人教版数学九上期末培优训练专题06 函数动点之图形的存在性（2份，原卷版+解析版）

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典例分析：
典例1
如图，抛物线ybx+c与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B（6，0），C（0，﹣6）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
（3）在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
解题思路：（1）把B（6，0），C（0，﹣6）代入ybx+c，用待定系数法可得该抛物线的函数表达式为y2x﹣6；
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，由B（6，0），C（0，﹣6）可得直线BC解析式为y＝x﹣6，根据P（m，m2﹣2m﹣6），Q（m，m﹣6），得PQm2+3m，即得S△PBCPQ•|xB﹣xC|（m2+3m）×6（m﹣3）2，由二次函数性质得当m取3时，△PBC的面积最大，△PBC面积的最大值是；
（3）由（2）知，m＝3，P（3，），由2x﹣6＝0可得A（﹣2，0），设M（2，p），N（q，q2﹣2q﹣6），点分三种情况：①若PA，MN为对角线，则PA，MN的中点重合，有（线式）即中点重合，可得N（﹣1，），②若PM，AN为对角线，同理可得N（7，），③若PN，AM为对角线，同理可得N（﹣3，3）．
答案详解：解：（1）把B（6，0），C（0，﹣6）代入ybx+c得：
，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为y2x﹣6；
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，如图：
由B（6，0），C（0，﹣6）可得直线BC解析式为y＝x﹣6，
∵nm2﹣2m﹣6，
∴P（m，m2﹣2m﹣6），则Q（m，m﹣6），（点）
∴PQ＝（m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣6）m2+3m，（线）
∴S△PBCPQ•|xB﹣xC|（m2+3m）×6m2+9m（m﹣3）2，（式）
∵0，
∴m＝3时，S△PBC取最大值，最大值为，
∴当m＝3时，△PBC的面积最大，△PBC面积的最大值是；
（3）由（2）知，m＝3，P（3，），
由2x﹣6＝0得x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），点
抛物线y2x﹣6的对称轴是直线x2，
设M（2，p），N（q，q2﹣2q﹣6），点
若PA，MN为对角线，则PA，MN的中点重合，
∴，（线式）即中点重合
解得，
∴N（﹣1，），
②若PM，AN为对角线，同理可得，
∴N（7，），
③若PN，AM为对角线，同理可得，
∴N（﹣3，3），
综上所述，点N的坐标为（﹣1，）或（7，）或（﹣3，3）．
典例2
如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍．求出点Q的坐标；
（3）点M是直线y＝﹣2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）根据直线y＝﹣2x+4求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出点P的坐标，过点P作PD⊥y轴于D，根据点P、C的坐标求出PD、CD，然后根据S△APC＝S梯形APDO﹣S△AOC﹣S△PCD，列式求出△APC的面积，再根据抛物线解析式求出点B的坐标，从而得到AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出△ABQ的点Q的纵坐标的值，然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标；
（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y＝﹣2x+4上，设点M的坐标为（a，﹣2a+4），然后分①∠EMF＝90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE＝90°时，根据等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可得解．
答案详解：解：（1）令x＝0，则y＝4，
令y＝0，则﹣2x+4＝0，解得x＝2，
所以，点A（2，0），C（0，4），
∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A、C，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；
（2）∵y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2（x）2，
∴点P的坐标为（，），
如图，过点P作PD⊥y轴于D，
又∵C（0，4），点
∴PD，CD4，线
∴S△APC＝S梯形APDO﹣S△AOC﹣S△PCD
（2）2×4 式
4
，
令y＝0，则﹣2x2+2x+4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴点B的坐标为（﹣1，0），
∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，
设△ABQ的边AB上的高为h，
∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，
∴3h＝4，
解得h＝4，
∵4，
∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，
即点Q的纵坐标为4或﹣4，
当点Q的纵坐标为4时，﹣2x2+2x+4＝4，
解得x1＝0，x2＝1，
此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），
