专题28 电磁感应综合问题-2025高考物理模型与方法热点题型归类训练

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17415" 题型一 电磁感应中的图像问题 PAGEREF _Tc17415 \h 1
\l "_Tc20149" 类型1 动生问题的图像 PAGEREF _Tc20149 \h 2
\l "_Tc29340" 类型2 感生问题的图像 PAGEREF _Tc29340 \h 9
\l "_Tc9475" 类型3 动力学图像 PAGEREF _Tc9475 \h 13
\l "_Tc13739" 题型二 电磁感应中的电路问题 PAGEREF _Tc13739 \h 22
\l "_Tc17796" 类型1 动生电动势的电路问题 PAGEREF _Tc17796 \h 23
\l "_Tc25654" 类型2 感生电动势的电路问题 PAGEREF _Tc25654 \h 32
\l "_Tc8796" 类型3 电磁感应中电荷量的计算 PAGEREF _Tc8796 \h 39
\l "_Tc19049" 题型四 电磁感应中的平衡和动力学问题 PAGEREF _Tc19049 \h 43
\l "_Tc22322" 题型五 电磁感应中的能量问题 PAGEREF _Tc22322 \h 65
题型一 电磁感应中的图像问题
1．两类题型
(1)由给定的电磁感应过程选出正确的图像。
(2)由给定的图像分析电磁感应过程，定性或定量求解相应的物理量或推断出其他图像。常见的图像有B－t图、Φ－t图、E－t图、i－t图、v－t图及F－t图等。
2．解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键。
3．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
类型1 动生问题的图像
1．两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与纸面垂直。边长为0.1m、总电阻为0.005Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边与磁场边界平行，如图甲所示。已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t=0时刻进入磁场。导线框中感应电动势随时间变化的图线如图乙所示（感应电流的方向为顺时针时，感应电动势取正）。下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度的大小为0.5T
B．导线框运动速度的大小为1m/s
C．磁感应强度的方向垂直于纸面向里
D．在t=0.4s至t=0.6s这段时间内，导线框所受的安培力大小为0.04N
【答案】D
【详解】AB．由电动势的图可知线框在0.2s刚好完全进入磁场，运动距离为线框长度L，导线框运动的速度为
根据动生电动势公式和图象知
E=BLv=0.01V
代入数据解得
B=0.2T
故AB错误；
C．根据楞次定律可知，磁感应强度的方向垂直于纸面向外，C错误；
D．在t=0.4s至t=0.6s这段时间内，导线框中的感应电流大小为
导线框所受的安培力大小为
F=BIL=0.2×2×0.1N=0.04N
故D正确。
故选D。
2．形状如图所示闭合导线框abcde从图示位置开始以垂直ab边和磁感线的速度v匀速穿过匀强磁场区域，图中，匀强磁场方向垂直纸面向里。规定顺时针方向为线框中感应电流的正方向，则下图中导线框内感应电流i随时间t变化的图像正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】如图所示当闭合导线框开始进入磁场时ab边切割磁感线，此时线框中的电流为
电流恒定，根据右手定则可知，方向为逆时针方向；当ab边与磁场右边界重合后，导线框不切割磁感线，线框中的磁通量不发生变化，直到ce进入磁场左边界，故此过程无感应电流产生；继续向右运动，导线框在磁场当中的有效切割长度逐渐变大，故感应电流也随之变大，直到ce到达磁场右边界，由右手定则可知，感应电流的方向为顺时针方向；再继续向右运动，直到d到达磁场左边界，导线框切割磁感线的有效长度不发生变化，此过程感应电流的大小和方向都不发生变化；继续向右运动，直到导线框离开磁场，导线框在磁场中切割磁感线的有效长度逐渐减小，感应电流也随之减小，方向仍是顺时针方向。
故选A。
3．如图所示，一足够大的正方形区域abcd内存在垂直纸面向里的匀强磁场，其顶点a在直线MN上，且ab与MN的夹角为45°.一边长为L的正方形导线框从图示位置沿直线MN以速度v匀速穿过磁场区域。规定逆时针方向为感应电流的正方向，下列表示整个过程导线框中感应电流i随时间t(以为单位)变化的图像中，正确的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】AB．根据右手定则，可知线框进入磁场时产生的感应电流为逆时针方向，离开磁场时产生的感应电流为顺时针方向，故AB错误；
CD．当线框运动时间为时感应电流为零，故C正确，D错误。
故选C。
4.如图所示，abc为边长为L的正三角形线框，匀强磁场与线框平面垂直，其宽度为L。现线框从图位置以恒定的速度通过场区，线框中的感应电流随时间的变化图象正确的是（逆时针为电流的正方向）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】开始时进入磁场时，回路中磁通量增大，根据楞次定律可知电流方向为逆时针；从至进入过程中，切割的有效长度增大；故感应电流增大；当点开始进入时，切割的有效长度开始减小，感应电流减小；
当开始出磁场时，回路中磁通量减小，产生的感应电流为顺时针；由到离开时，切割有效长度增大，则感应电流增大；由到过程，切割的有效长度减小，则电流减小，故B正确，ACD错误。
故选B。
5．如图所示，一个边长为的等腰直角三角形ABC区域内，有垂直纸面向里的匀强磁场，其左侧有一个用金属丝制成的边长为L的正方形线框abcd，线框以水平速度匀速通过整个匀强磁场区域，设电流顺时针方向为正。则在线框通过磁场的过程中，线框中感应电流i随时间t变化的规律正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】线框开始进入磁场到运动L的过程中，只有边bc切割，感应电流大小不变，方向为逆时针（电流为负）；
前进L后，边bc开始出磁场，边ad进入磁场，回路中的感应电动势为ad边产生的电动势减去bc边在磁场中的部分产生的电动势，随着线框的运动回路中电动势逐渐增大，电流逐渐增大，方向为正方向；
当再前进L时，边bc完全出磁场，ad边也开始出磁场，有效切割长度逐渐减小，电流逐渐减小，方向不变，仍为正方向。
故选B。
6．如图所示，两个有界匀强磁场宽度均为L，其中垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小为B：垂直纸面向外的磁场，感应强度大小为2B。有一边长为L，总电阻为R的正方形导线框，距磁场区域左侧L，且线框平面与磁场方向垂直。如图从线框初始位置开始计时，若规定顺时针方向为电流正方向，在外力作用下线框向右匀速穿过磁场区域的过程中，感应电流i随时间t变化的图像正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】在的时间内，线框在左侧磁场中，线框右边切割磁感线，由电磁感应定律，线框中产生的感应电动势为
E1=BLv
大小不变，感应电流为
由楞次定律可知感应电流方向是逆时针方向，是负方向；在的时间内，在线框经两个磁场的边界时，线框左右两边同时切割磁感线，产生的感应电动势为
E2=BLv+2BLv=3 BLv
大小不变，感应电流为
由楞次定律可知感应电流方向是顺时针方向，是正方向；当线框离开右侧磁场时，线框左边切割磁感线，产生的感应电动势为
E3=2BLv
大小不变，感应电流为
由楞次定律可知感应电流方向沿逆时针方向，是负方向；由以上计算分析可知，ABD错误，C正确。
