江苏省镇江市镇江第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份江苏省镇江市镇江第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x|﹣3≤x＜0}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣2}D．{﹣2，﹣1}
2．（5分）下列各组函数相等的是（ ）
A．f（x）＝x2，B．f（x）＝x﹣1，
C．f（x）＝1，g（x）＝x0D．f（x）＝|x|，
3．（5分）命题“∃x∈R，x+1≥0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x+1＜0B．∀x∈R，x+1＞0
C．∃x∈R，x+1＜0D．∃x∈R，x+1＞0
4．（5分）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）使“a＞b”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．ac2＞bc2
6．（5分）已知函数，若f（a）＝10，则实数a的值是（ ）
A．﹣3或5B．3或﹣3C．5D．3或﹣3或5
7．（5分）若函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1是幂函数，且y＝f（x）在（0，+∞）是单调递减，则f（3）＝（ ）
A．B．C．2D．4
8．（5分）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.25g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型，其中r0为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
A．15次B．16次C．17次D．18次
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是，以下结论正确的有（ ）
A．b＜0B．c＞0C．4a+2b+c＞0D．a2+b+c＞1
（多选）10．（5分）已知函数y＝x2﹣2x+2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（ ）
A．（﹣1，1]B．[0，1]C．D．（1，2]
（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0．若4a+b＝1，则（ ）
A．的最小值为10B．的最小值为9
C．ab的最大值为D．ab的最小值为
（多选）12．（5分）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805～1859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：，则关于函数D（x）有如下四个命题，其中是真命题的为（ ）
A．函数D（x）是偶函数B．函数D（x）是奇函数
C．方程D（x）﹣x3＝0有1个实数根D．对任意x∈R，都有D（D（x））＝1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若﹣1＜a+b＜3，2＜a﹣b＜4，则3a﹣b的取值范围为______．
14．（5分）已知函数且f（2023）＝16，则f（﹣2023）的值为______．
15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，若函数f（x+1）为偶函数，且f（3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为______．
16．（5分）已知函数，若函数y＝f（x﹣3m）有三个不同的零点，则实数m的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）；
（2）．
18．（12分）已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|（x﹣2）（x+3）＞0}．
（1）求集合A；
（2）求A∩B，（∁RA）∪B．
19．（12分）已知函数且f（1）＝3．
（1）证明：f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
（2）若对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数t的取值范围．
20．（12分）杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为v1＝30km/h的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力ΔQ1＝t1×2v1（t1表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为v2＝30﹣10t2的减速运动（t2表示该阶段所用时间）．疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为Q0＝10000kJ，不考虑其他因素，所用时间为t（单位：h），请回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力Q关于时间t的函数Q（t）；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值？最低值为多少？
21．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝﹣x2+4ax+a+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[t，t+4]时，求f（x）的最小值．
