海南省海口市北京师范大学海口附属学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷-A4

这是一份海南省海口市北京师范大学海口附属学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．﹣30°B．60°C．120°D．150°
2．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12＝0与ax+8y+11＝0之间的距离为（ ）
A．B．C．7D．
3．（5分）设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
C．若l∥α，l⊥β，则α⊥βD．若α⊥β，l⊥α，则l∥β
4．（5分）已知x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0表示的曲线是圆，则k的值为（ ）
A．（6，+∞）B．[﹣6，+∞）C．（﹣∞，6）D．（﹣∞，6]
5．（5分）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）米．
A．2B．2C．4D．4
6．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是4
B．点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，0）
C．直线x﹣2y+3＝0关于直线x+y﹣3＝0的对称直线的方程为x﹣2y＝0
D．直线y＝3x+3关于点A（3，2）的对称直线的方程为3x﹣y﹣17＝0．
8．（5分）已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A．[0，4]B．[0，2]C．[1，4]D．[1，2]
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
（多选）9．（5分）在同一平面直角坐标系中，表示直线l1：y＝ax+b与l2：y＝bx﹣a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）10．（5分）已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则（ ）
A．直线l恒过定点（﹣1，1）
B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
C．直线l与圆C有两个交点
D．若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则a＝8
（多选）11．（5分）若长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则（ ）
A．B1E⊥A1B
B．平面B1CE∥平面A1BD
C．三棱锥C1﹣B1CE的体积为
D．三棱锥C1﹣B1CD1的外接球的表面积为24π
（多选）12．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则下列说法中正确的有（ ）
A．y﹣x的最大值为﹣2
B．x2+y2的最大值为7+4
C．的最大值为
D．x+y的最大值为2+
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知直线l1：mx+3y+1＝0与直线l2：2x+（m+5）y﹣4＝0互相垂直，则它们的交点坐标为 ．
14．（5分）已知直线l：x﹣y+6＝0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝8，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为 ．
15．（5分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A（﹣1，0）和B（2，1），且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线mx+ny﹣2＝0（m＞0，n＞0）对称，则m与n之间的关系式为 ．
16．（5分）设点P为直线2x+y﹣2＝0上的点，过点P作圆C：x2+y2+2x+2y﹣2＝0的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）求满足下列条件的直线方程．
（Ⅰ）过点M（2，4），且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程；
（Ⅱ）已知A（﹣3，3），B（1，1），两直线l1：x﹣2y+4＝0，l2：4x+3y+5＝0交点为P，求过点P且与A，B距离相等的直线方程；
（Ⅲ）经过点M（2，1），并且与圆x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0相切的直线方程．
18．（12分）已知圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上，且该圆与x轴相切．
（1）若圆C经过点（4，3），求该圆的方程；
（2）若圆C被直线x﹣y＝0截得的弦长为，求该圆的方程．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点，PD＝DC＝2，F为棱PB上的点且．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：直线PB⊥平面DEF；
（3）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．
20．（12分）已知两圆M：x2+y2＝10和N：x2+y2+2x+2y﹣14＝0．
（1）求两圆的公共弦所在的直线方程；
（2）求过两圆交点且圆心在x+2y﹣3＝0上的圆的方程．