故选C。
类型2 感生问题的图像
1．如图甲所示，闭合金属框abcd置于匀强磁场中，线框平面与磁场垂直，磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示。规定顺时针方向为电流的正方向，下列各图中能正确表示线框中感应电流i随时间t变化的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】在0到1s内，磁感应强度B均匀增加，则线框中产生感应电流，由楞次定律可得电流方向为：逆时针，负值；由法拉第电磁感应定律可得，感应电流大小恒定。当在1s到3s内，磁场不变，则线框中没有磁通量变化，所以没有感应电流。在3s到4s内，磁感应强度B均匀减小，则线框中产生感应电流，由楞次定律可得电流方向为：顺时针，正值；由法拉第电磁感应定律可得，感应电流大小恒定。
故选C。
2．如图甲所示，在垂直纸面的匀强磁场中固定放置一个与磁场方向垂直的正方形线框，规定垂直纸面向里为磁场的正方向，顺时针方向为电流的正方向。磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，下图中能定性反应线框中的感应电流i随时间t变化的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】在0~t0时间内，感应电流为顺时针方向，即正方向；电流大小
在t2~2t0时间内，感应电流为顺时针方向，即正方向；电流大小
故选B。
3．矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间变化的规律如图所示。若规定顺时针方向为感应电流i的正方向，下列各图中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：由图可知，0-1s内，线圈中磁通量的变化率相同，故0-1s内电流的方向相同，由楞次定律可知，电路中电流方向为逆时针，即电流为负方向；同理可知，1-2s内电路中的电流为顺时针，2-3s内，电路中的电流为顺时针，3-4s内，电路中的电流为逆时针，由可知，电路中电流大小恒定不变．
故选D
4．三角形导线框abc固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间t变化的规律如图所示。规定线框中感应电流i沿逆时针方向为正方向，下列i-t图像中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由图可知，0~1s内，线圈中磁通量的变化率相同，由法拉第电磁感应定律知
可知，电路中电流大小恒定不变；由楞次定律可知，电路中电流方向为逆时针，即电流为正方向；
同理可知，1~2s内电路中的电流为顺时针，2~3s内，电路中的电流为顺时针，即电流为负方向；由于线圈中磁通量的变化率相同，则1~3s内电路中电流大小恒定不变；
3~4s内，电路中的电流为逆时针，即电流为正方向，电流大小恒定不变。
故选A。
类型3 动力学图像
1.如图甲所示，一固定竖直倒放的“U”形足够长金属导轨的上端接一定值电阻R，整个装置处于方向垂直轨道平面向里的匀强磁场中。现将一质量为m的金属棒从距电阻R足够远的导轨上某处，以大小为的初动量竖直向上抛出，金属棒的动量随时间变化的图像如图乙所示。整个过程中金属棒与导轨接触良好且保持垂直，不计空气阻力及金属棒和导轨电阻，重力加速度大小为g。关于此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．时刻金属棒的加速度为零
B．金属棒的最大加速度大小为2g
C．金属棒上升过程安培力的冲量大小为
D．金属棒上升过程定值电阻产生的焦耳热等于
【答案】C
【详解】A．时刻金属棒的速度为零，则电路中感应电动势为零，金属棒所受安培力为零，则金属棒仅受重力作用，加速度为，故A错误；
B．由金属棒在运动中
，，
可得
由图可知金属棒向下运动动量大小为时
解得
金属棒所受安培力竖直向上，且重力与安培力大小相等，则
在时，金属棒向上运动的速度最大，所受向下的安培力最大。由
解得金属棒向上运动的最大速度
可知金属棒向下最大的安培力大小为
金属棒的最大加速度大小为
故B错误；
C．设金属棒上升过程安培力的冲量大小为，竖直向下为正方向，对金属棒利用动量定理得
解得
故C正确；
D．金属棒的初动能为
金属棒上升过程由动能定理可知
金属棒上升过程克服安培力所做的功等于定值电阻产生的焦耳热，小于，故D错误。
故选C。
2．如图（a），水平面内有两根足够长的光滑平行固定金属导轨，间距为d。导轨所在空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒M、N静止放置在足够长的导轨上。已知M的质量为m，阻值为R，导体棒N的质量未知，阻值为，导轨电阻不计。现给M棒一水平向右的初速度，其速度随时间变化关系如图（b）所示，两导体棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好，则下列说法正确的是（ ）
A．导体棒N的质量为B．导体棒N的最终的速度为
C．在内导体棒M产生的热量为D．在内通过导体棒M的电荷量为
【答案】D
【详解】A．导体棒M、N受到的安培力大小相等，方向相反，所以两导体棒组成的系统动量守恒，取向右为正方向，且两导体棒最终速度大小相等，有
解得
故A错误；
B．根据题意可知，两棒组成回路，电流大小相同，M棒受安培阻力做变减速直线运动，N棒受安培动力做变加速直线运动，当两者的速度相等时，电流等于零，两棒不再受安培力，则达到共同速度做匀速直线运动，导体棒N的最终的速度为，故B错误；
C．在0～t1内回路产生的总热量为
所以导体棒M产生的焦耳热为
解得
故C错误；
D．取向右为正方向，由动量定理可知，在0～t1内导体棒N有
通过导体棒M的电荷量
解得
故D正确。
故选D。
3.如图甲所示，间距为L、足够长平行且光滑的金属导轨与水平面的夹角为37°，导轨处在垂直导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨顶端连接阻值为R的定值电阻。质量为m、电阻也为R的金属杆置于导轨上，在沿斜面向下的拉力F的作用下由静止开始下滑，金属杆运动的速度v与运动位移x的关系如图乙所示，当金属杆运动位移为时撤去拉力F，此时金属杆恰能做匀速直线运动。已知重力加速度为g，，金属杆在运动的过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，则在金属杆运动x0的过程中（ ）
A．金属杆做加速度逐渐减小的加速直线运动
B．金属杆在处的速度大小为
C．金属杆受到的安培力的冲量大小为
D．金属杆克服安培力做的功为
【答案】BCD
【详解】A．由v-x图象可知，每改变相同的，所经过的相同，金属棒做加速运动，所以随着速度的增加，经过相同的时间逐渐减小，加速度逐渐增大，选项A错误；
B．撤去外力时，金属棒刚好匀速
解得
选项B正确；
C．安培力的冲量
选项C正确；
D．安培力
而v与x成正比，则安培力随距离均匀变化，则克服安培力做功
选项D正确。
故选BCD。
4．光滑水平面上有一边长的单匝均匀正方形导线框abcd，质量，电阻。在竖直方向存在有平行边界的匀强磁场，ab边恰好位于磁场左边界上，其俯视图如图一所示。时，线框以初速在恒力F的作用下进入匀强磁场，已知线框从Ⅰ位置到Ⅱ位置过程中的图像如图2所示，且在时，则（ ）
A．时线框中的感应电动势为1.5V
B．线框在离开磁场的过程中克服安培力做的功为1.55J
C．恒力F的大小为1N
D．线框进入磁场的过程中通过线框截面的电荷量为1.0C
【答案】BD
【详解】A．时
解得
故A错误；
B．根据动能定理，线框在进入磁场的过程中克服安培力做功
代入解得
线框在离开磁场的过程中克服安培力做功与线框在进入磁场的过程中克服安培力做功相等，故B正确；
C．线框在进入磁场后作进入磁场后做匀加速运动，根据牛顿第二定律
故C错误；
D．线框在进入磁场的过程中通过线框截面的电荷量
进入时
