式训练】
1．（2022·云南文山·八年级期末）如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝10，则CE的长为（ ）
A．B．4C．6D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
先由直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再根据线段垂直平分线的性质得AE=BE=10，从而求得∠BAE=∠B=30°，所以∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，然后由含30度的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC=60°，
∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE=10，
∴∠BAE=∠B=30°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，
∴CE=AE=5，
故选：D．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30度的直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2022·四川眉山·八年级期末）如图，在△ABC中，，∠B＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点D，则∠DAC的度数为________．
【答案】18°
【解析】
【分析】
由线段垂直平分线的性质可求解∠BAD=36°，根据直角三角形的性质可求得∠BAC的度数，进而可求解∠DAC的度数．
【详解】
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵∠B=36°，
∴∠BAD=∠B=36°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=90°-36°=54°，
∴∠DAC=54°-36°=18°．
故答案为：18°．
【点睛】
本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求解∠BAD，∠BAC的度数是解题的关键．
考点三 根据等腰三角形中三线合一求解
例题：（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A作于点E，可证，即可求出的度数．
【详解】
解：如图，过点A作于点E，
∵AB=AC，
∴E是BC的中点，且AE平分．
∵，
∴BD=BE．
在和中，
，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，且AD平分，从而可得，然后根据角平分线的定义、平行线的性质可得，最后根据等腰三角形的定义即可求解．
【详解】
解：在中，，
，
是的中线，
，且AD平分，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一、角平分线的定义、平行线的性质、含的直角三角形性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
2．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．
【答案】
【解析】
【分析】
作AF⊥BC于F，证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解：作AF⊥BC于F，
∵AB的垂直平分线交BC于点D．
∴AD=BD，
∵AF⊥BC，BE⊥DE，
∴∠E=∠AFD=90°，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴DF=DE，
∴CD-DE=CD-DF=CF，
∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，
∴CF=BC=．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
考点四 格点图中画等腰三角形
例题：（2022·陕西·西安工业大学附中七年级阶段练习）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知AB是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（ ）
A．8B．7C．6D．4
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰，分别作出图形可得出答案．
【详解】解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的点C有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的点C有4个，
即符合条件的点C的个数为8，
故选：A．

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形，再利用数形结合的思想来求解．
【变式训练】
1．（2021·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）如图，下列网格是由边长为1的小正方形组成，其中每一个小正方形的顶点叫做格点，按下列要求在网格内作图．
(1)在图1中作以AB为底的等腰△ABC，满足点C在格点上；
(2)在图2中作以AB为腰的等腰△ABD，满足点D在格点上，且△ABD的面积为3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出以AB为底的等腰△ABC；
（2）根据等腰三角形的定义画出以AB为腰的等腰△ABD．
（1）
解：如图1中，△ABC即为所求；
△ABC是以AB为底的等腰．
（2）
解：如图2中，△ABD即为所求．
△ABD是以AB为腰的等腰三角形，且．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2021·浙江温州·八年级期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．
(2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．
(3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可；
（2）利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可；
（3）作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，P点即为所求；
（1）
解：如图：
（2）
解：如图：
（3）
解：如图所示：
【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，等腰三角形的定义，轴对称的性质，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
考点五 直线上与已知两点组成等腰三角形的点
例题：（2022·河南·驻马店市第二初级中学八年级期末）如图，已知中，，在直线BC或射线AC取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．2个B．4个C．5个D．7个
【答案】C
【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案．
【详解】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，此时PA＝PB，共2个点符合条件；
②是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，此时AB＝AP，共2个点符合条件；
③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点
∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点．