21．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，点E为棱B1C1的中点，点F是线段BB1上的点（不包括两个端点）．
（1）当F为线段BB1的中点时，求点B到平面AC1F的距离；
（2）是否存在一点F，使得二面角C﹣AC1﹣F的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．
22．（12分）已知圆和圆（r＞0）．
（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；
（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
2023-2024学年海南省北京师大海口附中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．﹣30°B．60°C．120°D．150°
【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．
【解答】解：设直线的倾斜角为θ，0≤θ＜π，
∵直线y＝﹣x，
∴k＝tanθ＝﹣，
∴θ＝150°，
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题
2．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12＝0与ax+8y+11＝0之间的距离为（ ）
A．B．C．7D．
【分析】先将两条平行直线的系数化成对应相等，再利用距离公式，即可求得结论．
【解答】解：由题意，a＝6，直线3x+4y﹣12＝0可化为6x+8y﹣24＝0
∴两条平行直线之间的距离为＝
故选：D．
【点评】本题考查两条平行直线之间的距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
3．（5分）设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
C．若l∥α，l⊥β，则α⊥βD．若α⊥β，l⊥α，则l∥β
【分析】由线面平行的性质和面面的位置关系，可判断A；由线面的位置关系可判断B；由线面平行与垂直的性质定理和面面垂直的判定定理，可判断C；由面面垂直的性质定理和线面的位置关系可判断D．
【解答】解：l是一条直线，α，β是两个不同的平面，
若l∥α，l∥β，可得α∥β或α、β相交，故A错误；
若α⊥β，l∥α，可得l∥β或l⊂β、l与β相交，故B错误；
若l∥α，可得过l的平面γ与α的交线m∥l，由l⊥β，可得m⊥β，又m⊂α，则α⊥β，故C正确；
若α⊥β，l⊥α，可得l∥β或l⊂β，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．
4．（5分）已知x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0表示的曲线是圆，则k的值为（ ）
A．（6，+∞）B．[﹣6，+∞）C．（﹣∞，6）D．（﹣∞，6]
【分析】方程配方后得（x+k）2+（y﹣2）2＝6﹣k，根据圆的半径大于0求解．
【解答】解：由方程x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0可得（x+k）2+（y﹣2）2＝6﹣k，
所以当时表示圆，解得k＜6．
故选：C．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，考查知识的应用能力，是基础题．
5．（5分）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）米．
A．2B．2C．4D．4
【分析】建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出圆的方程，当水面下降1米后，设水面所在直线与圆的交点为A'（x0，﹣4）（x0＞4），将点的坐标代入圆的方程，求出x0的值，即可得到答案．
【解答】解：以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系如图所示，
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，
由已知可得A（6，﹣3），
设圆的半径为r，则C（0，﹣r），
故圆的方程为x2+（y+r）2＝r2①，
将点A（6，﹣3）代入方程①，解得r＝，
所以圆的方程为x2+（y+）2＝②，
当水面下降1米后，可设点A'（x0，﹣4）（x0＞4），
如图所示，将点A'的坐标代入方程②，求得x0＝2，
所以水面下降1米后，水面宽为2x0＝4米，
故选：C．
【点评】本题考查了圆在实际中的应用问题，直线与圆的位置关系的应用，解题的关键在于建立合适的平面直角坐标系，将几何元素代数化，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
6．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PN和BM所成角的余弦值．
【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分别为AC，AB的中点，
∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA＝PB＝PC＝2，则P（0，0，0），N（1，1，0），B（0，2，0），M（1，0，1），
＝（1，1，0），＝（1，﹣2，1），
设异面直线PN和BM所成角为θ，
则csθ＝＝＝．
∴异面直线PN和BM所成角的余弦值为．
故选：D．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
7．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是4
B．点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，0）
