山东省济南市东南片区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

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一、选择题
二、填空题
11． 12． 13．-6 14．40 15．
三、解答题
16．解方程： （1）x2﹣6x+6＝0
解：x2﹣6x＝-6
x2﹣6x+9＝-6+9
（x﹣3）2＝3 …………………………………………2分
x﹣3=
∴x1=3+，x2=3- …………………………………………4分
（2） x（2x﹣5）＝4x﹣10
解： x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）
x（2x﹣5）-2（2x﹣5）=0
（2x﹣5）（x﹣2）=0 …………………………………………2分
2x﹣5=0或x﹣2=0
∴x1=，x2=2 …………………………………………4分
17．证明：∵四边形ABCD是菱形
∴CD=BC …………………………………………1分
∵DE＝BF
∴CD-DE=BC-BF
即 CE=CF …………………………………………3分
∵∠C=∠C …………………………………………4分
∴△BCE≌△DCF …………………………………………5分
∴BE＝DF …………………………………………6分
其它证法请酌情赋分
18．解：（1）位似作图如下：
…………………………………………2分
A1（﹣1，4）；C1（5，﹣2）． …………………………………………4分
P (0，2) …………………………………………6分
（3）根据坐标的特点，作图如下：
则中位线DE即为所求作． …………………………………………8分
(注意：本题作法较多，答案不唯一)
19．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB， …………………………………………1分
∴180°−∠ABC＝180°−∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE， …………………………………………3分
∵∠D＝∠CAE．
∴△ABD∽△ECA； …………………………………………4分
（2）解：∵AB＝AC，AC＝6，
∴AB＝AC＝6， …………………………………………5分
∵△ABD∽△ECA，
∴BDCA=ABEC， …………………………………………6分
∴BD6=64，
∴BD＝9． …………………………………………8分
20．解：解：（1）50名，m=18； …………………………………………2分
（2）
……………………………………4分
（3）72 …………………………………………6分
（4）10+950×1200=456（人），
答：该校学生中每天健身活动总时长不低于1小时的人数约为456人。 ………………………8分
21．解：如图，过点C作CH⊥AB于点H， …………………………………………1分
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米，
∴∠DCH＝90°，
∵∠ACD＝135°，
∴∠ACH＝45°，
在Rt△ACH中，∠CAH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH+BH＝BD+0.5． …………………………………………2分
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°． …………………………………………3分
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG， …………………………………………5分
∴，
即， ………………6分
解得：BD＝17.5， ………………7分
∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．
答：这棵古树的高AB为18m．…………………………………………8分
（其它方法请酌情等价赋分）
22．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， ……………………………………1分
将（1，110），（3，130）代入y＝kx+b得：110=k+b130=3k+b， …………………………………3分
解得：k=10b=100， …………………………………4分
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100； …………………………………5分
（2）根据题意得：（60﹣x﹣40）（10x+100）＝1760， …………………………………7分
整理得：x2﹣10x﹣24＝0，
解得：x1＝12，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）， ………………………………9分
∴60﹣x＝60﹣12＝48．
答：这种排球每个的实际售价是48元． …………………………………10分
23．解：（1）∵动点P从点C出发，沿CA方向向点A运动，点P的速度是2cm/s，
∴CP＝2t cm，
∵动点Q从点B出发，沿线段BC方向向点C运动，点Q的速度是1cm/s，
∴BQ＝t cm，
∴CQ＝（8﹣t）cm。 …………………………………………1分