解得
故D正确。
故选BD。
5.如图甲所示，光滑绝缘水平面上AB、CD间存在一匀强磁场，磁场方向竖直向下，一个质量为、电阻为的正方形金属线框放置在该绝缘水平面上。t=0时，该线框在水平向右的外力F作用下紧贴AB从静止开始做匀加速直线运动，外力F随时间t变化的图像如图乙所示。求：
(1)磁场区域的宽度d；
(2)线框进入磁场过程中通过线框横截面的电量q。
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题图乙可知，在时间内线框中没有感应电流，线框不受安培力作用，只受外力F作用，由牛顿第二定律，则线框的加速度为
因为在t=0时，线框开始做匀加速直线运动，因此磁场区域的宽度等于线框在时间内在磁场中运动的位移，为
（2）设线框的边长为L，可知在时间内则有
当线框全部进入磁场中的瞬间，由牛顿第二定律可得
由图乙可知，此时安培力则有
其中
联立解得
则有线框进入磁场过程中通过线框横截面的电量为
题型二 电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．
电动势：E＝Blv或E＝neq \f(ΔΦ,Δt)，这部分电路的阻值为电源内阻．
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极．
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
3．电磁感应中电路知识的关系图
类型1 动生电动势的电路问题
6.如图所示，平行金属导轨水平放置，导轨左端连接一阻值为R的电阻，导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B，已知长度为l导体棒MN倾斜放置于导轨上，与导轨成θ角，导体棒电阻为r，保持导体棒以速度v沿平行于导轨方向匀速向右运动，导轨电阻不计，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒中感应电流的方向为N到M
B．MN两端的电势差大小为
C．导体棒所受的安培力大小为
D．电阻R的发热功率为
【答案】C
【详解】A．导体棒沿导轨向右匀速运动时，由右手定则可知，导体棒中感应电流的方向为N到M，故A错误；
B．导体棒切割产生的感应电动势大小为
故导体棒两端的电势差大小为
故B错误；
C．导体棒所受的安培力大小为
故C正确；
D．电阻R的发热功率为
故D错误。
故选C。
7.半径为a右端开小口的导体圆环和长为的导体直杆，单位长度电阻均为。圆环水平固定放置，整个内部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。杆在圆环上以速度v平行于直径向右做匀速直线运动，杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O开始，杆的位置由确定，如图所示。则（ ）
A．时，杆产生的电动势为
B．时，杆产生的电动势为
C．时，杆受的安培力大小为
D．时，杆受的安培力大小为
【答案】D
【详解】A．由题意可知，当时，杆产生的电动势为
A错误；
B．当时，由几何关系可知，导体直杆在磁场中切割磁感线的长度为a，杆产生的电动势为
B错误；
C．当时，单位长度电阻为，则回路中的总电阻为
回路中的电流为
由安培力计算公式，可得杆受的安培力大小为
C错误；
D．时，则回路中的总电阻为
杆受的安培力大小为
D正确；
故选D。
8.半径分别为r和2r的同心圆导轨固定在同一水平面内，一长为r，电阻为R的均匀金属棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆导轨中心O，装置的俯视图如图所示，整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下，在两环之间接阻值为R的定值电阻和电容为C的电容器，直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好的接触，导轨电阻不计，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒中电流从A流向B
B．金属棒两端电压为Bω2r
C．电容器的M板带正电
D．电容器所带电荷量为CBωr2
【答案】CD
【详解】A.根据右手定则可知，金属棒AB逆时针切割磁感线时，产生的感应电流应该是从B向A，故A错误；
B.据
E感＝BL
以及
v＝rω
可得切割磁感线时产生的电动势
E感＝BL＝Br＝Br2ω
切割磁感线的导体相当于电源，则AB两端的电压相当于电源的路端电压，根据闭合电路欧姆定律可知
UAB＝E感＝Br2ω＝Br2ω
故B错误；
C.切割磁感线的AB相当于电源，在AB内部电流方向由B向A，故金属棒A相当于电源正极，故与A接近的电容器M板带正电，故C正确；
D.由B分析知，AB两端的电压为Br2ω，则电容器两端的电压也是Br2ω，故电容器所带电荷量
Q＝CU＝CBr2ω
故D正确。
故选CD。
9．如图所示，圆心为O的同心圆a、b、c是磁场的圆形边界，半径分别为r、2r、3r，在a内有垂直于纸面向外的匀强磁场，在b和c之间有垂直于纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B，一根长为4r的金属棒垂直磁场放置，一端与O点重合，A、C、D是金属棒上三个点，到O点距离分别为r、2r、3r，让金属棒在纸面内绕O点沿逆时针方向以角速度ω匀速转动，则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒上O点电势最高
B．O、A电势差绝对值小于C、D电势差绝对值
C．C点电势比A点电势高
D．O、D两点的电势差绝对值为
【答案】BD
【详解】A．根据右手定则，A点电势比O点电势高，故A错误；
B．OA段切割磁感线的平均速度小于CD段切割磁感线平均速度，因此OA电势差绝对值小于CD电势差绝对值，故B正确；
C．C、A两点的电势差为零，即A、C两点是等势的，故C错误；
D．O、D两点的电势差绝对值为
故D正确。
故选BD。
10．如图所示，半径为r的导电圆环(电阻不计)绕垂直于圆环平面、通过圆心O的金属轴以角速度ω逆时针匀速转动。圆环上接有电阻均为R的三根金属辐条OA、OB、OC，辐条互成120°角。在圆环圆心角∠MON=120°的范围内(两条虚线之间)分布着垂直圆环平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆环的边缘通过电刷P和导线与一阻值也为R的定值电阻相连，定值电阻的另一端通过导线接在圆环的中心轴上。在圆环匀速转动过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．电阻两端的电压大小为
B．金属轮转动一周，流过电阻R的电荷量为
C．金属轮转动一周，电阻R上产生的热量为
D．外力做功的功率大小为
【答案】BCD
【详解】A．辐条切割磁感线产生的电动势为
三根辐条中，有一根切割磁感线，相当于电源，其他两根与电阻R并联，相当于外电路，则与两端的电压
A错误；
B．金属辐条转动一周流过干路的电流
故流过电阻的电荷量
B正确；
C．金属辐条转动一周，产生的总热量
电阻上产生的热量
C正确；
D．根据能量守恒可知，外力做功的功率
D正确。
故选BCD。
11.某测量风速的装置由风杯组系统（图甲）和电磁信号产生系统（图乙）两部分组成。电磁信号产生器由圆形匀强磁场和固定于风轮转轴上的导体棒组成（点连接风轮转轴），磁场半径，磁感应强度大小，方向垂直纸面向里，导体棒长，电阻，风推动风杯组绕水平轴顺时针匀速转动，风杯中心到转轴距离为，导体棒每转一周端与弹性簧片接触一次。当导体棒与弹性簧片接触时电压传感器显示电压为，图乙外电路中电阻均为，其余电阻不计。
（1）判断导体棒上的电流方向，求电流的大小。
（2）求风杯的速率。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）当导体棒在磁场中顺时针匀速转动时，导体棒相当于电源，根据右手定则可知，导体棒上的电流方向由，根据欧姆定律