C．直线x﹣2y+3＝0关于直线x+y﹣3＝0的对称直线的方程为x﹣2y＝0
D．直线y＝3x+3关于点A（3，2）的对称直线的方程为3x﹣y﹣17＝0．
【分析】A，求得直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴的交点坐标，计算直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积即可；
B，求得点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点的坐标即可判断；
C，求得直线x﹣2y+3＝0关于直线x+y﹣3＝0的对称直线的方程即可作出判断；
D，求出直线y＝3x+3关于点A（3，2）的对称直线的方程即可．
【解答】解：对A，直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴交于（0，﹣2），（2，0），所以围成的三角形面积为，故A错误；
对B，点（0，2）和（1，1）的中点在直线y＝x+1上，且连线的斜率为，可得与直线y＝x+1垂直，所以点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1），故B错误；
对C，联立直线方程可得交点坐标（1，2），任取直线x﹣2y+3＝0上点（﹣3，0），设其对称点为（a，b），则，解得，故对称直线的斜率为，故方程为y﹣2＝2（x﹣1），即2x﹣y＝0，故C错误．
对D，设直线l关于点A（3，2）的对称直线为l′，
由l∥l′，设l′：y′＝3x′+b．
任取y＝3x+3上的一点（0，3），则该点关于点A（3，2）的对称点一定在直线l′上，设其对称点为（x′，y′）．
则，解得．
代入y′＝3x′+b，得b＝﹣17．
故直线l′的方程为y′＝3x′﹣17，
即所求直线的方程为3x﹣y﹣17＝0．
故选：D．
【点评】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程的求法，属于中档题．
8．（5分）已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A．[0，4]B．[0，2]C．[1，4]D．[1，2]
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】解：以D1为坐标原点，以D1A1，D1C1，D1D所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，
则内切球的半径为1，
所以•＝（+）•（+）＝（+）•（﹣）＝﹣1∈[0，2]．
所以的取值范围是[0，2]．
故选：B．
【点评】本题以正方体为载体，考查了线面、面面位置关系，以及空间向量的数量积应用问题，是中档题．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
（多选）9．（5分）在同一平面直角坐标系中，表示直线l1：y＝ax+b与l2：y＝bx﹣a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分情况讨论a与b的正负情况，分别判断各选项．
【解答】解：A选项：由l1的图象可知a＞0，b＜0，l1经过一、三、四象限，则l2需经过二、三、四象限，故A选项正确；
B选项：由l1的图象可知a＞0，b＞0，l1经过一、二、三象限，则l2需经过一、三、四象限，故B选项错误；
C选项：由l1的图象可知a＜0，b＞0，l1经过一、二、四象限，则l2需经过一、二、三象限，故C选项正确；
D选项：由l1的图象可知a＜0，b＜0，l1经过二、三、四象限，则l2需经过一、二、四象限，故D选项错误；
故选：AC．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则（ ）
A．直线l恒过定点（﹣1，1）
B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
C．直线l与圆C有两个交点
D．若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则a＝8
【分析】对于A，将直线方程变形，求出直线经过的定点，即可判断正误；对于B，利用点到直线的距离公式进行计算，可作出判断；对于C，根据定点在圆内加以判断；对于D，利用圆心距与两圆半径之间的关系加以判断，可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l的方程为（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），变形可得：m（x+1）+x+2y﹣1＝0，
令，解得，所以直线恒过定点（﹣1，1），故A正确．
对于B，圆C：（x+2）2+y2＝4，其圆心为（﹣2，0），半径为2，
当m＝0时，直线l的方程为x+2y﹣1＝0，
圆心C（﹣2，0）到直线l的距离为，
由于r﹣d＝，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误．
对于C，因为直线过定点（﹣1，1），所以（﹣1+2）2+12＜4，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点．故C正确．
对于D，圆的方程x2+y2﹣2x+8y+a＝0，即（x﹣1）2+（y+4）2＝17﹣a，其圆心为（1，﹣4），半径为，
若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则两圆外切，
则有，解得a＝8，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查圆的方程及其性质、点到直线的距离公式，涉及两圆的位置关系，属于基础题．
（多选）11．（5分）若长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则（ ）
A．B1E⊥A1B
B．平面B1CE∥平面A1BD