∴符合条件的一共有：2＋2＋3−2＝5个点，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题以及垂直平分线的性质，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
【变式训练】
1．（2022·辽宁锦州·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，）．M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．
【详解】解：如图，满足条件的点M的个数为6．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观．
2．（2022·福建三明·八年级期中）如图，已知点A，B的坐标分别为和，在坐标轴上确定一点C，使是等腰三角形，则符合条件的C点共有（ ）个
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】分三种情形，AB=AC，BA=BC，CA=CB，分别画图即可．
【详解】解：如图，当AB=AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），
当BA=BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），
当CA=CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，
综上所述：符合条件的点C的个数有8个，
故选C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
考点六 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
例题：（2022·江苏宿迁·二模）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【详解】解：如下图：
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点C的个数有2个；
当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有1个，
所以点C的个数为：2+1=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能分以AB为底和以AB为腰两种情况，并画出图形是解题关键．
【变式训练】
1．（2021·北京市丰台区怡海中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有_________个．
【答案】4
【分析】以B为圆心，AB长为半径画圆可得与y轴有两个交点，再以A为圆心，AB长为半径画圆可得与y轴有1个交点，然后再作AB的垂直平分线可得与y轴有1个交点．
【详解】解：如图所示，
共4个点，
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．
2．（2021·湖北武汉·八年级期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ___．
【答案】(4，6)、(6，2)或(3，3)
【分析】根据等腰直角三角形中直角顶点的不同情况进行分类讨论，并结合全等三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：①如图所示，点C在第一象限，AB⊥BC，AB=BC时，
作CP⊥y轴于P点，则∠CPB=∠BOA=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠PBC+∠OBA=90°，
∵∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠OBA=∠PCB，
在△OBA和△PCB中，
∴OB=PC，OA=PB，
由题意，OB=4，OA=2，
∴PC=4，PB=2，
∴OP=2+4=6，
∴此时，C点坐标为(4，6)；
②如图所示，点C在第一象限，AB⊥AC，AB=AC时，
作CQ⊥x轴于Q点，则∠AQC=∠BOA=90°，
同①理，可证得△BOA≌△AQC，
∴OB=AQ=4，CQ=OA=2，
∴OQ=2+4=6，
∴此时，C点坐标为(6，2)；
③如图所示，点C在第一象限，BC⊥AC，BC=AC时，
作BM⊥CN，交CN延长线于M点，则∠BMC=∠CNA=90°，
同①理，可证得△BMC≌△CNA，
∴AN=MC，CN=BM，
则，
即：，
解得：，
∴ON=2+1=3，
∴此时，C点坐标为(3，3)；
综上，点C的坐标为(4，6)、(6，2)或(3，3)；
故答案为：(4，6)、(6，2)或(3，3) ．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中等腰直角三角形的确定，掌握等腰直角三角形的基本性质，熟练运用全等三角形的判定与性质求解是解题关键．
考点七 等腰三角形的性质与判定
例题：（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E．
(1)求证：BD＝BC；
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)25°
【解析】
【分析】
（1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，则∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根据ASA可证明△ABD≌△ECB，可得结论；
（2）由（1）知BD＝BC，根据等边对等角可求得∠BDC的度数，再根据外角的性质求得∠DCE的度数．
(1)
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBE，
∵∠A＝90°，CE⊥BD，
∴∠BEC＝∠A＝90°，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA），
∴BD＝CB；
(2)
解：∵BD＝CB，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠DBC）＝（180°﹣50°）＝65°，
∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝90°－∠BDC ＝90°﹣65°＝25°．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，证明△ABD≌△ECB是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西玉林·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
(1)求证：AC＝CD；
(2)若AC＝AE，求∠ACB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ACB的度数为22.5°
【解析】
【分析】
（1）利用同角的余角相等得∠ACB＝∠DCE，再根据AAS证明△ABC≌△DEC，即可证明结论；
（2）由AC＝CD，知△ACD是等腰直角三角形，得∠CAD＝45°，再根据AC＝AE，得∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，从而得出答案．
(1)
证明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC＝CD；
(2)
解：由（1）知，AC＝CD，
∵∠ACD＝90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠ACB的度数为22.5°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明△ABC≌△DEC是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °；
(2)当∠BAD＝____°时，△ABD ≌△DCE？请说明理由；
(3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)20
(2)15，理由见解析
(3)能，∠BAD＝15°或∠BAD＝30°，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）先利用平角的意义求出∠CDE，再用三角形外角的性质求出∠AED，最后用三角形的内角和定理求出∠DAE；