当点Q的纵坐标为﹣4时，﹣2x2+2x+4＝﹣4，
解得x1，x2，
此时点Q的坐标为（，﹣4）或（，﹣4），
综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（，﹣4）或（，﹣4）；
（3）存在．
理由如下：如图，∵点M在直线y＝﹣2x+4上，
∴设点M的坐标为（a，﹣2a+4），点
∠EMF＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|＝|﹣2a+4|，线式
即a＝﹣2a+4或a＝﹣（﹣2a+4），
解得a或a＝4，
∴点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（，），
点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；
∠MFE＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a||﹣2a+4|，线式
即a（﹣2a+4），
解得a＝1，
﹣2a+4＝2×1＝2，
此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），
或a（﹣2a+4），
此时无解，
综上所述，点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（，），
点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；
点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．

实战训练
一．平行四边形
1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）分BC为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质进行求解即可．
答案详解：解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），
把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c得：
，
解之，得，
∴抛物线的解析式为yx2+x+4；
（2）存在．由抛物线yx2+x+4可得对称轴是直线x＝1．
∵Q是抛物线对称轴上的动点，
∴点Q的横坐标为1．
①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，
∴点Q到点P的水平距离也是4．
∴点P的横坐标是5或﹣3，
∴点P的坐标为（5，）或（﹣3，）；
②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，
∴点B到点P的水平距离也是3，
∴点P的坐标为（3，）．
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（5，）或（﹣3，）或（3，）．
2．已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，求出△ACE的最大面积和点D的坐标；
（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）用待定系数法即可求解；
（2）设D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），则DE＝﹣m2﹣3m，故S△ACE3×（﹣m2﹣3m），进而求解；
（3）分BC、BQ、BE分别为平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可．
答案详解：解：（1）∵点B（1，0），AB＝4，
∴A（﹣3，0），
将B（1，0），A（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝k'x+b'，
∴，解得，
∴y＝x+3，
∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），
∴DE＝﹣m2﹣3m，
∴S△ACE3×（﹣m2﹣3m）（m）2，
∴当m时，S△ACE的值最大为，
∴D（，）；
（3）存在，理由如下：
∵m＝﹣2，
∴E（﹣2，3），
设Q（n，t），
①当BC为平行四边形的对角线时，
则，解得，
∴Q（3，0）；
②当BE为平行四边形的对角线时，
则，解得，
∴Q（﹣1，0）；
③当BQ为平行四边形的对角线时，
则，解得，
∴Q（﹣3，6）；
综上所述：当Q点为（3，0）或（﹣1，0）或（﹣3，6）时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形．
3．如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（，），与x轴交于点 A、点B（2，0），与y轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积；
（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在抛物线上，是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）由抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（，）得h，k，将B点坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）求出点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）分BC是平行四边形边以及BC是平行四边形对角线两种情况讨论，结合平行四边形性质以及坐标特点即可求出Q点坐标．
答案详解：解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（，），
∴h，k，y＝a（x）2，
∵抛物线与x轴交于点B（2，0），
