2023~2024学年山东省菏泽市巨野县九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省菏泽市巨野县九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分）
1. 如图，是物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的（ ）
A. 三角形相似的判定定理B. 三角形相似的性质定理
C. 三角形全等的性质定理D. 三角形全等的判定定理
【答案】B
【解析】物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的三角形相似的性质定理及相似三角形的对应边成比例，
故选：B．
2. 如图，要使，需要具备的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，
得出添加的条件是：，
∴.
故选：C．
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A. （﹣3，﹣1）B. （﹣1，2）
C. （﹣9，1）或（9，﹣1）D. （﹣3，﹣1）或（3，1）
【答案】D
【解析】∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．
故选：D．
4. 在等腰中，，，则等于（ ）
A. B. 或C. 或D.
【答案】C
【解析】如图BC为底，过A作AD⊥BC，
∵等腰中，AB=AC=8，AD⊥BC，
∴BD=CD=，
∴；
如图BC为腰，过C作CE⊥AB于E，
∵等腰中， BC=AC=10，CE⊥AB，
∴BE=AE=，
∴，
综合或．
故选C．
5. 如图,将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，，，那么的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，
∴，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6. 下列命题中正确的命题有（ ）个.
（1）等弧所对的圆周角相等．
（2）过圆心与弦所对一条弧的中点的直线必垂直于这条弦
（3）同弦所对的圆周角相等
（4）相等的圆心角所对的弧相等．
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】（1）等弧所对的圆周角相等，正确；
（2）过圆心与弦所对一条弧的中点的直线必垂直于这条弦，正确；
（3）同弦所对的圆周角相等，错误；
（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本项说法错误；
正确的命题有2个，
故选：B．
7. 如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACB的度数是（ ）

A. 28°B. 30°C. 31°D. 32°
【答案】C
【解析】连接OB，如图，
∵AB为圆O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-28°=62°，
∴∠ACB=∠AOB=31°．

故选C．
8. 如图，在正方形中,点O是对角线，过点O作射线分别交，CD于点E、F,且,,交于点G,给出下列结论：①；②；③；④正方形的面积是四边形面积的4倍．其中正确的有（ ）
A. ①②④B. ①②③④C. ①④D. ①③④
【答案】B
【解析】∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故结论①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故结论②正确；
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
在中，由勾股定理得，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故结论③正确；
∵四边形为正方形，
∴正方形的面积是面积的4倍，
∵，
∴正方形的面积是四边形面积的4倍，
故结论④正确．
综上所述，正确的有①②③④．
故选：B．
二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）
9. 在ΔABC中，若、满足，则ΔABC为________三角形．
【答案】直角
【解析】∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
10. 下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式，求的值，即．试用公式，求出的值是_____．
【答案】
【解析】，
，
故答案为：．
11. 已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围__________．
【答案】
【解析】∵的半径是6，点O到直线l的距离为d，
∴直线l与相切或相交，
∴．
故答案为：．
12. 如图,在四边形ABCD中,,，其中，那么______．
【答案】75°
【解析】
设，则
由题意得,
,
,,
,
故答案为：75°．
13. 如图，已知的直径，弦垂直平分，点是上一个动点（不与点A重合），连接，于点F，连接，则线段的最小值为 _______．

【答案】
【解析】∵连接，，，，取中点M，连接，

∵垂直平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵M是中点，
∴垂直平分，
∴过圆心O，
∵，
∴F在以为直径的圆上，
∵以为直径的圆的圆心是M，
∴的最小值是与的差，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴的最小值是．
故答案为：．
14. 若，并且面积的比为，则它们的周长的比为________．
【答案】
【解析】∵，并且面积的比为，
∴它们的相似比为，
∴它们的周长的比为．
故答案为：．
三、解答题（本题共计8小题，共计72分）
15. 求下列各式的值
（1）；
（2）．
解：（1）
=；
（2）
=．
16. 如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）
解：由题意，，，
∴，
∴．
∴米．
在中，，米，
∴米．
答：灯塔P到环海路的距离约等于346米．
17. 已知为的直径，弦，求证：．
证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵弦，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AC是⊙O的弦，BC交⊙O于点D，作∠BAC的外角平分线AE交⊙O于点E，连接DE．求证：DE＝AB．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴，
∵AE平分∠FAC，
∴，
∴∠FAE＝∠B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵AE∥BC，
∴四边形ABDE平行四边形，
∴DE＝AB．
19. 已知：如图在菱形中，点E、F分别在边、上，，的延长线交的延长线于点H．求证：．
证明：∵四边形菱形，
∴，，
∵，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．
20. 如图，在中，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发；其中点P以的速度沿向终点B移动，点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒．
（1）含x的代数式表示的长度；
（2）x为何值时，为等腰三角形？当和相似时，求此时x的值．
解：（1）∵，
∴，
由运动可知：，∴．
（2）， 为等腰三角形，
，，∴．
∴当时，等腰三角形．
∵，当时，两三角形相似，此时，
解得；
当时，两三角形相似，此时，解得，
综上所述，满足条件的x的值为或．
21. 如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.

(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若∠BAC=60∘，OA=4，求阴影部分的面积(结果保留π).
解：（1）连接OD.
∵BC是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥BC.
又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠ADO=∠CAD.
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠OAD，
∴∠CAD=∠OAD，即AD平分∠BAC.
（2）连接OE，ED.
∵∠BAC=60°，OE=OA，
∴△OAE为等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∴∠ADE=30°.
又∵，
∴∠ADE=∠OAD，
∴ED∥AO， ∴S△AED＝S△OED，
∴阴影部分的面积 = S扇形ODE = .

22. 如图，的直径为10，弦为6，D是的中点，弦和交于点F，且．
（1）求证：；
（2）求的长．
解：（1），
，
，
，
∴；
（2）过B作于点H，连接，
为的直径，
，
是的中点，
∴，
，
，
，
即，
，
∴， ，
，
在等腰直角三角形中， ，
在中， ，
．