22．（12分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”．
（1）设，求h（x）“倒域区间”．
（2）已知定义在[﹣2，2]函数g（x）＝﹣x|x|+2x．
①求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”；
②求函数g（x）在定义域内的所有“倒域区间”．
2023-2024学年江苏省镇江一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x|﹣3≤x＜0}，
则M∩N＝{﹣2，﹣1}．
故选：D．
2．【答案】D
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．
【解答】解：A、B、C选项中f（x）的定义域为R，而A选项g（x）的定义域为[0，+∞），
B、C选项中g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
所以A、B、C选项中两个函数的定义域不一样，不是同一函数，故A、B、C选项都错误；
对于D选项，定义域都为R，解析式，值域都相同，D正确．
故选：D．
3．【答案】A
【分析】存在量词命题的否定，存在变任意，否定结论即可．
【解答】解：因为命题“∃x∈R，x+1≥0”，
所以其否定为：∀x∈R，x+1＜0．
故选：A．
4．【答案】D
【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当x＞0时的单调性，利用排除法进行求解即可．
【解答】解：，则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，
当x＞0时，为增函数，排除A，
故选：D．
5．【答案】D
【分析】根据充分不必要条件的意思和不等式的性质可得答案．
【解答】解：只有当a，b同号时才有，故A错，
a3＞b3⇔a＞b，故B错，
a2＞b2推不出a＞b，C显然错误，
ac2＞bc2⇒a＞b，而反之不成立，故D满足题意．
故选：D．
6．【答案】A
【分析】根据函数解析式，分别讨论a＜1，a≥1两种情况，结合题中条件，即可求出结果．
【解答】解：若a＜1，则f（a）＝a2+1＝10，
∴a＝﹣3（a＝3舍去），
若a≥1，则f（a）＝2a＝10，∴a＝5，
综上可得，a＝5或a＝﹣3．
故选：A．
7．【答案】B
【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数m的等式与不等式，即可得出实数m的值，可得出函数f（x）的解析式，代值计算可得f（3）的值．
【解答】解：因为函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1是幂函数，
且y＝f（x）在（0，+∞）是单调递减，
则，
解得m＝﹣1，
则，
故．
故选：B．
8．【答案】B
【分析】利用r0，r1的值求出t，可得，依题意列出不等式，解不等式即可求得答案．
【解答】解：由题意知，，
当n＝1时，，故30．25+t＝1，t＝﹣0.25，
故，
由rn≤0.25得30．25（n﹣1）≥50，即，
则，而n∈N*，故n≥16，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次，
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【答案】BC
【分析】由一元二次不等式解集为是，令 f（x）＝ax2+bx+c，则，3为f（x）的零点且a＜0，结合二次函数的性质及其对应方程即可判断A、B、C的正误；由a2+b+c﹣1＝a2﹣4a﹣1不恒大于0，即可知D的正误．
【解答】解：令f（x）＝ax2+bx+c，因为不等式ax2+bx+c＞0的解集是，
所以，3为f（x）的零点且a＜0，
所以，即，，故A错，B对；
又f（2）＞0，所以f（2）＝4a+2b+c＞0，故C对；
因为a2+b+c﹣1＝a2﹣4a﹣1，令g（a）＝a2﹣4a﹣1＝（a﹣2）2﹣5，因为a＜0，所以g（a）＞﹣1，
即g（a）＞0，不恒成立，即a2+b+c与1的大小不确定，故D错．
故选：BC．
10．【答案】BC
【分析】根据二次函数的性质对各选项逐一验证即可．
【解答】解：函数y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
当定义域是（﹣1，1]时，函数单调递减，
当x＝1时，ymin＝1，当x＝﹣1时，y＝5，故其值域为[1，5），不合题意；
当定义域是[0，1]时，函数单调递减，
当x＝1时，ymin＝1，当x＝0时，ymax＝2，故其值域为[1，2]，符合题意；
当定义域是时，函数在单调递减，在（1，2]单调递增，
当x＝1时，ymin＝1，当x＝2时，ymax＝2，故其值域为[1，2]，符合题意；
当定义域是（1，2]时，函数单调递增，
当x＝1时，y＝1，当x＝2时，ymax＝2，故其值域为（1，2]，不合题意．
故选：BC．
11．【答案】BC
【分析】根据基本不等式的性质依次判断选项即可得到答案．
【解答】解：对选项A，B，因为已知a＞0，b＞0，
所以，
当且仅当，即，取等号，故A错误，B正确．
对选项C，D，，即，当且仅当，时等号成立，故C正确，D错误．
故选：BC．
12．【答案】ACD
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；
分x∈Q、x∉Q两种情况解方程D（x）﹣x3＝0，可判断C选项；
利用题中定义分x∈Q、x∉Q两种情况计算D（D（x）），可判断D选项．
【解答】解：对于AB选项，若x∈Q，则﹣x∈Q，此时D（x）＝1＝D（﹣x），