（2）电源感应电动势
根据闭合电路的欧姆定律
则风杯的速率为
类型2 感生电动势的电路问题
1.如图（a）所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路。线圈的半径为r1。在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示。图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0，导线的电阻不计。在0至t1时间内，下列说法中正确的是（ ）

A．a点的电势高于b点电势
B．电流的大小为
C．线圈两端的电压大小为
D．通过电阻R1的电荷量
【答案】B
【详解】A．由楞次定律可判断通过R1上的电流方向由b到a，a点的电势低于b点电势，选项A错误；
B．由图像可知，在0至t1时间内
由法拉第电磁感应定律有
而
由闭合电路的欧姆定律有
联立上式解得电流的大小为
选项B正确；
C．线圈两端的电压大小为
选项C错误；
D．在0至t1时间内通过电阻R1的电荷量为
选项D错误。
故选B。
2.如图甲所示，一正方形单匝闭合线框放置于粗糙的水平桌面上，边长，质量、电阻，虚线是线框对角线，虚线左侧空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小B随时间t变化的关系如图乙所示。已知线框与桌面之间的动摩擦因数。设线框与桌面之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，求：
(1)时刻线框所受安培力的大小和方向；
(2)线框在滑动前所产生的焦耳热。
【答案】(1)，水平向右 (2)
【详解】（1）由法拉第电磁感应定律，得
由图乙可得：此时
，时线框所受安培力大小为
方向由左手定则可得水平向右；
（2）线框与桌面之间的最大静摩擦力
所以开始滑动时有
解得
，
则线框在滑动前所产生的焦耳热为
3．如图，面积为、匝数为的圆形线圈内有垂直于线圈平面向里的磁场，磁感应强度大小随时间变化的规律为，电路中平行板电容器MNEF的板长和板间距均为，板间四分之一圆MNF（N为磁场圆圆心）区域内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，一带负电的微粒从电容器M点水平向右射入（与极板不接触）磁场后做匀速圆周运动，恰能从下极板E点射出电容器，定值电阻，，其余电阻不计，重力加速度大小取g=10m/s2，求：
(1)带电微粒的比荷；
(2)带电微粒射入磁场的速度大小v（结果可用根号表示）。
【答案】(1)5C/kg (2)
【详解】（1）由电磁感应知识可知线圈产生的感应电动势为
电容器两极板间的电压
电容器两极板间电场的场强大小
微粒做匀速圆周运动有
联立解得
（2）微粒在磁场中的运动轨迹如图所示
由几何关系可知
所以
由牛顿第二定律有
解得
（或）
4．如下图甲所示，一个10匝的线圈的电阻，线圈置于与线圈平面垂直并向外的匀强磁场中，线圈所围成面积S=0.2m2，另有一个阻值为的电阻两端分别与线圈两端a、b相连。磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，不考虑圆形线圈缺口对感应电动势的影响，求：
(1)t=4s时刻，穿过线圈的磁通量；
(2)在0~4s时间内，线圈中的电动势大小和电阻R中的电流大小；
(3)在0~4s时间内，a、b两点间的电压和通过电阻R的电荷量。
【答案】(1) (2)， (3)，
【详解】（1）由图可知时
则此时穿过线圈的磁通量为
（2）因为
则在内
（3）则两端电压为
且
5．如图所示，用横截面积为S、电阻率为的金属丝制成半径为a的金属圆环来研究涡流现象。在金属圆环内有半径为b的圆形区域，区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B随时间t的变化关系为。求：
（1）金属圆环内感应电动势的大小E；
（2）金属圆环中感应电流的方向和感应电流的大小；
（3）金属圆环的发热功率P。
【答案】（1）；（2）逆时针，；（3）
【详解】（1）由B=B0+kt可知
由法拉第电磁感应定律得
（2）根据楞次定律，感应电流的方向为逆时针，金属圆环的电阻为
=
则在金属圆环中的感应电流
（3）金属圆环的发热功率
类型3 电磁感应中电荷量的计算
计算电荷量的导出公式：q＝eq \f(nΔФ,R总)
在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式eq \x\t(I)＝eq \f(q,Δt)及法拉第电磁感应定律eq \x\t(E)＝eq \f(nΔΦ,Δt)，得q＝eq \x\t(I)Δt＝eq \f(\x\t(E),R总)Δt＝eq \f(nΔΦ,R总Δt)Δt＝eq \f(nΔΦ,R总).即q＝neq \f(ΔΦ,R总)
1.如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则eq \f(B′,B)等于( )
A.eq \f(5,4) B.eq \f(3,2) C.eq \f(7,4) D．2
【答案】 B
【解析】 在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有
E1＝eq \f(ΔΦ1,Δt1)＝eq \f(B\f(1,2)πr2－\f(1,4)πr2,Δt1)
根据闭合电路欧姆定律，有I1＝eq \f(E1,R)
且q1＝I1Δt1
在过程Ⅱ中，有
E2＝eq \f(ΔΦ2,Δt2)＝eq \f(B′－B\f(1,2)πr2,Δt2)
I2＝eq \f(E2,R)
q2＝I2Δt2
又q1＝q2，即eq \f(B\f(1,2)πr2－\f(1,4)πr2,R)＝eq \f(B′－B\f(1,2)πr2,R)
所以eq \f(B′,B)＝eq \f(3,2).
2.如图甲所示，虚线MN左、右两侧的空间均存在与纸面垂直的匀强磁场，右侧匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小恒为B0；左侧匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向．一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S0，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上．求：
(1)t＝eq \f(t0,2)时，圆环受到的安培力；
(2)在0～eq \f(3,2)t0内，通过圆环的电荷量．
【答案】 (1)eq \f(3B02r2S0,4ρt0)，垂直于MN向左 (2)eq \f(3B0rS0,8ρ)
【解析】 (1)根据法拉第电磁感应定律，圆环中产生的感应电动势E＝eq \f(ΔB,Δt)S
上式中S＝eq \f(πr2,2)
由题图乙可知eq \f(ΔB,Δt)＝eq \f(B0,t0)
根据闭合电路欧姆定律有I＝eq \f(E,R)
根据电阻定律有R＝ρeq \f(2πr,S0)
t＝eq \f(1,2)t0时，圆环受到的安培力大小F＝B0I·(2r)＋eq \f(B0,2)I·(2r)
联立解得F＝eq \f(3B02r2S0,4ρt0)
由左手定则知，方向垂直于MN向左．
(2)通过圆环的电荷量q＝eq \x\t(I)·Δt
根据闭合电路欧姆定律和法拉第电磁感应定律有
eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R)
eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)
在0～eq \f(3,2)t0内，穿过圆环的磁通量的变化量为
ΔΦ＝B0·eq \f(1,2)πr2＋eq \f(B0,2)·eq \f(1,2)πr2
联立解得q＝eq \f(3B0rS0,8ρ).