∵四边形APQB的面积是△CPQ面积的2倍，AC=12，BC=8，
∴S△CPQ= 13S△ABC = 13×12×12×8=16，
∴12×CP×CQ=16，
即：12×2t ×（8﹣t）=16，
解得：t1＝t2＝4 。
∴t为4秒时，四边形APQB的面积是△CPQ面积的2倍 …………………………………………4分
（2）∠C＝∠C＝90°，
①当∠CPQ＝∠CAB时，△CPQ∽△CAB，
∴，
∴， …………………………………………6分
解得：t＝； …………………………………………7分
②当∠CPQ＝∠CBA时，△CPQ∽△CBA，
∴，
∴ …………………………………………9分
解得：t＝2。
综上所述，当t为或2时，△CPQ中有一个内角与∠A相等。……………10分
24．解：（1）当y＝6时，3x＝6，
解得：x＝2，
∴点P的坐标为（2，6）．分
将P（2，6）代入 得 ，解得k＝12，
∴反比例函数表达式为 ；分
（2）∵
∴设PB=3n，则BM=2n
∴M（2+2n，6﹣3n）分
将M（2+2n，6﹣3n）代入得：
（2+2n）（6﹣3n）＝分
解得：n1＝0（舍），n2＝1，分
∴M（4，3）分
（3）
法一：如图所示过N点作NQ//y轴交MP的延长线于Q点
设PM的表达式为y=ax+b
代入P（2，6）、M（4，3）得
解得：
∴PM的表达式为
设N点坐标（t，3t）
则Q点坐标（t，）
∴QN=分
∵△PMN的面积为3
∴
∴分
解得：
将代入y＝3x得：y=4
所以N点坐标为：分
由中点坐标公式可得另外一个N点坐标为分
法二：如图所示过点N作PM的平行线，过点M作x轴的平行线，两直线交于点D
∵△PMN与△PMD同底等高
∴△PMD的面积为3
∴
∴
∴MD=2
∵M（4，3）
∴D（2，3）分
设PM的表达式为y=ax+b
代入P（2，6）、M（4，3）得
解得：
∴PM的表达式为
设ND表达式为
将D（2，3）代入得：b=6
∴ND表达式为分
解，得
所以N点坐标为：分
由中点坐标公式可得另外一个N点坐标为分
（其它方法请酌情赋分）
25．解（1）DE＝CF ………………………………2分
（2）法一：如右图，过点A作AH∥EF，交DG于点M，交BC于点H
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠BAH+∠MAD＝90°
∵EF⊥DG，AH∥EF
∴AH⊥DG ∴∠AMD＝90°，
∴∠ADM+∠MAD＝90°
∴∠ADM=∠BAH …………………………………………4分
∵∠BAD＝∠B
∴△ABH∽△DAG， …………………………………………5分

∵四边形AHFE为平行四边形
∴EF=AH
…………………………………………6分
法二：如图，作EM⊥BC，垂足为M，∠EMF＝∠EMB＝90°
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC，AD∥CB
∴∠DEM＝∠EMB＝90°
∴∠MEF+∠DEN＝90°
∵EF⊥DG，设EF与DG相交于点N
∴∠END＝90°，∴∠EDG+∠DEN＝90°
∴∠EDG＝∠MEF ················································································4分
∵∠BAD＝∠EMF
∴△EMF∽△DAG，················································································5分
∴EFDG＝EMAD
∵四边形ABME为矩形
∴EM=AB
∴EFDG＝ABAD＝34················································································6分
（3）法一：如图3，
过点C作CV⊥AD，交AD的延长线于点V，作BW⊥CV，交VC延长线于点W，
∴∠V＝∠W＝90°，
∵∠DAB＝90°，
∴四边形ABWV是矩形， ……………………………7分
又CE⊥BF，
∴由（2）知：， ……………………………8分
作CH⊥AB，∠ACB=90°，AC=3 ，BC=4，
∴AB＝5，
…………………………………………9分
…………………………………………10分
法二：如图，
作CH⊥AB，垂足为H
∵CE⊥BF，
∴由（2）知：CEBF＝CHAB，···············································································7分
∵∠ACB=90°，AC=3 ，BC=4，
∴AB＝5，···············································································8分
···············································································9分
∴CEBF＝1255＝1225 ···············································································10分
（4）373 …………………………………12分 （其它方法请酌情赋分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
B
C
C
A
D
A
B