寒假(复习课)人教版数学七年级上册专题05 数轴上的行程问题练习（解析版）

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1．（2021·河北唐山市·七年级期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足．
（1）求点A、B所表示的数；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解．
①求线段BC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA＋PB＝BC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点A，B所表示的数分别为﹣2，3；（2）①9；②存在；﹣4或5．
【分析】
（1）由，可得：a＋2＝0且b﹣3＝0，再解方程可得结论；
（2）①先解方程，再利用数轴上两点间的距离公式可得答案；②设点P表示的数为m，所以，再分三种情况讨论：当＜时，（﹣2﹣m）＋（3﹣m）＝9，当时，，当m＞3时，，通过解方程可得答案．
【详解】
解：（1）∵，
∴a＋2＝0且b﹣3＝0，
解得a＝﹣2，b＝3，
即点A，B所表示的数分别为﹣2，3；
（2）① ，


解得x＝﹣6，
∴点C表示的数为﹣6，
∵点B表示的数为3，
∴BC＝3﹣（﹣6）＝3＋6＝9，即线段BC的长为9；
② 存在点P，使PA＋PB＝BC，理由如下：
设点P表示的数为m，

当m＜﹣2时，（﹣2﹣m）＋（3﹣m）＝9，
解得m＝﹣4，
即当点P表示的数为﹣4时，使得PA＋PB＝BC；
当﹣2≤m≤3时，，
故当﹣2≤m≤3时，不存在点P使得PA＋PB＝BC；
当m＞3时，，
解得m＝5，
即当点P表示的数为5时，使得PA＋PB＝BC；
由上可得，点P表示的数为﹣4或5时，使得PA＋PB＝BC．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，数轴上两点之间的距离，绝对值的化简，一元一次方程的解法与应用，分类讨论的数学思想，掌握利用分类讨论解决问题是解题的关键．
【专题训练】
解答题
1．（2021·北京平谷区·七年级期末）阅读下面材料，回答问题
已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．A，B两点之间的距离表示 AB．
（一）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，
（二） 当A，B两点都不在原点时，如图2，点A，B都在原点的右边，
如图3，点A，B都在原点的左边，
如图4，点A，B在原点的两边，
综上，数轴A，B两点的距离
利用上述结论，回答以下几个问题：
（1）数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是x，且点B与点A在原点的同侧， AB＝3，则x＝
（2）数轴上点A到原点的距离是1，点B表示的数绝对值是3，则AB＝
（3）若点A、B在数轴上表示的数分别是－4、2，设P在数轴上表示的数是x，当时，直接写x的值
【答案】（1）4；（2）2或4；（3）3或-5
【分析】
（1）根据两点之间距离公式列出绝对值方程求解即可；
（2）先求得A和B表示的数，再利用两点之间的距离公式分情况计算即可；
（3）根据两点之间的距离公式列出绝对值方程，分和和三种情况讨论求解即可．
【详解】
解：（1）根据两点之间的距离公式，
，
即或，
解得或，
又因为点B与点A在原点的同侧，
所以，
故答案为：4；
（2）根据题意点A表示的数为1或-1，点B表示的数为3或-3，
因为，
所以AB＝2或AB＝4，
故答案为：2或4；
（3），
，
即，
当时，
，
即，
解得；
当时，
，
即，
解得，
当时，
，
即，
无解，
x的值是3或-5．
【点睛】
本题考查绝对值方程，数轴上两点之间距离公式，一元一次方程的应用．能读懂题意，掌握两点之间距离公式是解题关键．
2．（2021·辽宁沈阳市·七年级期末）如图，在数轴上点为表示的有理数为-8，点表示的有理数为12，点从点出发分别以每秒4个单位长度的速度在数轴上沿由到方向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒4个单位长度的速度运动至点停止运动．设运动时间为（单位：秒）．
（1）当时，点表示的有理数是______；
（2）当点与点重合时，______；
（3）①在点由点到点的运动过程中，点与点的距离是______，点表示的有理数是______（用含的代数式表示）；
②在点由点到点的运动过程中，点与点的距离是______（用含代数式表示）；
（4）当______时，．
【答案】（1）-4；（2）5；（3）①；；②；（4）3或7．
【分析】
（1）先计算出当时点移动的距离，进一步即得答案；
（2）先求出点与点重合时点P移动的距离，再根据路程、速度与时间的关系求解；
（3）①根据距离=速度×时间即可得出点与点的距离，然后用﹣8加上这个距离即为点表示的有理数；
②用2AB的长减去点P移动的距离即为点与点的距离，据此解答即可；
（4）分两种情况：当点由点到点运动时与点由点到点运动时，分别列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）当时，点移动的距离是4×1=4个单位长度，点P表示的有理数是﹣8+4=﹣4；
故答案为：﹣4；
（2）当点与点重合时，点P移动的距离是12－（﹣8）=20，20÷4=5秒，
故答案为：5；
（3）①在点由点到点的运动过程中，点与点的距离是，点表示的有理数是；
故答案为：；；
②由2AB的长减去点P移动的距离即为点与点的距离，AB=12－（﹣8）=20，
在点由点到点的运动过程中，点与点的距离是；
故答案为：；
（4）当点由点到点运动时，4t=12，解得t=3；
当点由点到点运动时，40－4t=12，解得t=7；
综上，当t=3或7时，AP=12．
【点睛】
本题以数轴为载体，主要考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
3．（2021·河北唐山市·七年级期末）如图，在数轴上点表示的有理数为-6，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒4个单位长度的速度在数轴上由向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒4个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为（单位：秒）．
（1）求时，点表示的有理数是______；
（2）当点与点重合时，______；
（3）在点沿数轴由点到点再回到点的运动过程中，求点与点的距离（用含的代数式表示）；
（4）当点表示的有理数与原点的距离是2个单位长度时，请直接写出所有满足条件的值．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，点与点的距离为4t，时，点与点的距离为；（4）1，2，4，5
【分析】
（1）根据P点的速度，有理数的加法，可得答案；
（2）根据两点间的距离公式，可得AB的长度，根据路程除以速度，可得时间；
（3）根据情况分类讨论：，，速度乘以时间等于路程，可得答案；
（4）根据绝对值的意义，可得P点表示的数，根据速度与时间的关系，分四种情况求解可得答案．
【详解】
解：（1）当t=1时
P运动的距离为