3.如图甲所示，平行光滑金属导轨水平放置，两轨相距，导轨的左端与阻值的电阻相连，导轨电阻不计；导轨在侧，存在沿x方向均匀增大的磁场，其方向垂直导轨平面向下，磁感应强度B随位置x的变化如图乙所示，现有一根质量、电阻的金属棒MN置于导轨上，并与导轨垂直，棒在外力F作用下，从处以初速度沿导轨向右作变速运动，且金属棒MN在运动过程中受到的安培力大小不变，下列说法中正确的是（ ）

A．金属棒MN向右做匀加速直线运动
B．金属棒MN在处的速度大小为
C．金属棒MN从运动到过程中外力F所做的功为
D．金属棒MN从运动到过程中，流过金属棒MN的电荷量为
【答案】BD
【详解】A．单杆切割磁感线产生感应电流而导致金属棒受到的安培力为
由题意可知安培力大小不变，故
结合乙图，金属棒不可能做匀加速直线运动，故A错误；
B．根据题意金属棒所受的安培力大小不变，处与处安培力大小相等，有
，
解得
故B正确；
C．金属棒在处的安培力大小为
对金属棒从运动到过程中，根据动能定理有
代入数据解得
故C错误；
D．根据通过导体横截面的电荷量结论有
到过程中，由图乙可得
所以
故D正确。
故选BD。
题型四 电磁感应中的平衡和动力学问题
1．导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件列式分析．
(2)导体的非平衡状态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
3．导体常见运动情况的动态分析
1.如图所示，两根足够长光滑平行金属导轨倾斜地固定在绝缘水平面上，倾角为，两导轨之间的距离为，水平虚线1、2间的距离为，水平虚线1、2间以及水平虚线2、3间分别存在垂直导轨平面向上和垂直导轨平面向下的匀强磁场，且磁感应强度大小均为，两粗细相同的导体棒由同种材料制成，导体棒MN的长度为l，导体棒PQ的长度为2l，导体棒MN垂直导轨置于虚线2、3间，导体棒PQ由虚线1上方处垂直导轨静止释放，同时在导体棒MN上施加一平行导轨平面的外力F，导体棒MN始终保持静止。导体棒PQ刚越过虚线1时外力F刚好为零，且导体棒PQ到达虚线2前已做匀速直线运动，导体棒MN的电阻值为，重力加速度g取，金属导轨电阻不计。求：
(1)导体棒MN的质量m和导体棒PQ匀速时外力F的大小；
(2)导体棒PQ从释放到虚线2的过程，导体棒MN上产生的热量；
(3)导体棒PQ从释放到虚线2的过程，流过导体棒MN的电荷量。
【答案】(1)0.8kg，4N (2)8.8J (3)3.5C
【详解】（1）设导体棒的质量为，则导体棒的质量为，导体棒从释放到虚线1的过程沿导轨向下做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得
解得
导体棒刚到达虚线1处的速度为
导体棒产生的感应电动势为
导体棒接入电路的电阻为，流过导体棒的电流为
由右手定则和左手定则可知导体棒所受安培力沿导轨向上，安培力大小为
导体棒静止，则由力的平衡条件得
解得
又由题意导体棒PQ到达虚线2前已做匀速直线运动，设导体棒PQ匀速的速度为，对导体棒PQ由力的平衡条件得
解得
此时导体棒所受的安培力沿导轨向上，大小为
对导体棒由力的平衡条件得
解得
（2）导体棒从释放到虚线2的过程，由能量守恒定律得
解得
则导体棒上产生的热量为
（3）导体棒由虚线1到虚线2的过程中，磁通量的变化量为
由法拉第电磁感应定律得
又
整理得
代人数据解得
2.如图所示，由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是（ ）

A．甲产生的焦耳热比乙多B．甲加速运动，乙减速运动
C．甲和乙都加速运动D．甲减速运动，乙加速运动
【答案】C
【详解】设线圈到磁场的高度为h，线圈的边长为l，线圈材料密度为，质量为m，横截面积为S，电阻率为，线圈在磁场中运行速度为，线圈刚进入磁场时速度为，有
感应电动势为
线圈电阻为
感应电流为
线圈所受的安培力
由牛顿第二定律有
联立解得加速度为
BCD． 可知线圈在磁场中运动的加速度与匝数、横截面积无关，则甲乙线圈进入磁场时，具有相同的加速度。当时，甲和乙都做加速运动，当时，甲和乙都做减速运动，故BD错误；C正确。
A．线圈的热功率
甲乙线圈在磁场中运动速度相同，热功率也一样，甲产生的焦耳热与乙一样多，故A错误。
故选C。
3.如图所示，倾斜放置的平行金属导轨固定在范围足够大，方向竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨与水平面夹角为，两导轨间距为L，导轨下端连入一个阻值为R的定值电阻。将一质量为m的导体杆AC水平放置于导轨某处，并对它施加一瞬时冲量，使其获得一个沿斜面向上的初速度。一段时间后，观察到导体杆沿斜面匀速下滑。已知导体杆和斜面间的动摩擦因数为，导体杆和导轨电阻不计，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）

A．导体杆刚开始上滑时摩擦力最小
B．导体杆刚开始上滑时加速度最小
C．导体杆的最终速度为
D．导体杆下滑过程中，电阻R的功率增加的越来越慢，然后保持不变
【答案】ACD
【详解】A．金属杆上滑过程中，产生的感应电流大小为
其所受安培力为
，方向水平向左
对金属杆受力分析，垂直斜面方向
沿斜面方向
综上得
金属杆上滑过程中必然减速，故开始时其速度最大，所以此时其摩擦力最小，故A正确。
B．上滑时，导体杆的加速度为
由于和的关系无法判断，故加速度随v的变化也无法判断，故B错误。
C．金属杆下滑过程中，最终速度必然是沿斜面方向受力平衡，此时，对金属杆受力分析，有
垂直斜面方向
综上得
故C正确。
D．金属杆下滑过程中，加速度逐渐减小，即速度增加的越来越慢，即电流增加的越来越慢，即电阻的功率增加的越来越慢，当导体杆一旦匀速，电阻R的功率保持不变，故D正确。
故选ACD。
4.如图所示，两足够长的水平光滑导轨置于竖直方向的匀强磁场中，左端分别连接一定值电阻和电容器，将两导体棒分别垂直放在两导轨上。给甲图导体棒一水平向右的初速度v，乙图导体棒施加水平向右的恒定拉力F。不计两棒电阻，两棒向右运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．图甲中，导体棒速度的减小量与运动的时间成正比
B．图甲中，导体棒速度的减小量与通过的距离成正比
C．图乙中，电容器储存的电能与运动时间的平方成正比
D．图乙中，导体棒速度的增加量与通过的距离成正比
【答案】BC
【详解】AB．图甲中，导体切割磁感线产生感应电动势，则有
，
根据牛顿第二定律有
又
则
所以图甲中，导体棒速度的减小量与通过的距离成正比，故A错误，B正确；
CD．图乙中，设极短时间内，导体棒速度变化量为，则导体棒的加速度为
导体棒产生的的电动势为
电容器增加的电荷量为
电容器储存的电能为
电流为
导体又受到安培力为
根据牛顿第二定律
解得
则
，
所以图乙中，电容器储存的电能与运动时间的平方成正比，图乙中，导体棒速度的增加量与运动时间成正比，故C正确，D错误。
故选BC。
5.如图1所示，水平面上固定有足够长的平行导轨，导轨间距d=0.4m，虚线O1O2垂直于导轨，O1O2左侧部分的导轨与电容C=2mF的平行板电容器AB相连，且由不计电阻的光滑金属材料制成，O1O2右侧部分的导轨由粗糙的绝缘材料制成。将一质量m=0.1kg、电阻不计的金属棒MN通过水平轻绳绕过光滑定滑轮与质量为2m的小物块相连，O1O2左侧处于方向竖直向下的匀强磁场中。t=0时刻，将垂直于导轨的金属棒MN由静止释放，金属棒在轻绳的拉动下开始运动，当金属棒MN越过虚线O1O2后，作出金属棒的图像如图2所示。已知重力加速度取g=10m/s2，整个过程中电容器未被击穿，则下列分析正确的是（ ）
A．电容器的A极板带正电
B．金属棒与绝缘材料间的动摩擦因数为0.25
C．金属棒的释放点到虚线O1O2的距离为2m
D．匀强磁场的磁感应强度大小为2.5T
【答案】AC