∴a（2）20，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的函数表达式：y＝﹣（x）2x2+x+2；
（2）∵y＝﹣x2+x+2；
∴C（0，2），
∵B（2，0），
∴OB＝OC＝2，
∴△BOC的面积为：2×2＝2；
（3）存在，
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（，），
抛物线的对称轴x，
∴点P的横坐标为，
分情况讨论：
①当BC是平行四边形边时，由于OB＝2，
设Q（a，b），则|a|＝2，
解得：a或，
当a时，b，
当a时，b，
故Q（，）或（，）；
②当BC是平行四边形对角线时，
∵B（2，0），C（0，2），
∴BC的中点坐标为（1，1），
设Q（a'，b'），则a'2，
解得：a'，
当a'时，b'，
∴Q（，），
综上所述，点Q坐标为（，）或（，）或（（，）．
二．相似三角形
4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），过点A的直线y＝﹣x﹣1与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线AC的下方，且PE＝2DE时，求点P的坐标；
（3）当直线PD为x＝1时，在直线PD上是否存在点Q，使△ECQ与△EDA相似？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明你的理由．
试题分析：（1）将点A，B的坐标代入y＝x2+bx+c，解方程即可得出答案；
（2）设P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，﹣x﹣1），D（x，0），写出PE，DE的长度，利用PE＝2ED这一等量关系列出方程即可得出答案；
（3）分两种情况进行讨论，由相似三角形的性质可分别求出Q点的坐标．
答案详解：解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，
得，，
解得，，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）因为点P在直线AC的下方，设P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，﹣x﹣1），D（x，0），
则PE＝﹣x﹣1﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣x2+2x+3，DE＝x+1，
∵PE＝2ED，
∴﹣x2+2x+3＝2（x+1），
解得，x1＝﹣1（与点A重合，舍去），x2＝1，
∴y＝x2﹣3x﹣4＝12﹣3×1﹣4＝﹣6，
∴P（1，﹣6）；
综上所述，点P的坐标为（1，﹣6）；
（3）存在．
理由如下：∵直线AC和抛物线y＝x2﹣3x﹣4交于A，C两点，联立方程得，
﹣x﹣1＝x2﹣3x﹣4，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴C（3，﹣4），
∴AC4，
由直线DP：x＝1和直线AC：y＝﹣x﹣1得，AD＝2，DE＝2，
∴AE2，
∴CE＝AC﹣AE＝4，
∵∠AED＝∠CEP，要使△QCE与△EDA相似，必有∠EQC＝∠EDA＝90°或∠ECQ＝∠EDA＝90°，
①当∠EQC＝∠EDA＝90°时，
∵AE＝CE＝2，
∴△EQC≌△EDA，
∴EQ＝DE＝2，
∴点Q的坐标为（1，﹣4）；
②当∠ECQ＝∠EDA＝90°时，
∵△ECQ∽△EDA，
∴，
∴EQ4，
∴DQ＝DE+EQ＝2+4＝6，
∴点Q的坐标为（1，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（1，﹣4）或（1，﹣6）时，△ECQ与△EDA相似．
5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．
试题分析：（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点C的坐标，然后证明Rt△DPE∽Rt△AOC，再由二次函数的最值性质，求出答案；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当△AOC∽△APD时；当△AOC∽△DAP时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．
答案详解：解：（1）将A（0，3）和B（，）代入y＝﹣x2+bx+c，
，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n，把A（0，3）和B（，）代入，
，
解得，
∴直线AB的解析式为yx+3，
当y＝0时，x+3＝0，
解得：x＝2，
∴C点坐标为（2，0），
∵PD⊥x轴，PE∥x轴，
∴∠ACO＝∠DEP，
∴Rt△DPE∽Rt△AOC，
∴，
∴PEPD，
∴PD+PEPD，
设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则D点坐标为（a，a+3），
∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（a+3）＝﹣（a）2，
∴PD+PE（a）2，
∵0，
∴当a时，PD+PE有最大值为；
（3）①当△AOC∽△DPA时，
∵PD⊥x轴，∠DPA＝90°，
∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，
即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；
②当△AOC∽△DAP时，
此时∠APG＝∠ACO，
过点A作AG⊥PD于点G，
∴△APG∽△ACO，
∴，
设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，m+3），
则，
解得：m，
∴D点坐标为（，1），P点坐标为（，），