C．三棱锥C1﹣B1CE的体积为
D．三棱锥C1﹣B1CD1的外接球的表面积为24π
【分析】在A中，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出B1E与A1B不垂直；在B中，求出平面B1CE的法向量和平面A1BD的法向量，利用向量法能求出平面B1CE与平面A1BD相交；在C中，三棱锥C1﹣B1CE的体积为＝；在D中，三棱锥C1﹣B1CD1的外接球就是长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，从而三棱锥C1﹣B1CD1的外接球半径R＝＝，由此求出三棱锥C1﹣B1CD1的外接球的表面积为24π．
【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，
在A中，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B1（2，0，4），E（0，2，2），A1（0，0，4），B（2，0，0），
＝（﹣2，2，﹣2），＝（2，0，﹣4），
∵＝﹣4+0+8＝4≠0，∴B1E与A1B不垂直，故A错误；
在B中，B1（2，0，4），C（2，2，0），E（0，2，2），A1（0，0，4），B（2，0，0），D（0，2，0），
＝（0，﹣2，4），＝（﹣2，0，2），＝（﹣2，0，4），＝（﹣2，2，0），
设平面B1CE的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，2，1），
设平面A1BD的法向量＝（a，b，c），
则，取x＝1，得＝（1，1，），
∵不共线，∴平面B1CE与平面A1BD相交，故B错误；
在C中，三棱锥C1﹣B1CE的体积为：
＝＝，故C正确；
在D中，三棱锥C1﹣B1CD1的外接球就是长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，
∴三棱锥C1﹣B1CD1的外接球半径R＝＝，
∴三棱锥C1﹣B1CD1的外接球的表面积为S＝＝24π，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
（多选）12．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则下列说法中正确的有（ ）
A．y﹣x的最大值为﹣2
B．x2+y2的最大值为7+4
C．的最大值为
D．x+y的最大值为2+
【分析】根据题意，方程x2+y2﹣4x+1＝0对应的几何图形为圆，分析圆的圆心和半径，由此分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，方程x2+y2﹣4x+1＝0，即（x﹣2）2+y2＝3，表示圆心为（2，0），半径为的圆，
由此分析选项：
对于A，设y﹣x＝z，则x﹣y+z＝0，直线x﹣y+z＝0与圆（x﹣2）2+y2＝3有公共点，则≤，解可得﹣﹣2≤z≤﹣2，
则z＝y﹣x的最大值为﹣2，A正确；
对于B，设t＝，其几何意义为圆（x﹣2）2+y2＝3上的点到原点的距离，则t的最大值为2+，
故x2+y2的最大值为t2＝（2+）2＝7+4，B正确；
对于C，设k＝，则kx﹣y＝0，直线kx﹣y＝0与圆（x﹣2）2+y2＝3有公共点，则≤，则﹣≤k≤，
即的最大值为，C错误；
对于D，设m＝x+y，则x+y﹣m＝0，直线x+y﹣m＝0与圆（x﹣2）2+y2＝3有公共点，则有≤，解可得：﹣+2≤m≤+2，
即x+y的最大值为+2，D错误；
故选：AB．
【点评】本题考查圆的方程的综合应用，涉及直线与圆的位置关系，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知直线l1：mx+3y+1＝0与直线l2：2x+（m+5）y﹣4＝0互相垂直，则它们的交点坐标为 ．
【分析】根据垂直的两条直线的方程的关系，建立关于m的等式，解出m的值，进而解方程组得出两条直线的坐标．
【解答】解：直线l1：mx+3y+1＝0与直线l2：2x+（m+5）y﹣4＝0互相垂直，可得2m+3（m+5）＝0，解得m＝﹣3，
所以直线l1：﹣3x+3y+1＝0，直线l2：2x+2y﹣4＝0即x+y﹣2＝0．
由，解得，可知直线l1与直线l2的交点坐标为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查垂直的两条直线的方程的关系、两条直线的交点坐标求法等知识，考查了计算能力，属于基础题．
14．（5分）已知直线l：x﹣y+6＝0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝8，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为 ．
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据圆的几何性质可知所求最小值为圆心到直线的距离减去半径．
【解答】解：由圆C方程得：圆心C（1，1），半径，
∴圆心C到直线l的距离，
∴圆C上的点到直线l距离的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属于基础题．
15．（5分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A（﹣1，0）和B（2，1），且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线mx+ny﹣2＝0（m＞0，n＞0）对称，则m与n之间的关系式为 5m+2n＝2 ．
【分析】根据五步求曲法及圆的性质，即可求解．
【解答】解：设P（x，y），因为A（﹣1，0）和B（2，1），且该平面内的点P满足，
∴|PA|2＝2|PB|2，
∴（x+1）2+y2＝2[（x﹣2）2+（y﹣1）2]，
化简可得（x﹣5）2+（y﹣2）2＝20，
∴点P的轨迹方程为（x﹣5）2+（y﹣2）2＝20，
∵P点的轨迹关于直线mx+ny﹣2＝0（m＞0，n＞0）对称，