【详解】A．金属棒切割磁感线时，根据右手定则可知电流方向由M流向N，则电容器的A极板带正电，故A正确；
B．根据图像可知，金属棒MN越过虚线O1O2后的加速度大小为
以小物块和金属棒为整体，根据牛顿第二定律可得
联立解得
故B错误；
CD．金属棒在虚线O1O2左侧运动时，以小物块和金属棒为整体，根据牛顿第二定律可得
又
联立可得
可知金属棒在虚线O1O2左侧做初速度为零的匀加速直线运动，根据图像可知，该过程的运动时间为，末速度为，则加速度为
联立解得匀强磁场的磁感应强度大小为
金属棒的释放点到虚线O1O2的距离为
故C正确，D错误。
故选AC。
6.两足够长的平行金属直导轨与水平面间的夹角为，间距，导轨处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中，两根相同的质量均为金属棒垂直地放在导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数0.75，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。一根轻质细绳跨过如图所示光滑的轻质定滑轮，一端悬吊一重物，另一端连接金属棒Q，定滑轮右侧的细绳和导轨平行，将两金属棒同时由静止释放，经过一段时间后，系统处于稳定的运动状态。两金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，闭合回路中除两金属棒以外电阻均不计，已知每根金属棒在两导轨间电阻均为，重力加速度大小，下列说法正确的是（ ）

A．金属棒的最大速度为B．金属棒的最大加速度为
C．最终金属棒的加速度都是0D．金属棒先加速后匀速
【答案】AC
【详解】A．对金属棒受力分析，绳子的拉力
T=Mg
安培力
摩擦力
重力沿斜面向下的分力，当
T=F+f+
时，Q速度最大，解得
=
故A正确；
B．当金属棒即将运动时，加速度为
金属棒释放瞬间摩擦力小于最大静摩擦力，所以金属棒的最大加速度大于，故B错误；
CD．当金属棒达到最大速度时，两金属棒受到的安培力大小均为
此后金属棒匀速运动，对金属棒P受力分析，始终处于静止状态，所以最终金属棒的加速度都是0，故C正确，D错误。
故选AC。
7.如图甲所示，间距L=1m的长直平行导轨固定在水平面上，虚线MN与导轨垂直，在其右侧有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B=1T；质量均为m=2kg的金属棒P、Q垂直放在导轨上，P、Q与导轨间的动摩擦因数均为μ且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，P棒到MN存在一段距离；t=0时刻起，P棒始终受到一方向水平向右、大小为F=8N的恒定拉力作用，其运动的v-t图像如图乙所示，其中t=0到t=4s的图像为直线，已知P、Q棒接入电路的总电阻R总=1Ω，运动过程中两棒未发生碰撞，不计导轨的电阻，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）

A．金属棒与导轨间的动摩擦因数大小为μ=0.1
B．P棒刚进入磁场时，Q棒的加速度大小为2m/s2
C．电路稳定时，P棒的速度大小为4m/s
D．电路稳定时，Q棒的速度大小为2m/s
【答案】BD
【详解】A．对导体棒受力分析，水平方向上有
从图像可以读出，的倾斜直线的斜率即为加速度大小，即
联立可得
故A错误；
B．P棒刚进入磁场时，Q棒受到安培力和滑动摩擦力，此时有
其中
联立可得
故B正确；
CD．后对P和Q整体进行分析，设经历时间时间电路开始稳定，稳定时电流为，则有
，
由动量定理可得
计算中发现
联立各式解得
，
故C错误，D正确。
故选BD。
8．如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ相距为，导轨平面与水平面的夹角为，导轨上端连接一定值电阻，导轨的电阻不计，整个装置处于方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，长为L的金属棒cd垂直于MN、PQ放置在导轨上，且与导轨保持良好的接触，金属棒的质量为，电阻为。现将金属棒从紧靠NQ处由静止释放，当金属棒沿导轨下滑距离为时，速度达到最大值。（重力加速度g取），求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)金属棒沿导轨下滑距离为12m的过程中，整个电路产生的焦耳热Q及通过金属棒截面的电荷量q；
(3)若将金属棒下滑12m的时刻记作，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，请用含t的表达式表示出磁感应强度B随时间的变化。
【答案】(1)4T (2)；12C (3)
【详解】（1）当所受合外力为零时，下滑的速度达到最大，受力分析如图
可得
又
联立，解得
B＝4T
（2）由能量守恒定律得
解得
通过金属棒截面的电荷量
（3）金属棒中不产生感应电流时不受安培力，做匀加速运动，设金属棒的加速度大小为a，根据牛顿第二定律得
mgsinθ=ma
解得
a=gsinθ
回路中磁通量应不变，设时，磁感应强度为，则有
联立，解得
9.如图甲所示，两根平行光滑足够长金属导轨固定在倾角θ=30°的斜面上，其间距L=2m。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B=2T。两根金属棒NQ和ab与导轨始终保持垂直且接触良好，NQ棒通过一绝缘细线与固定在斜面上的拉力传感器连接（连接前，传感器已校零），细线平行于导轨。已知ab棒的质量为2kg，NQ棒和ab棒接入电路的电阻均为2Ω，导轨电阻不计。将ab棒从静止开始释放，同时对其施加平行于导轨的外力F，此时拉力传感器开始测量细线拉力FT，作出力FT随时间t的变化图像如图乙所示（力FT大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g取10m/s2。求：
（1）t1=1s时，金属棒ab的速度大小；
（2）t2=3s时，外力F的大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设NQ棒的质量为M。当t=0时，对NQ棒，由平衡条件得
代入数据解得
t1=1s，NQ棒受到沿斜面向上的拉力
对NQ棒分析，由平衡条件得
解得NQ棒受到的安培力大小为
方向沿斜面向下，又
代入数据解得
ab棒产生的感应电动势为
由，代入数据解得
（2）由图乙可得，当t2=3s时，NQ棒受到沿斜面向上的拉力
对NQ棒受力分析，由平衡条件得
代入数据解得
由安培力公式有
代入数据解得
ab棒产生的感应电动势为
又
代入数据解得金属棒ab的速度为
由以上可知，棒ab的速度可表示为
由于FT随时间均匀增大，所以ab在做匀加速直线运动，其加速度为
对棒ab受力分析，由牛顿第二定律得
代入数据解得
10.如图甲所示，空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小的匀强磁场，有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内，间距，左端连接阻值的电阻。质量的导体棒ab垂直跨放在导轨上，与导轨间的动摩擦因数，从时刻开始，通过一小型电动机对棒施加一个水平向右的牵引力，使棒从静止开始沿导轨方向做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，除R以外其余部分的电阻均不计，重力加速度g取
（1）若电动机保持恒定功率输出，棒的图象如图乙所示（其中OA是曲线，AB是直线），已知内电阻R上产生的热量，求：导体棒达到最大速度时牵引力大小及导体棒从静止开始达到最大速度时的位移大小；
（2）若电动机保持恒定牵引力，且将电阻换为的电容器（耐压值足够大），如图丙所示，证明导体棒做匀加速运动，并求出加速度。