综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D点坐标为（，1）．
6．如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，且OB＝2OA．过点A的直线y＝x+4与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥AE于点H．
（1）抛物线的表达式中，a＝ ，b＝ ﹣1 ；
（2）在点P的运动过程中，若PH取得最大值，求这个最大值和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似．
试题分析：（1）根据直线y＝x+2与x轴交于点A，先求出点A的坐标，再根据OB＝2OA求出点B的坐标，将点A、B的坐标代入y＝ax2+bx﹣8得到方程组，解方程组求出a、b的值即可；
（2）过点P作PF⊥x轴交直线y＝x+4于点F，由（1）得抛物线的表达式为，设，到得PF关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质求出PH的最大值以及此时点P的坐标；
（3）作PG⊥x轴于点G，则∠PGA＝90°，先证明∠BAP＝∠BAE＝45°，再求出AP、AE的长；A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似分两种情况，一是∠AQP＝∠ABE时，△AQP∽△ABE，二是∠AQP＝∠ABE时，△AQP∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例求出AQ的长，再转化为点Q的坐标．
答案详解：解：（1）直线y＝x+4，当y＝0时，则x+4＝0，解得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），OA＝4，
∴OB＝2OA＝8，
∴B（8，0），
把A（﹣4，0），B（8，0）代入y＝ax2+bx﹣8，
得，
解得，
所以答案是：，﹣1；
（2）如图1，过点P作PF⊥x轴交直线y＝x+4于点F，
由（1）得抛物线的表达式为yx2﹣x﹣8，
设P（x，x2﹣x﹣8）（0＜x＜8，则F（x，x+4），
∴PF＝（x+4）﹣（x2﹣x﹣8x2+2x+12）（x﹣4）2+16，
当x＝4时PF取得最大值，且最大值为16，
此时，
∵42﹣4﹣8＝﹣8，
∴点P的坐标为（4，﹣8），
∴当x＝4时，PH的最大值为，此时点P的坐标为（4，﹣8）；
（3）如图2，作PG⊥x轴于点G，则∠PGA＝90°，G（4，0），
∴AG＝PG＝8，
∴∠BAP＝∠BAE＝45°，
∵yAE＝x+4抛物线yx2﹣x﹣8，
∴E（12，16），
∴，
当∠AQP＝∠ABE时，△AQP∽△ABE，
∴，
∵AB＝8﹣（﹣4）＝12，
∴AQ6，
∴xQ＝﹣4+6＝2，
∴Q（2，0）；
如图3，当∠APQ＝∠ABE时，△APQ∽△ABE，
∴，
∴，
∴xQ＝﹣4，
∴，
综上所述，点Q的坐标为（2，0）或．
三．面积关系
7．如图，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B与点C关于该抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（3，0）及C点．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）当自变量x满足 0≤x≤3 时，一次函数的函数值不大于二次函数的函数值．
（3）在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使S△ACP＝S△ACB？（点P不与点B重合）若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）将点A坐标代入二次函数解析式求出m的值，将x＝0代入抛物线解析式可得点C坐标，由点A，C坐标可得直线解析式．
（2）由抛物线开口方向及直线与抛物线交点坐标求解．
（3）由抛物线对称性求出点B坐标，过点B作BP∥AC交抛物线于点P，求出直线BP解析式，进而求解．
答案详解：解：（1）将（3，0）代入y＝﹣（x﹣2）2+m得0＝﹣1+m，
解得m＝1，
∴y＝﹣（x﹣2）2+1，
将x＝0代入y＝﹣（x﹣2）2+1得y＝﹣3，
∴点C坐标为（0，﹣3），
将（3，0），（0，﹣3）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣3．
（2）由图象可得图象在A，C之间的部分抛物线在直线上方，
∴0≤x≤3时，一次函数的函数值不大于二次函数的函数值
所以答案是：0≤x≤3．
（3）存在，理由如下，
∵点B与点C关于该抛物线的对称轴对称，
∴点B坐标为（4，﹣3），
过点B作BP∥AC交抛物线于点P，连接AP，CP，
设直线BP解析式为y＝x+b，
将（4，﹣3）代入y＝x+b得﹣3＝4+b，
解得b＝﹣7，
∴直线BP解析式为y＝x﹣7，
令﹣（x﹣2）2+1＝x﹣7，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
将x＝﹣1代入y＝x﹣7得y＝﹣8，
∴点P坐标为（﹣1，﹣8）．
8．如图，抛物线y＝ax2+x+c交y轴于点A（0，2），交x轴于点B（﹣1，0）及点C．
（1）填空：a＝ ﹣1 ，c＝ 2 ，点C的坐标为 （2，0） ；
（2）把△ABO逆时针旋转90°得△A′B'O'（其中点A与A′，B与B′分别是对应点），当△A′B'O'恰好有两点落在抛物线上时，求点A的坐标；
（3）点P（m，n）是位于x轴上方抛物线上的一点，△PAB的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，△PBC的面积记为S3，若满足S1+S2＝S3，求m的值．
试题分析：（1）用待定系数法求解即可得出答案；
（2）画出图形，由旋转的性质及抛物线的对称性质可求出答案；
（3）连接BP交y轴于点M，过P点作PE⊥x轴，交AC于N，则E（m，0），求出BP和AC的解析式，根据S1+S2＝S3得出方程，解方程可得出答案．
答案详解：解：（1）将A（0，2），B（﹣1，0）代入y＝ax2+x+c得，
