2023~2024学年山东省青岛市莱西市三校联考八年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省青岛市莱西市三校联考八年级(上)期中数学试卷(解析版)，共23页。
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，在Rt△ABC中，，
，
设，则，
由勾股定理可得，
，
故选：D．
2. 如图，是的直径，内接于，延长在外相交于点，若，则的度数是（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
3. 如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，若S△DEF＝2，则S△BCF为（ ）
A. 4B. 6C. 9D. 18
【答案】D
【解析】∵AE＝2ED，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD，
∴△EDF∽△CBF，
∴，
∴（ ）2，
∵S△EDF＝2，
∴S△BCF＝18．
故选：D．
4. 如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，则A，C两港之间的距离是（ ）

A. B. 30C. 40D. 50
【答案】D
【解析】如图，

由题意得：，，
∴，
∴，
在中，，
，
∴A，C两港之间的距离为，
故选：D．
5. 如图，在中，点D在线段上，请添加一条件使，则下列条件中不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】在和中，，
要使，只需，或或即可；
当时，
∵，
∴，能使；
综上：只有选项A不能证明；
故选A．
6. 如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边上，若，，则的长度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵是等边三角形；
∴；
过点作的垂线，垂足为；
∴；
∴；
∵；
∴；
∵；
；
∴；
在中，
；
中；
；
∴；
∴；
∴；
∴；
∵；
∴；
故选．

7. 如图，是的直径，，，是上的三点，，点是的中点，点是上一动点，若的半径为，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. ﹣1
【答案】C
【解析】作点关于的对称点，连接、、、，则＋的最小值，
，
，
，
点为的中点，
，
由对称性可得，，
，
是等腰直角三角形，
，即＋的最小值为．
故选C．
8. 如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
即当最小时，有最小值，
∵等边三角形的边长为，为边上一动点，
∴当时，最小，此时，
∴，即的最小值为3，
故选：D．
二．填空题（共6小题，18分）
9. 如图，一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进了25cm，则此时小球水平方向前进的距离是_______cm．
【答案】20
【解析】如图，过作于，
由，
设cm，cm，
由勾股定理得：，
解得，
（cm）．
故答案为：20．
10. 如图，为等边三角形，点D、E分别在边、上，，如果，，那么_________．

【答案】
【解析】为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
故答案：．
11. 如图，湖的旁边有一建筑物，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点处测得建筑物最高点的仰角为，然后沿方向前进12米到达处，又测得点的仰角为．请你帮助该小组同学，计算建筑物的高度约为___________米．（结果精确到1米，参考数据）

【答案】16
【解析】由题意得：，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
（米，
，
解得：，
（米，
建筑物的高度约为16米，
故答案为：16．
12. 如图，是等边三角形，点D，E分别在上，，与相交于点F，是的高，若，则的长等于____．

【答案】
【解析】如图所示，过点E作于H，
∵，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴重合，
中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∵是的高，
∴，
∴，
故答案为：．

13. 如图，已知为的直径，，交于点D，交于点E，．则的度数等于 _______度．

【答案】23
【解析】∵，，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴．
故答案为：23．
14. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，分别以的长为半径作弧，两弧分别交于点，则图中阴影部分的面积为__________．

【答案】
【解析】如图，连接，
，
由题意得：，，
在矩形中，，，
，，，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共10小题，78分）
15. （1）计算：．
（2）计算：．
解：（1）
；
（2）
．
16. 如图，在菱形中，E为边上一点，．
（1）求证：；
（2）若，，求菱形的边长．
证明：（1）四边形是菱形，
，
，
，
；
（2）四边形是菱形，
，
，
，
，
，，
，
为边长，
17. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交射线于点M．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求图中阴影部分的面积．
解：（1）如图，
连接，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线；
（2）∵线段是的直径，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（3）连接交于N，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，平分，
∴，
，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
18. 如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是和．

（1）求的度数；
（2）求该铁塔的高度．（结果精确到米；参考数据：，）
解：（1）延长交直线于点F，则，

依题意得：，，
∴．
（2）设米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
在中，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
即该铁塔的高度约为米．
19. 如图，在中，，点从运动到，且．
（1）求证：；
（2）若，，求当长为多少时，．
证明：（1），，
，
，，
，
∴，
，
．
（2）解：若，
，
又，
∴，
，
，，
，
，
即当时，．
20. 如图，已知在中，，，点D在边上，，连接AD，．
（1）求边的长；
（2）求的值．
解：（1）设，
在中，，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
在，，即，
解得，
经检验，是该分式方程的解．
∴．
（2）如图所示，过点D作于点E，

在中，，
∴，
∵，
由（1）知．
∴，
∴．
21. 某市唐朝古塔（图1）所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度，如图2：在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得米，将标杆沿方向平移米到点处（米）．这时地面上的点，标杆的顶端点，塔尖点正好又在同一直线上，测得米，点与塔底处的点在同一直线上，已知，，．请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
答：此塔的高度有30米．
22. 如图，BC是⊙O直径，点A是⊙O上一点，∠ABC＝22.5°，点D为BC延长线上一点，且AD＝OB．
（1）求证：DA是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F，若⊙O的直径为4，求线段EF的长．
证明：连接OA，
∵∠ABC＝22.5°，
∴∠AOD＝2∠ABC＝45°，
∵OA＝OB，AD＝OB，
∴OA＝AD，
∴∠AOD＝∠D＝45°，
∴∠OAD＝90°，
∴DA是⊙O的切线．
（2）解：∵AE⊥BD，∠AOD＝45°，
∴∠OAE＝∠E＝45°，∠AOE＝90°，
∵直径为4，
∴OA＝OE＝2，
∴AE＝2，
∵OA＝OB，∠ABC＝22.5°，
∴∠OAB＝ABC＝22.5°，
∴∠FAE＝∠OAB+∠OAE＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠AFE＝180°﹣∠FAE﹣∠E＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠FAE，
∴EF＝AE＝2．
23. 在平面直角坐标系中，已知，；点从开始沿以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用，
（1）用含t的代数式表示：线段______ ；________．
（2）当与相似时，求出t的值．
解：（1）由图得：
，；
故答案为：，．
（2）由题意得：
①当时，即：，
．
②当时，即，
．
∴t的值为或．
24. 转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．如图1，已知在中，．请解答下面的问题：
观察猜想：（1）如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则的形状是________；
探究证明：（2）如图2，点D，E分别是边中点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接．
①求证：；
②求的长．
解：（1）如图1，∵绕点按顺时针方向旋转得到
∴为等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）①证明：∵点分别是边的中点，
∵绕点按顺时针方向旋转得到，
②
过点作于点，如图2，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，