【答案】（1）0.45N，；（2）见解析
【详解】（1）导体棒达到最大速度后，所受合外力为零，有
摩擦力
感应电动势
感应电流
安培力
此时牵引力
电动机的功率
电动机消耗的电能等于导体棒的动能、克服安培力做功产生的焦耳热及克服摩擦力做功产生的内能之和，有
解得位移
（2）当导体棒的速度大小为ν时，感应电动势
由
知，此时电容器极板上的电荷量
设在一小段时间内，可认为导体棒做匀变速运动，速度增加量为，电容器极板上增加的电荷量为
根据电流的定义式
对导体棒受力分析，根据牛顿第二定律有
解得
可知导体棒的加速度与时间无关，为一个定值，即导体棒做匀加速运动。
题型五 电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
eq \x(\a\al\vs4\cl(其他形式,的能量))eq \(――――――→,\s\up7(克服安培力做功))eq \x(电能)eq \(―――→,\s\up7(电流做功))eq \x(\a\al\vs4\cl(焦耳热或其他,形式的能量))
2．求解焦耳热Q的三种方法
3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解．
1.如图所示，两根光滑金属导轨平行固定在倾角的绝缘斜面上，导轨下端接有的定值电阻，导轨自身电阻忽略不计。导轨置于垂直于斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小。将一根质量、电阻的金属棒从导轨上方某处由静止释放，金属棒沿导轨下滑，设导轨足够长，导轨宽度和金属棒的长度均为。金属棒下滑过程中始终与导轨接触良好，金属棒沿导轨下滑的高度时，金属棒已经匀速运动了一段时间。取重力加速度大小，求：
(1)金属棒达到的最大速度；
(2)金属棒从释放到沿导轨下滑的高度的过程中，金属棒上产生的焦耳热和通过的电荷量。
【答案】(1)5m/s (2)1.4J；
【详解】（1）金属棒ab达到最大速度时恰好匀速下滑，根据平衡条件有
金属棒ab受到的安培力大小为
回路中感应电流大小为
联立解得
（2）金属棒ab从释放到沿导轨下滑的高度的过程中，根据功能关系有
解得
金属棒上产生的焦耳热为
通过定值电阻R的电荷量为
平均感应电流为
根据法拉第电磁感应定律有
联立解得
2．如图所示，间距为L的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨足够长且电阻不计，左端接有阻值为R的定值电阻。质量为m的金属棒放在导轨上，金属棒与平行金属导轨间的动摩擦因数为。整个装置处在垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B。现对金属棒施加一个平行导轨向右，大小为F的水平拉力，使金属棒从静止开始运动，金属棒运动过程中始终与两导轨垂直并接触良好，金属棒接入电路的电阻为0.5R。重力加速度大小为g。
(1)求金属棒的最大速度；
(2)若从金属棒开始运动到金属棒刚好达到最大速度的过程中，电阻R上产生的焦Q，求该过程中金属棒运动的距离x。
【答案】(1) (2)
【详解】（1）当金属棒受到的拉力等于安培力和摩擦力之和时，速度达到最大，根据平衡条件有
感应电动势为
感应电流为
金属棒受到的摩擦力
联立解得
（2）该过程中，整个电路产生的总焦耳热
由能量守恒定律有
联立解得
3．如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L＝1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ＝30°角，N、Q两端接有R＝1Ω的电阻。一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m＝0.2kg，电阻r＝1Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝1T。ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1＝0.5m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v＝2m/s。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g＝10m/s2。
(1)求拉力的功率P；
(2)ab开始运动后，经t＝0.09s速度达到v2＝1.5m/s，此过程中金属棒ab产生的焦耳热Q＝0.03J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x。
【答案】(1)4W (2)0.1m
【详解】（1）在ab运动过程中，由于拉力功率恒定，ab做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，加速度为零，设此时拉力的大小为F，安培力大小为FA，有
F－mgsinθ－FA＝0
设此时回路中的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律，有
E＝BLv
设回路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律，有
I＝ab受到的安培力
FA＝BIL
由功率表达式，有
P＝Fv
联立解得
P＝4W
（2）ab从速度v1到v2的过程中，设回路中产生的焦耳热为Q总，由能量转化与守恒，有
Pt＝Q总＋mgx sin θ＋（）
总焦耳热为
Q总＝
联立解得
x＝0.1m
4．如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角的斜面上，导轨电阻不计，间距。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为。在区域Ⅰ中，将质量，电阻的金属条ab放在导轨上，因金属条与轨道间有摩擦，ab刚好不下滑。然后在区域Ⅱ中将质量，电阻的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取。求：
（1）cd下滑的过程中，判断ab中的电流方向，还是？
（2）ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大；
（3）从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，流过cd的电荷量，求此过程中电流在ab上产生的热量Q是多少。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由右手定则可知，cd下滑的过程中，ab中的电流方向为。
（2）开始放置ab刚好不下滑时，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，由平衡条件可得
ab刚好要上滑时，感应电动势
感应电流
ab受到的安培力
此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件得
解得
（3）从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，流过cd的电荷量
解得
cd棒运动过程中电路产生的总热量为，由能量守恒定律得
ab上产生的热量
5.如图所示，在平面直角坐标系中，竖直向下，水平。在第一象限（空间足够大）存在垂直平面向外的磁场区域，磁感应强度沿y轴正方向不变，沿x轴正方向按照（且为已知常数）规律变化。一个质量为m、边长为L的正方形导线框，电阻为R，初始时一边与x轴重合，一边与y轴重合。将导线框以速度沿x轴正方向抛出，整个运动过程中导线框的两邻边分别平行两个坐标轴。从导线框开始运动到速度恰好竖直向下的过程中，导线框下落高度为h，重力加速度为g，则在此过程中，下列说法正确的是（ ）