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
当y＝0时，即﹣x2+x+2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
∵点C在正半轴，
∴点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（﹣1，0）；
所以答案是：﹣1，2，（2，0）；
（2）如图所示，
由（1）知，OB＝1，OA＝OC＝2，
∴A'B'，
∵△AOB绕点M逆时针方向旋转90°，
①当A1、O1在抛物线上时，A1O1∥x轴且A1O1＝AO＝2，
根据抛物线的对称性得A'点的横坐标为1，
∴A'（，）；
②当A1、B1在抛物线上时，不存在．
∴A'（，）；
（3）连接BP交y轴于点M，过P点作PE⊥x轴，交AC于N，则E（m，0），
∴S1＝S△PAB＝S△ABM+S△PAM，S2＝S△PAC＝S△PAN+S△PNC，
设直线BP为y＝kx+t，将B（﹣1，0），P（m，﹣m2+m+2）代入得，
，
解得：，
∴y＝（2﹣m）x+2﹣m，
当x＝0时，y＝2﹣m，
∴M（0，2﹣m），
设直线AC为y＝lx+s，
将A（0，2），C（2，0）代入得，
，
解得，
∴y＝﹣x+2，
当x＝m时，y＝﹣m+2，
∴N（m，2﹣m），
∴S△ABMAM•OB，
S△PAMAM•OE，
S△PANOE•PN，
S△PNC，
S△PBCPE•BC，
∴S1+S2，
∴，
解得：m或；
故m的值为或．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；
（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
试题分析：（1）根据OA＝OC，可求c；再依据对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），可求a、b，即得求抛物线解析式．
（2）可求△BOC的面积，根据S△POC＝4S△BOC，可求P点坐标．
（3）求出直线AC解析式，设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），则点D（m，m2+2m﹣3），根据二次函数的最值求法，可求QD的最大值．
答案详解：解：（1）令x＝0，则y＝c，
∴OC＝﹣c，
∵OA＝OC，
∴3＝﹣c，即c＝﹣3．
∵对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），
根据题意得：，
解之：．
∴抛物线解析式y＝x2+2x﹣3．
（2）当x＝0时，y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3），即OC＝3，
∵A，B关于对称轴对称，
∴B（1，0），即OB＝1，
∴S△BOCOB×OC，
设P（x，x2+2x﹣3），
∴S△POC3×|x|，
∵S△POC＝4S△BOC，
∴|x|＝4，
∴x＝±4，
∴P（4，21），（﹣4，5）．
（3）∵点A（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴直线AC解析式y＝﹣x﹣3，
∴设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），
则点D（m，m2+2m﹣3），
∴QD＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣（m）2，
∴当m时，QD的最大值为 ．
四．等腰三角形
10．如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）求出B、C点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（2，t），分别求出MP＝|t﹣1|，MC＝2，CP，再分三种情况讨论：①当MP＝MC时，②当MP＝CP时，|③当MC＝CP时，分别求出t的值即可求解．
答案详解：解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0），
将C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴M（2，1），对称轴为直线x＝2，
设P（2，t），
∴MP＝|t﹣1|，MC＝2，CP，
①当MP＝MC时，|t﹣1|＝2，
∴t＝21或t＝﹣21，
∴P（2，21）或（2，﹣21）；
②当MP＝CP时，|t﹣1|，
解得t，
∴P（2，）；
③当MC＝CP时，2，
解得t＝1（舍）或t＝﹣7，
∴P（2，﹣7）；
综上所述：P点坐标为（2，21）或（2，﹣21）或（2，）或（2，﹣7）．
11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）D是对称轴上一点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，直接写出点D的坐标．
试题分析：（1）由对称轴可求b＝2，再将A点代入y＝﹣x2+2x+c，可求抛物线的解析式；
（2）设D（1，t），由题意分两种情况讨论：①当AC＝AD时，D（1，）；②当CD＝AD时，D（1，1）．
答案详解：解：（1）∵对称轴为直线x＝1，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+c，
将点A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c，
∴﹣1﹣2+c＝0，
∴c＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3）；
（2）设D（1，t），
①当AC＝AD时，，
解得t＝±，
∵D点在第一象限内，
∴t，
∴D（1，）；
②当CD＝AD时，，
解得t＝1，
∴D（1，1）；
综上所述：D点坐标为（1，）或（1，1）．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若△PQD≌△BED，求m的值；