（2）利用三角形内角和定理得出∠BAC＝80°，再由三角形外角的性质及等量代换确定∠AED＝∠DAE＝65°，AD＝DE，结合图形利用全等三角形的判定即可证明；
（3）先求出∠BAC＝80°，再分三种情况，利用等腰三角形的性质求出∠DAE，即可得出结论．
(1)
∵∠BAD＝20°，∠B＝50°，
∴∠ADC＝70°，
∵∠ADE＝50°，
∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°，
故答案为：20；
(2)
解：∠BAD＝15°时，△ABD ≌△DCE，理由如下：
在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠DAE＝65°，
又∵∠ADE＝50°，
∴∠AED＝∠DAE＝65°，
∴AD＝DE，
在△ABD中，
∠BAD＋∠ADB＝130°，
∵∠CDE＋∠ADB＝180°－∠ADE＝130°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵∠B＝∠CAD＝DE，
∴△ABD≌△DCE；
(3)
能，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形．
理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°，
①当DA＝DE时，
∵∠ADE＝50°，
∴∠CAD＝（180°﹣∠ADE）＝65°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，
②当EA＝ED时，
∴∠DAC＝∠ADE＝50°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，
③当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此时，点D与点B重合，不符合题意，
综上所述，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
2．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，在中，分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．
(1)若的周长为18cm，求的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)AB=18cm；
(2)∠MCN=40°．
【解析】
【分析】
（1）垂直平分线上的点到两端距离相等，则AM=CM，BN=CN，△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB
（2）根据三角形的内角和定理，易知∠MNF+∠NMF=110°，对顶角相等则∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF，即可求出∠A+∠B的度数，再根据三角形的内角和求出即可．
(1)
∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为18cm，
∴AB=18cm；
(2)
∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的垂直平分线，通过“垂直平分线上的点到两端距离相等”得到线段和角度之间的关系是解题的关键．
考点八 等边三角形的性质与判定
例题：（2022·江苏·八年级）如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．
(1)求证；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质，结合条件可证明，即可得出；
（2）证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．
(1)
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)
解：
由（1）知，，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴．
∴的长为．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质、平行线的性质．掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D点为BC的中点，AB=4，则BD=__．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据已知条件证明△ABC是等边三角形，得到BC=AB=4，即可求出BD．
【详解】
解：∵∠BAC=∠B=60°，
∴∠C=∠BAC=∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=4，
∵D点为BC的中点，
∴BD=2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定及性质定理，熟记三个角相等的三角形是等边三角形是解题的关键．
2．（2022·安徽池州·八年级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△AOD是直角三角形，理由见解析
(3)当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
(1)
证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形．
(2)
△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
(3)
∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，
α-60°=50°，
∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点睛】
题目综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题关键．
课后训练
一、选择题
1．（2022·河北·平乡县第二中学八年级阶段练习）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若，则∠CAD的度数为（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得答案．
【详解】解：∵ AB＝AC，AD⊥BC，，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．
2．（2021·河北·香河县第四中学八年级期中）如图所示，△ABC是等边三角形，且AB=BD，则∠ADC等于( )
A．120°B．135°C．145°D．150°
【答案】D
【分析】由等边三角形的性质就可以得出AB=AC=BC，∠ABC=60°，由BD=AB就可以得出BC=BD，就有∠4=∠BAD，∠3=∠BCD，由四边形的内角和就可以得出2∠3+2∠4+∠1+∠2=360°，就可以求出∠ADC的值而得出结论．
【详解】解：∠ADC的大小不发生变化．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=60°．
∵BD=AB，
∴∠4=∠BAD，BD=BC，
∴∠3=∠BCD．
∵∠4+∠BAD+∠3+∠BCD+∠1+∠2=360°，∠1+∠2=60°，
∴2∠3+2∠4+60°=360°，
∴∠3+∠4=150°，
即∠ADC=150°．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理，解答时灵活运用等边三角形的性质求解是关键．
3．（2022·陕西·西安工业大学附中七年级阶段练习）等腰三角形的两边a、b满足，则这个三角形的周长为（ ）
A．13B．15C．17D．13或17
【答案】C
【分析】先将58改成9+49，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式，继而求出a，b的值，最后根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴a=3，b=7.