故P表示的有理数是-2
（2）当点与点重合时
P运动的距离为

故
（3）点沿数轴由点到点再回到点的运动过程中，点与点的距离分为两种情况：
当点到达点前时，即时，
点与点的距离是；
当点到达点再回到点的运动过程中，即时，
点与点的距离是：；
由上可知：
当时，点与点的距离是
当时，点与点的距离是
（4）的值为1秒或2秒或4秒或5秒
当点表示的有理数与原点（设原点为）的距离是2个单位长度时，点表示的数是-2或2，
则有以下四种情况：
当由点到点，点P在O点左侧时：，即：，；
当由点到点，点P在O点右侧时：，即：，；
当由点B到点，点P在O点右侧时：，即：，；
当由点B到点，点P在O点左侧时：，即：，
故的值为1秒或2秒或4秒或5秒
【点睛】
此题考查数轴，列代数式，解题关键在于掌握数轴的特征，根据题意结合数轴分情况求解
4．（2021·前郭尔罗斯蒙古族自治县海勃日戈镇中学七年级期末）如图所示，数轴的原点为是数轴上的三点，点B对应的数为1，，动点分别从同时出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒．
（1）求点对应的数；
（2）求点对应的数（用含t的式了表示出来）；
（3）当t何值时，？
【答案】（1）点A对应的数是−5，点C对应的数是3；（2）点P对应的数是−5＋2t，点Q对应的数是3＋t；（3）当t为或8时，OP＝OQ．
【分析】
（1）根据点B对应的数为1，AB＝6，BC＝2，利用数轴上两点间的距离即可求解；
（2）根据动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒2个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动，表示出移动的距离，即可得出对应的数；
（3）分两种情况讨论：当点P与点Q在原点两侧时和当点P与点Q在同侧时，根据OP＝OQ，分别列出方程，求出t的值即可．
【详解】
解：（1）∵点B对应的数为1，AB＝6，BC＝2，
∴点A对应的数是1−6＝−5，点C对应的数是1＋2＝3；
（2）∵动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒2个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动，
∴点P对应的数是−5＋2t，点Q对应的数是3＋t；
（3）①当点P与点Q在原点两侧时，若OP＝OQ，则5−2t＝3＋t，
解得：t＝；
②当点P与点Q在同侧时，若OP＝OQ，则−5＋2t＝3＋t，
解得：t＝8；
当t为或8时，OP＝OQ．
【点睛】
此题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，在计算时（3）要注意分两种情况进行讨论．
5．（2021·中卫市第二中学七年级期末）数学冲浪，你能行！
已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n-m3n2-m-2的次数，c是单项式-2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）a的值为 ，b的值为 ，c的值为 ．
（2）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求：
①运动多少秒后，点Q可以追上点P？
②运动多少秒后，点P、Q到点C的距离相等？
【答案】（1）-1；5；-2；（2）①4秒；②秒或秒．
【分析】
（1）理解多项式和单项式的相关概念，能够正确画出数轴，正确在数轴上找到所对应的点；
（2）①求出A、B间的距离，然后根据追及问题列式计算求解；
②根据数轴上两点间的距离公式列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵a是最大的负整数，
∴a=-1，
∵b是多项式2m2n-m3n2-m-2的次数，
∴b=3+2=5，
∵c是单项式-2xy2的系数，
∴c=-2，
如图所示：
故答案是：-1；5；-2；
（2）①∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，
∴AB=5-（-1）=6，两点速度差为：2-=，
∴6÷=4，
答：运动4秒后，点Q可以追上点P．
②设运动时间为秒，则P对应的数是-1-，Q对应的数是5-，
∴PC= ，QC= ．
∵点P、Q到点C的距离相等，
∴=，
∴或，
∴或
∴运动秒或秒后，点P、Q到点C的距离相等．
【点睛】
此题主要考查了数轴有关计算以及单项式和多项式问题，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键．