（3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式；
（2）由待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8），设P（m，m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），根据全等三角形的性质列出关于m的方程可得出答案；
（3）分三种情况：①当MB＝MD时，②当MB＝BD时，③当MD+BD时，由两点间的距离公式列出关于m的方程可得出答案．
答案详解：解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为yx2x+8；
（2）∵抛物线的解析式为yx2x+8，
令x＝0，y＝8，
∴C（0，8），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8），
设P（m，m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），
∴BD（8﹣m），
又PDm+8﹣（﹣m+8）m，
∵△PQD≌△BED，
∴PD＝BD，
∴（8﹣m）m，
解得，m1＝3，m2＝8（舍去），
∴m的值为3；
（3）由（2）可知直线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，
当y＝0时，x＝3，
∴M（3，0），
当x＝0时，y＝3，
∴N（0，3），
由题意得PD⊥MB，
∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），
∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，
若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：
①当MB＝MD时，
∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，
解得m1＝3，m2＝3，
②当MB＝BD时，
∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，
解得，m1＝3（舍去），m2＝8（舍去），
③当MD+BD时，
∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，
解得，m＝5.5．
综上所述，m的值为3或3或5.5时，△BMD是等腰三角形．
13．如图，直线y＝x+4与x轴交于A点，与y轴交于C点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点为B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一动点P，过点P作PD⊥x轴于点D，使得以点B、P、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）先由直线y＝x+4与x轴交于A点，与y轴交于C点求出点A和点C的坐标，再将点A、点C的坐标代入y＝﹣x2+bx+c列方程组，解方程组求出b，c的值即可；
（2）分两种情况，一是△BPD是等腰直角三角形，点P在x轴的上方，设BP交y轴于点E，根据BP与x轴成45°角求出直线BP的函数表达式且与抛物线的函数表达式组成方程组，解方程组即可求出此时点P的坐标；二是△BPD是等腰直角三角形，点P在x轴的下方，设BP交y轴于点F，根据BP与x轴成45°角求出直线BP的函数表达式且与抛物线的函数表达式组成方程组，解方程组即可求出此时点P的坐标．
答案详解：解：（1）直线y＝x+4，当y＝0时，则x+4＝0，
解得x＝﹣4；
当x＝0时，y＝4，
∴A（﹣4，0），C（0，4），
把（﹣4，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣3x+4．
（2）存在，
抛物线y＝﹣x2﹣3x+4，当y＝0时，则﹣x2﹣3x+4＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），
设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，
如图1，△BPD是等腰直角三角形，点P在x轴的上方，设BP交y轴于点E，
∵PD⊥x轴于点D，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DBP＝∠DPB＝45°，
∵∠BOE＝90°，
∴∠OBE＝∠OEB＝45°，
∴OE＝OB＝1，
∴E（0，1），
把B（1，0），E（0，1）代入y＝mx+n，
得，
解得，
∴直线BP的函数表达式为y＝﹣x+1，
由得，，
∴P（﹣3，4）；
如图2，△BPD是等腰直角三角形，点P在x轴的下方，设BP交y轴于点F，
∵PD⊥x轴于点D，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DBP＝∠DPB＝45°，
∵∠BOF＝90°，
∴∠OBF＝∠OFB＝45°，
∴OF＝OB＝1，
∴F（0，﹣1），
把B（1，0），F（0，﹣1）代入y＝mx+n，
得，
解得，
∴直线BP的函数表达式为y＝x﹣1，
由得，，
∴P（﹣5，﹣6），
综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣5，﹣6）．
五．等腰直角三角形
14．如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C（2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）运用待定系数法即可求出答案；
（2）如图，设P（t，t2﹣2t+6），则D（t，t+6），E（﹣t﹣4，t2﹣2t+6），进而可得：PDt2﹣2t+6﹣（t+6）t2﹣3t，PE＝|t﹣（﹣t﹣4）|＝|2t+4|，根据PD＝PE，建立方程求解即可得出答案．