分两种情况讨论：
当腰为3时，3+37，能构成三角形，等腰三角形的周长为7+7+3=17．
综上所述：该等腰三角形的周长为17．
故选C．
【点睛】本题考查了完全平方公式及等腰三角形的性质．解题的关键是将58改成9+49，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式．
4．（2021·四川凉山·八年级期中）如图，点D、E分别在等边三角形ABC的边BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．60°B．55°C．45°D．30°
【答案】A
【分析】只需要证明△BCE≌△ABD得到∠BAD=∠CBE，进而根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠BCE=60°，AB=BC，
又∵BD=CE，
∴△BCE≌△ABD（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠BAD+∠ABP，
∴∠APE=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°，
故选A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明BCE≌△ABD得到∠BAD=∠CBE是解题的关键．
5．（2022·河南安阳·八年级期末）如图，A，B两点在一个的正方形网格的格点上，每个小方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C的个数为（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
【答案】D
【分析】分两种情况：①AB为等腰三角形的底边，连接AB，作AB的垂直平分线，得到的格点C有6个符合要求；②AB为等腰三角形的一条腰，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，得到的格点C有4个；画出图形，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有6个；
②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有4个．
所以符合条件的点C共有10个．
故选：D．
【点睛】此题考查了画等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键，注意数形结合的解题思想．
二、填空题
6．（2022·陕西·西安爱知初级中学八年级阶段练习）若等腰三角形有一个内角为40°，则它的顶角度数为________．
【答案】100°或40°
【分析】根据题意可分当顶角为40°时和底角为40°时进行分类求解即可．
【详解】解：①当顶角为40°时，则底角的度数为：；
②当底角的度数为40°时，顶角的度数为；
综上所述：它的顶角的度数为40°或100°；
故答案为：40°或100°．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．
7．（2022·浙江丽水·八年级期中）已知等腰三角形的周长20cm，一边长为8cm，则它的腰长是__________．
【答案】8cm或6cm##6cm或8cm
【分析】当腰长=8cm时，底边=20-8-8=4cm，当底边=8cm时，腰长==6cm，根据三角形的三边关系，即可推出腰长．
【详解】解：∵等腰三角形的周长为20cm，
∴当腰长=8cm时，底边=20-8-8=4cm，
∴当底边=8cm时，腰长==6cm，
∴腰长为8cm或6cm．
故答案为：8cm或6cm．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长．
8．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝________度．
【答案】12
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：，点为的中点，，
，
，
，
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
9．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N经过点O，且MNBC，若AB=5，△AMN的周长等于12，则AC的长为______．
【答案】7
【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MNBC，可得出MO＝MB，NO＝NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC，于是得到答案．
【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MNBC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴MO＝MB，NO＝NC，
∵AB＝5，△AMN的周长等于12，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，
∴AC＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．（2020·浙江·八年级期末）如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是_______．
【答案】10°或80°或20°或140°
【分析】分三种情形：，，分别求解即可解决问题．
【详解】解：如图，
在中，，
①当时，，，
②当时，，
③当时，，
综上所述，满足条件的的值为或或或．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
三、解答题
11．（2021·河北·香河县第四中学八年级期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB=AD=DC，∠B=60°，求∠C，∠BAC的度数．
【答案】∠C=30°，∠BAC=90°．
【分析】先根据AB=AD，∠B=60°求出△ABD是等边三角形，求得∠ADB=60°，再由等腰三角形的性质以及三角形的外角性质求出∠C的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出∠BAC的度数．
【详解】解：∵AB=AD，∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∵AD=CD，