∴圆心（5，2）在此直线上，∴5m+2n＝2．
故答案为：5m+2n＝2．
【点评】本题考查动点轨迹问题的求解，属中档题．
16．（5分）设点P为直线2x+y﹣2＝0上的点，过点P作圆C：x2+y2+2x+2y﹣2＝0的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为 2x+y﹣1＝0 ．
【分析】由圆的一般方程可得圆心C和半径r，由，可知当直线CP与直线2x+y﹣2＝0垂直时，|AP|取得最小值，由两直线位置关系可求得直线CP方程，进而得到点P坐标，由此可求得以CP为直径的圆的方程，两圆方程作差即可求得直线AB方程．
【解答】解：由圆C方程知：圆心C（﹣1，﹣1），半径，
因为S四边形PACB＝2S△PCA，AC⊥AP，
所以S四边形PACB＝|AC|•|AP|＝2|AP|，
又因为，
所以当|CP|为圆心C到直线2x+y﹣2＝0的距离时，
即直线CP与直线2x+y﹣2＝0垂直时，|AP|取得最小值，
所以，又C（﹣1，﹣1），
所以直线，即x﹣2y﹣1＝0，
由得：，即P（1，0），
所以线段CP中点为，
又，
所以以CP为直径的圆的方程为：，
由，两式相减可得：2x+y﹣1＝0，
即直线AB方程为：2x+y﹣1＝0．
故答案为：2x+y﹣1＝0．
【点评】本题考查圆的方程的求法及两圆的交线方程的求法，属于中档题．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）求满足下列条件的直线方程．
（Ⅰ）过点M（2，4），且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程；
（Ⅱ）已知A（﹣3，3），B（1，1），两直线l1：x﹣2y+4＝0，l2：4x+3y+5＝0交点为P，求过点P且与A，B距离相等的直线方程；
（Ⅲ）经过点M（2，1），并且与圆x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0相切的直线方程．
【分析】（I）先设直线方程的截距式，代入点的坐标可求；
（II）联立方程先求出P的坐标，然后结合直线平行条件及直线的点斜式即可求解；
（III）结合直线与圆相切的性质先求出直线的斜率，进而可求直线方程．
【解答】解：（I）①当截距都为0时，所求直线为y＝2x⇒2x﹣y＝0；
②当截距不为0时，设为，代入M（2，4）得，
故所求直线为x+y﹣6＝0，
综上，直线方程为2x﹣y＝0或x+y﹣6＝0；
（II）联立，得x＝﹣2，y＝1，
∴P（﹣2，1），
①过点P与AB平行，，
∴l方程，
即x+2y＝0；
②过点P与AB中点N，N（﹣1，2），，
∴l方程y﹣1＝x+2，
即x﹣y+3＝0；
综上，满足条件直线方程为x+2y＝0或x﹣y+3＝0；
（III）圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1，圆心O（3，4），半径r＝1，
代入M（2，1）得该点在圆外，
①当切线斜率存在时，设为y﹣1＝k（x﹣2）⇒kx﹣y﹣2k+1＝0，
由相切得，；
②当切线斜率不存在时，即x＝2，与圆相切，符合题意；
故所求切线为4x﹣3y﹣5＝0或x＝2．
【点评】本题主要考查了直线方程的点斜式，截距式的应用，还考查了点到直线的距离公式及直线与圆相切性质的应用，属于中档题．
18．（12分）已知圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上，且该圆与x轴相切．
（1）若圆C经过点（4，3），求该圆的方程；
（2）若圆C被直线x﹣y＝0截得的弦长为，求该圆的方程．
【分析】（1）由题意可设圆心坐标，进而设圆的标准方程，将圆过的点的坐标代入，求得参数，即得答案．
（2）求出圆心到直线的距离的表达式，利用圆心距、弦长、半径之间的关系列式计算，求得参数，即可得答案．
【解答】解：（1）由圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上可设圆心为C（a，3a），
由于该圆与x轴相切．，故圆的半径r＝3|a|，
故可设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣3a）2＝9a2，（a≠0），
又圆C经过点（4，3），故（4﹣a）2+（3﹣3a）2＝9a2，
即a2﹣26a+25＝0，解得a＝1或a＝25，
所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9或（x﹣25）2+（y﹣75）2＝5625．
（2）由（1）知圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣3a）2＝9a2，（a≠0），
圆心C（a，3a）到直线x﹣y＝0的距离为，
圆C被直线x﹣y＝0截得的弦长为，故，
即9a2＝7+2a2，解得a＝±1，
故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9或（x+1）2+（y+3）2＝9．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，是基础题．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点，PD＝DC＝2，F为棱PB上的点且．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：直线PB⊥平面DEF；
（3）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．
【分析】（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面BDE．
（2）利用向量法得到PB⊥DF，PB⊥DE，由此能证明直线PB⊥平面DEF．
（3）求了出是平面BDE的一个法向量，利用向量法能求出直线CE与平面BDE所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，