A．导线框受到的安培力总是与运动方向垂直
B．导线框下落高度为h时的速度小于
C．整个过程中导线框中产生的热量为
D．导线框速度恰好竖直向下时左边框的横坐标为
【答案】CD
【详解】A．根据右手定则可知，线框将产生顺时针方向的电流，根据左手定则可知左边框产生方向向右的安培力，右边框产生方向向左的安培力，上边框产生方向向下的安培力，下边框产生方向向上的安培力，再根据磁场的分布规律可知左边框产生的安培力小于右边框产生的安培力，上、下边框产生的安培力大小相等，可知导线框受到向左的安培力的作用，即沿x轴负方向的安培力作用，而不是与运动方向垂直，故A错误；
B．导线框在竖直方向所受安培力的合力为零，可知导线框在竖直方向做自由落体运动，下落高度为h时的速度满足运动学关系
可得
故B错误；
C．当导线框速度恰好竖直向下时，说明导线框在水平方向速度减小为零，又导线框在竖直方向所受合力与重力大小相等，即导线框在竖直方向满足机械能守恒，所以下落过程中导线框中产生的热量大小等于水平方向动能的损失，大小为，故C正确；
D．设导线框在时间t时的水平分速度大小为，水平位移为x，则在此时刻导线框产生感应电动势大小为
导线框内的感应电流大小为
所以导线框受到安培力的大小
又根据
可得
导线框速度恰好竖直向下时左边框的横坐标为
故D正确。
故选CD。
6.如图所示，足够长且电阻不计的平行光滑金属导轨MN、OP倾斜固定，与水平面夹角为，导轨间距为L，O、M间接有阻值为R的电阻。质量为m的金属杆CD垂直于导轨放置，与金属导轨形成闭合电路，其接入电路部分的电阻也为R，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。开始时电键S断开，由静止释放金属杆，当金属杆运动一段时间后闭合电键S，闭合瞬间金属杆的速度大小为，加速度大小为、方向沿导轨向上。自闭合电键到金属杆加速度刚为零的过程，通过电阻R的电荷量为q，电阻R上产生的焦耳热为Q。金属杆运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。则（ ）

B．
C．D．
【答案】BC
【详解】AB．闭合电键瞬间金属杆的速度大小为，则其产生的电动势大小为
此时回路中电流大小为
金属杆CD受到的安培力大小为
安培力方向沿斜面向上。此时金属杆加速度大小为，方向沿导轨向上，对金属杆受力分析，根据牛顿第二定律有
解得
故A错误，B正确；
CD．设从闭合电键到金属杆运动至加速度为零的过程，经过的时间为t，则回路中的平均电动势大小为
回路中的平均电流大小为
此过程中，通过电阻R的电荷量为q，则有
解得
加速度为零，则有
解得
金属杆与外电阻具有相同的阻值，此过程中金属杆上和电阻R上产生的焦耳热相等，根据能量守恒，有
解得
故C正确，D错误。
故选BC。
7.如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L，两导轨间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。一质量为m、电阻为R、长度恰好等于导轨间宽度的导体棒ab垂直于导轨放置。闭合关S，导体棒ab由静止开始运动，经过一段时间后达到最大速度。已知电源电动势为E、内阻为R，不计金属轨道的电阻，则（ ）

A．导体棒的最大速度为
B．开关S闭合瞬间，导体棒的加速度大小为
C．导体棒的速度从零增加到最大速度的过程中，通过导体棒的电荷量为
D．导体棒的速度从零增加到最大速度的过程中，导体棒产生的焦耳热为
【答案】BC
【详解】A．当动生电动势和电源电动势相等时，电流为零，此时不再受安培力，导体棒做向右的匀速直线运动，此时速度最大，则有
解得
故A错误；
B．开关闭合瞬间，电路中的电流为
导体棒所受安培力为
由牛顿第二定律可知导体棒的加速度为
故B正确；
C．由动量定理得
又
联立解得
故C正确；
D．对电路应用能量守恒定律有
导体棒产生的焦耳热为
联立解得
故D错误。
故选BC。
8.如图甲所示，两电阻不计，且足够长的平行光滑导轨与水平面的夹角，导轨下端接一阻值的定值电阻。空间中存在垂直导轨所在平面向上、磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场。导体棒ab的长度和导轨间距均为，导体棒电阻、质量。在导体棒ab上施加一沿导轨平面向上的作用力F，使导体棒ab沿导轨由静止开始运动。已知重力加速度为，，导轨足够长，导体棒沿导轨运动的过程中始终与导轨垂直且接触良好。
（1）若F为恒力，大小为1.6N，求导体棒最终匀速运动的速度；
（2）若作用力F的大小随时间变化的关系图像如图乙所示，力F作用过程中导体棒ab的速度大小与时间的关系图像如图丙所示，则图中Fm和v1的大小分别为多少；
（3）在上述题设（2）的作用力下，已知0~4s内导体棒克服外力F做功为4.4J，求0~4s内电路产生的焦耳热。

【答案】（1）4m/s；（2）0.8N，8m/s；（3）8.4J
【详解】（1）匀速运动时，对ab棒受力分析，可得
以ν的速度匀速运动时，对电路分析，可得：
解得
（2）由图丙可知ab棒做匀加速直线运动，当t=4s时，有
作用力为零时加速度不变，可知，棒向下运动，t=4s时对ab受力分析可得
当t=0时，对ab棒分析，可得
解得
，
（3）对ab棒下滑的过程，根据动能定理得
其中
对匀加速过程分析有
由动能关系可得
解得
9.如图所示，弯折成角的两根足够长金属导轨平行放置，形成左右两导轨平面，左导轨平面与水平面成，右导轨平面与水平面成，两导轨相距，电阻不计质量均为，电阻均为的金属杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为，整个装置处于方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面向上的匀强磁场中，现让cd固定不动，将金属棒b由静止释放，当b沿导轨下滑时，速度刚好达到稳定，此时，整个回路消耗的电功率为，g取，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）ab沿导轨下滑的过程中b棒上产生的焦耳热Q。

【答案】（1）；（2）0.2J
【详解】（1）ab棒速度达到稳定，即达到最大速度做匀速运动，有
整个回路消耗的电功率
则ab棒的最大速度
又整个回路的电功率又可表示为
解得
棒下滑过程中，根据能量守恒
ab棒产生的焦耳热为
解得
Q=0.2J
10如图所示，在竖直平面内的虚线下方存在范围足够大、方向水平的匀强磁场，同一高度处磁感应强度大小相等，竖直方向上磁感应强度随距离关系满足B=kh，k为常量，将一竖直放置、边长为L的单匝正方形金属线框abcd从图示位置由静止释放，线圈质量为m、电阻为R，不计空气阻力，重力加速度g。求：
（1）线圈中的最大电流Im和电流的方向；
（2）线圈下落高度h（已达最大电流）的过程中线圈中产生的焦耳热Q。

【答案】（1），顺时针方向；（2）
【详解】（1）当线圈受到的安培力等于重力时，线圈的竖直方向速度达到最大，即此时线圈中的电流最大，设此时线圈下落高度为h0，则ad边所处位置的磁感应强度为
bc边所处位置的磁感应强度为
解得线圈中的最大电流为
根据楞次定律可知电流方向为顺时针方向；
（2）设线圈中电流最大时线圈的速度为v，则线圈下落高度h时，ad边切割产生的感应电动势为
bc边切割产生的感应电动势为
线圈的感应电动势为
根据闭合电路欧姆定律有
解得线圈下落高度h时，线圈的竖直速度为
根据能量守恒有
解得线圈下落高度h（已经是最大电流）的过程中线圈中产生的焦耳热为
v
↓
E＝Blv
↓
I＝eq \f(E,R＋r)
↓
F安＝BIl
↓
F合
若F合＝0
匀速直线运动
若F合≠0
↓
F合＝ma
a、v同向
v增大，若a恒定，拉力F增大
v增大，F安增大，F合减小，a减小，做加速度减小的加速运动，减小到a＝0，匀速直线运动
a、v反向
v减小，F安减小，a减小，当a＝0，静止或匀速直线运动