∴∠C=∠DAC=∠ADB=30°，
∠BAC=180°-∠B-∠C=90°．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．
12．（2021·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
(1)求证：AB＝AC；
(2)若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)△ABD、△AEC、△ABE、△ADC
【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC；
（2）根据等腰三角形的判定与性质、三角形内角和及三角形外角和解答即可．
（1）
证明：过点A作AF⊥BC于点F，如图所示：
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC；
（2）
解：由（1）知AB＝AC，
∠BAC＝108°，
，
AD＝AE，∠DAE＝36°，
，
是的一个外角，
，
同理，，
∠B＝∠BAD＝36°，∠C＝∠EAC＝36°，∠BAE＝∠BEA＝72°，∠ADC＝∠DAC＝72°，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，涉及到中垂线的判定与性质、三角形内角和定理和三角形外角性质等知识，熟练掌握辅助线的作法，灵活利用数形结合思想是解决问题的关键．
13．（2021·江西育华学校八年级期末）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC．
(1)如图①，若BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∠A＝40°，求∠D的度数；
(2)如图②，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，AD，且∠BDC+2∠BDA＝180°，∠ABD＝60°，求证：DC+BD＝AB．
【答案】(1)55°
(2)详见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质求出，由角平分线的性质得出，由三角形内角和定理即可得出结果；
（2）延长至，使，连接，由证得，得出，推出，证明是等边三角形，得出，即可得出结论．
（1）
解：，
，
，
，
平分，
，
，
；
（2）
证明：延长至，使，连接，如图②所示：
，，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
14．（2022·山东泰安·七年级期末）△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．
(1)如图，当时，判断△APB的形状并说明理由；
(2)在点P的运动过程中，当△APQ的形状是等腰三角形时．请求出∠BQP的度数．
【答案】(1)△APB是直角三角形，理由见解析
(2)或
【分析】(1)由等腰三角形的性质可求∠C=30°=∠B=∠APQ，由平行线的性质可求∠BPQ=∠C=30°，即可求解；
(2)分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．
（1）
解：△APB是直角三角形，
理由如下：
AB＝AC，∠B＝30°，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
（2）
解：当AQ=QP时，，
；
当AP=PQ时，，
；
当AQ=AP时，，
点P不与点B、C重合，
此种情况不存在，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理及外角的性质，掌握等腰三角形的性质，分类讨论是本题的关键．
15．（2022·河南·郑州市二七区侯寨一中八年级阶段练习）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图①，若∠BAC=60°，AB=AC=2，点D在线段BC上，
①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；
②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；
(2)若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)①∠BCE+∠BAC=180°；②1
(2)∠BCE+∠BAC=180°；理由见详解
【分析】（1）先判断出△ABD≌△ACE得出∠ACE=∠ABD=60°，即可得出结论；
（2）先判断出BD=CE，进而得出四边形ADCE的周长=BC+2AD，判断出AD⊥BC时，周长最小，即可得出结论；
（3）先判断出△ABD≌△ACE，进而得出∠ADB=∠AEC，即可得出结论．
（1）
①∠BCE+∠BAC=180°；
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=60°．
∴∠BCE+∠BAC=∠BCA+∠ACE+ ∠BAC=∠BCA+∠ABD+ ∠BAC= 180°，
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD=EC，
∵四边形ADCE的周长=AD+DC+DE+AE=AD+DC+BD+AE=BC+2AD，
∴当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，即AD⊥BC时，周长最小；
∵∠BAC=60°，AB=AC=2，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
∴BD=BC=1；
（2）
∠BCE+∠BAC=180°；
理由如下：如图2，
AD与CE交于F点，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠EAF=∠ECD，
∵∠BAC=∠FAE，∠BCE+∠ECD=180°，
∴∠BCE+∠BAC=180°；
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角的和差，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键．
16．（2021·浙江温州·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°．延长BA至点E，并使得AE＝AF（AE