E是PC的中点，PD＝DC＝2，F为棱PB上的点且．
以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
由PD＝DC＝2，则A（2，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，1，1）
则，，，
设是平面BDE的一个法向量，
则由，取y＝﹣1，得．
∵，∴，
又PA⊄平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）证明：由＝＝（），∴，∴
又，，
故，，
∴PB⊥DF，PB⊥DE，
又DE∩DF＝D，
∴直线PB⊥平面DEF．
（3）设直线CE与平面BDE所成角为θ，
由（1）知是平面BDE的一个法向量，
又
∴，
∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、线面角的正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（12分）已知两圆M：x2+y2＝10和N：x2+y2+2x+2y﹣14＝0．
（1）求两圆的公共弦所在的直线方程；
（2）求过两圆交点且圆心在x+2y﹣3＝0上的圆的方程．
【分析】（1）通过两个圆的方程作差，即可得到两圆的公共弦所在的直线方程；
（2）利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在x+2y﹣3＝0上，代入求解，即可得到圆的方程．
【解答】解：（1）两圆M：x2+y2＝10和N：x2+y2+2x+2y﹣14＝0．两个方程作差可得：2x+2y﹣4＝0，即x+y﹣2＝0．
所以两圆的公共弦所在的直线方程x+y﹣2＝0；
（2）设所求的圆的方程为：x2+y2+2x+2y﹣14+λ（x2+y2﹣10）＝0，
即（1+λ）x2+（1+λ）y2+2x+2y﹣14﹣10λ＝0，即x2+y2+x+y﹣＝0，
圆的圆心（，），
圆心在x+2y﹣3＝0上，
可得﹣﹣﹣3＝0，解得：λ＝﹣2．
所求圆的方程为：x2+y2+2x+2y﹣14﹣2（x2+y2﹣10）＝0，
即x2+y2﹣2x﹣2y﹣6＝0．
【点评】本题求经过两圆交点，并且圆心在定直线的圆的方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和圆与圆的位置关系等知识，属于中档题．
21．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，点E为棱B1C1的中点，点F是线段BB1上的点（不包括两个端点）．
（1）当F为线段BB1的中点时，求点B到平面AC1F的距离；
（2）是否存在一点F，使得二面角C﹣AC1﹣F的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线AB的方向向量和平面AC1F的法向量，利用向量法计算点到平面的距离即可；
（2）求得两平面的法向量，根据向量夹角公式列式计算即可．
【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
又AC⊥BC，则以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则点A（2，0，0）、C1（0，0，2）、B（0，2，0），
设点F（0，2，a），其中0＜a＜2，
设平面AC1F的一个法向量为，
，，
则由，，有，
取z＝2，可得，
当F为线段BB1的中点，即a＝1时，
平面AC1F的一个法向量为，又，
所以，点B到平面AC1F的距离为；
（2）易知平面ACC1的一个法向量为，
因为二面角C﹣AC1﹣F的余弦值为，
则，
解得a＝1或3（舍），此时，
因此，在线段BB1上存在一点F，
使得二面角C﹣AC1﹣F的余弦值为，且．
【点评】本题考查点到平面距离求法，考查二面角的余弦值求法，属中档题．
22．（12分）已知圆和圆（r＞0）．
（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；
（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系可求r的取值范围；
（2）联立直线与圆C1，写出韦达定理，结合数量积代换可求实数k的值；
（3）由两圆半径相等，两直线11和12截得圆C1和圆C2，弦长相等可得弦心距相等，得＝，转化为求方程组的解即可．
【解答】解：（1）由题意得，圆C1的圆心C1（﹣3，1），r1＝2，圆C2的圆心C2（4，5），半径为r，
|C1C2|＝＝，
∵圆C1与圆C2相交，
∴|r﹣2|＜|C1C2|＜r+2，即|r﹣2|＜＜r+2，
解得：﹣2＜r＜+2，
∴r∈（﹣2，+2）．
（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线与圆C1联立，
得（1+k2）x2+6x+5＝0，
由Δ＞0得k2＜，
x1+x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，
∵，
∴x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝4，
∴5+﹣3＝0，
解得：k＝，
∵k2＜，
∴k＝．
（3）由题意得C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，
设P（m，n），直线l1和l2的方程分别为y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n＝﹣（x﹣m），
即kx﹣y+n﹣kn＝0，﹣x﹣y+n+＝0，
由题意可知，圆心C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离，
则＝，化简得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，
则有或，
故P（，）或（，）．