答案详解：解：（1）∵直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣6，0），B（0，6），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣6，0），B（0，6），C（2，0）三点，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式yx2﹣2x+6；
（2）存在点P使△PDE为等腰直角三角形．
如图，设P（t，t2﹣2t+6），则D（t，t+6），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，PE∥x轴交抛物线于点E，
∴E（﹣t﹣4，t2﹣2t+6），
∴PDt2﹣2t+6﹣（t+6）t2﹣3t，PE＝|t﹣（﹣t﹣4）|＝|2t+4|，
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，
∴PD＝PE，
∴t2﹣3t＝|2t+4|，
解得：t＝﹣5±或t＝﹣4或t＝2，
∵点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，
∴﹣6＜t＜0，
∴t＝﹣5或﹣4，
∴P1（﹣4，6），P2（﹣5，﹣5+3）．
15．抛物线与x轴交于A、B两点，其中点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴为直线x＝1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是x轴上方抛物线上任意一点，点Q在直线x＝﹣1上，△BPQ能否成为以∠BPQ为直角的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
试题分析：（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），由对称轴可得b＝﹣2a，再将点B（3，0），点C（0，3）代入抛物线解析式即可求解；
（2）过点P作x轴垂线交于M，过点P作直线x＝﹣1的垂线交于点N，能证明△PQN≌△PBM（AAS），设P（t，﹣t2+2t+3），则可得t+1＝﹣t2+2t+3，即可求P（2，3）．
答案详解：解：（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵对称轴为直线x＝1，
∴1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
将点B（3，0），点C（0，3）代入得，
，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）△BPQ能成为以∠BPQ为直角的等腰直角三角形，理由如下：
过点P作x轴垂线交于M，过点P作直线x＝﹣1的垂线交于点N，
∵∠QPB＝90°，
∴∠BPM+∠QPM＝90°，∠NPQ+∠QPM＝90°，
∴∠NPQ＝∠BPM，
∵PQ＝PB，
∴△PQN≌△PBM（AAS），
∴PM＝PN，
设P（t，﹣t2+2t+3），
∴t+1＝﹣t2+2t+3，
解得t＝﹣1（舍）或t＝2，
∴P（2，3）．
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣4），点A的坐标为（﹣1，0），P为直线BC下方抛物线上一点，连接PC，PB．
（1）求抛物线的解析式．
（2）△CPB的面积是否有最大值？如果有，请求出最大值和此时点P的坐标；如果没有，请说明理由．
（3）Q为y轴右侧抛物线上一点，D为对称轴上一点，若△CQD是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标．
试题分析：（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）证明△EQC≌△FDQ（AAS），则CE＝QF，进而求解．
答案详解：解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵顶点坐标为（1，﹣4），
∴y＝a（x﹣1）2﹣4．
将点A（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）有最大值，如图1，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交BC于点K．
将y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴点B的坐标为（3，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵点C的坐标为（0，﹣3），点B的坐标为（3，0），
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则点K的坐标为（m，m﹣3），
∴PK＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）．
过点C作CN⊥PK于点N．
∵，
∴，
故当时，△CPB的面积有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为；
（3）如图2，过点Q作x轴的平行线，分别交y轴、对称轴于点E，F，
设点Q的坐标为（a，a2﹣2a﹣3）．
∵∠CQE+∠DQF＝∠DQF+∠QDF＝90°，
∴∠CQE＝∠FDQ．
在△EQC和△FDQ中，
∴△EQC≌△FDQ（AAS），
∴CE＝QF．
∵CE＝﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+2a，QF＝1﹣a，
∴1﹣a＝﹣a2+2a，
解得（此时点Q在对称轴的右侧），（此时点Q在对称轴的左侧），
∴点Q的坐标为或．
六．综合类
17．如图，点A（4，3），二次函数yx2+x+3的图象顶点为B，与y轴交于点C，连接AC，过点A作AD⊥x轴于点D，点E是线段AC上的动点（点E不与A、C两点重合）．
（1）直接写出顶点B和点C的坐标；
（2）若直线BE将四边形ACOD分成周长相差为4的两个四边形，求点E的坐标；
（3）如图，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F也恰好落在二次函数的图象上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）由y（x﹣2）2+4，可求顶点坐标，再令x＝0，可求C点坐标；
（2）设BE与x轴交于点F，设E（t，3），求出直线BE的解析式，可求F（4t﹣6，0），当四边形COFE的周长比四边形EFDA的周长大4时，CE+OF﹣AE﹣FD＝4，此时E（，3）；当四边形COFE的周长比四边形EFDA的周长小4时，AE+FD﹣CE﹣OF＝4，此时E（，3）；
（3）过点F作MN∥y轴，过点C作NC⊥MN交于N点，过点G作GM⊥MN交于M点，设E（t，3），分别证明△AED≌△MGF（AAS），△EFN≌△DGO（AAS），△NEF∽△MFG，从而求出F（t﹣4，t），再将点F代入yx2+x+3，求出E（，3），则可求AE的长．
答案详解：解：（1）∵yx2+x+3（x﹣2）2+4，
∴B（2，4），
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3）；
（2）设BE与x轴交于点F，
∵A（4，3），C（0，3），
∴AC＝4，OC＝3，
设E（t，3），
∴CE＝t，AE＝4﹣t，
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx，
∴F（4t﹣6，0），
∴OF＝4t﹣6，FD＝4﹣4t+6＝10﹣4t，
当四边形COFE的周长比四边形EFDA的周长大4时，
∴CE+OF﹣AE﹣FD＝4，
∴t﹣（4﹣t）+4t﹣6﹣10+4t＝10t﹣20＝4，
解得t，
∴E（，3）；
当四边形COFE的周长比四边形EFDA的周长小4时，
∴AE+FD﹣CE﹣OF＝4，
∴（4﹣t）+10﹣4t﹣t﹣（4t﹣6）＝4，
解得t，
∴E（，3）；
综上所述：E点坐标为（，3）或（，3）；
（3）存在点G落在y轴上的同时点F也恰好落在二次函数的图象上，理由如下：
过点F作MN∥y轴，过点C作NC⊥MN交于N点，过点G作GM⊥MN交于M点，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠FED＝∠EFG＝90°，
∵∠NEF+∠AED＝90°，∠NEF+∠NFE＝90°，
∴∠NEF＝∠EDA，
∵∠NFE+∠MFG＝90°，∠NFE+∠NEF＝90°，
∴∠MFG＝∠NEF，
∴∠MFG＝∠EDA，
∵ED＝FG，
∴△AED≌△MGF（AAS），
∴AE＝MG，AD＝FM，
设E（t，3），
∴AE＝4﹣t＝MG，AD＝3＝FM，
同理△EFN≌△DGO（AAS），
∴NF＝OG，NE＝OD，
∵OD＝4，
∴NE＝4，
∴F点横坐标为t﹣4，
∵△NEF∽△MFG，
∴，即，
∴NF（4﹣t），
∴F（t﹣4，t），
∵F点在抛物线上，
∴t（t﹣4）2+t﹣4+3，
解得t＝4或t，
∴E（，3），
∴AE＝4．
18．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，﹣3），已知AB＝4，对称轴在y轴左侧．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点N在对称轴上，则抛物线上是否存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，且S△PBC，请直接写出点P的坐标．
试题分析：（1）由题意得抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3，设A（x1，0），B（x2，0），由题意得x2﹣x1＝4，得出b2+12＝16，求出b＝2，则可得出答案；
（2）分两种情况：①若OA为边，②若OA为对角线时，由平行四边形的性质可得出答案；
（3）由待定系数法求出直线BC的解析式为y＝3x﹣3，过点O作OP∥BC交抛物线于P，则S△OBC＝S△PBC，直线OP的解析式为y＝3x，联立直线和抛物线的解析式，解方程组可得出答案．
答案详解：解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交y轴于点C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3，
设A（x1，0），B（x2，0），
由题意得x2﹣x1＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，
∴b2+12＝16，
∴b＝±2，
又∵对称轴在y轴左侧，
∴b＝2，
∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形．
∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴y＝0时，x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
①若OA为边，
∴AO∥MN，OA＝MN＝3，
∵N在对称轴x＝﹣1上，
∴点M的横坐标为2或﹣4，
当x＝2时，y＝5，当x＝﹣4时，y＝5，
∴M（2，5）或（﹣4，5）；
②若OA为对角线时，
∵A（﹣3，0），O（0，0），
∴OA的中点的坐标为（，0），
∵N在直线x＝﹣1上，
设M的横坐标为m，
∴，
∴m＝﹣2，
把m＝﹣2代入抛物线解析式得y＝﹣3，
∴M（﹣2，﹣3）．
综上所述，M的坐标为（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）；
（3）∵B（1，0），C（0，﹣3），
∴S△OBC，
∴S△OBC＝S△PBC，
设BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3，
过点O作OP∥BC交抛物线于P，则S△OBC＝S△PBC，直线OP的解析式为y＝3x，
∴，
解得，，
∴P（，）或（，）．