若x∉Q，则﹣x∉Q，此时D（x）＝0＝D（﹣x），
综上所述，对任意的x∈R，D（﹣x）＝D（x），故函数D（x）是偶函数，A对B错；
对于C选项，若x∈Q，则D（x）﹣x3＝1﹣x3＝0，解得x＝1，符合题意，
若x∉Q，则D（x）﹣x3＝﹣x3＝0，解得x＝0，不符合题意，
综上所述，方程D（x）﹣x3＝0有1个实数根，C对；
对于D选项，若x∈Q，则D（D（x））＝D（1）＝1，
若x∉Q，则D（D（x））＝D（0）＝1，
综上所述，对任意的x∈R，D（D（x））＝1，D对．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】（3，11）．
【分析】令3a﹣b＝m（a+b）+n（a﹣b）＝（m+n）a+（m﹣n）b，利用系数相等列式求解m与n的值，再由不等式的性质得答案．
【解答】解：令3a﹣b＝m（a+b）+n（a﹣b）＝（m+n）a+（m﹣n）b，
则，解得m＝1，n＝2．
∴3a﹣b＝（a+b）+2（a﹣b）．
∵2＜a﹣b＜4，4＜2（a﹣b）＜8，
又﹣1＜a+b＜3，
∴3a﹣b＝（a+b）+2（a﹣b）∈（3，11）．
故答案为：（3，11）．
14．【答案】﹣12．
【分析】计算得出f（2023）+f（﹣2023）＝4，结合已知条件可求出f（﹣2023）的值．
【解答】解：因为，则，
所以，，
所以，f（2023）+f（﹣2023）＝16+f（﹣2023）＝4，则f（﹣2023）＝﹣12．
故答案为：﹣12．
15．【答案】（﹣1，3）．
【分析】由题意可得f（x）的图象关于x＝1对称，由f（3）＝0，可得f（﹣1）＝0，即可得f（x）＞0的解集．
【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，
函数f（x+1）的图象是由f（x）的图象向左平移1个单调得到的，
所以f（x）的图象关于x＝1对称，
又因为f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，
所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，
又因为f（3）＝0，
所以f（﹣1）＝0，
所以不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
16．【答案】（0，4）．
【分析】令t＝x﹣3m∈R，分析可知，方程f（t）＝0有三个不等的实根，由f（t）＝0可得m＝|t|（4﹣t），其中t≠0，令g（t）＝|t|（4﹣t），其中t≠0，则函数y＝g（t）（t≠0）和y＝m的图象有三个交点，数形结合可得出实数m的取值范围．
【解答】解：令t＝x﹣3m∈R，若函数y＝f（x﹣3m）有三个不同的零点，则方程f（t）＝0有三个不等的实根，
令，可得m＝|t|（4﹣t），其中t≠0，
令g（t）＝|t|（4﹣t），其中t≠0，则，
作出函数y＝g（t）（t≠0）和y＝m的图象如下图所示：
由图可知，当0＜m＜4时，直线y＝g（t）（t≠0）和y＝m的图象有三个交点，
因此，实数m的取值范围是（0，4）．
故答案为：（0，4）．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）0．
【分析】根据指数和对数的运算法则，即可得解．
【解答】解：（1）
．
（2）
．
18．【答案】（1）A＝{x|﹣2＜x≤3}；
（2）A∩B＝{x|2＜x≤3}，（∁RA）∪B＝{x|x≤﹣2或x＞2}．
【分析】（1）根据函数f（x）的解析式有意义可求得集合A；
（2）求出集合B，利用交集的定义可求得集合A∩B，利用补集和并集的定义可求得集合（∁RA）∪B．
【解答】解：（1）因为函数的定义域为集合A，
则．
（2）因为B＝{x|（x﹣2）（x+3）＞0}＝{x|x＜﹣3或x＞2}，A＝{x|﹣2＜x≤3}，
所以A∩B＝{x|2＜x≤3}，∁RA＝{x|x≤﹣2或x＞3}，
则（∁RA）∪B＝{x|x≤﹣2或x＞2}．
19．【答案】（1）证明过程见解答；（2）[2，+∞）．
【分析】（1）先求得a的值，再利用函数单调性的定义证明即可；
（2）转化为对∀x∈[1，+∞）恒成立，令，利用函数g（x）的单调性求得最大值，即可得解．
【解答】解：（1）证明：依题意，f（1）＝a+4＝3，解得a＝﹣1，
则，
任取x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，
则，
又x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，
则，，
可知f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（2）依题意，对∀x∈[1，+∞）恒成立，
即对∀x∈[1，+∞）恒成立，
令，
由（1）易知函数g（x）在[1，+∞）上单调递减，
则t≥g（x）max＝g（1）＝2，即实数t的取值范围为[2，+∞）．
20．【答案】（1）．
（2）t＝2时有最小值，最小值为5200kJ．
【分析】（1）先写出速度v关于时间t的函数，进而求出剩余体力Q关于时间t的函数；
（2）分0＜t≤1和1＜t≤4两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值．
【解答】解：（1）由题可先写出速度v关于时间t的函数，
代入ΔQ1与ΔQ2公式可得，
解得；
（2）①稳定阶段中，Q（t）单调递减，此过程中Q（t）的最小值Q（t）min＝Q（1）＝6400kJ；
②疲劳阶段，
则有，
当且仅当，即t＝2时，“＝”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ，
由于5200＜6400，因此，在t＝2h时，运动员体力有最小值5200kJ．
21．【答案】（1）；
（2．
【分析】（1）由已知结合奇函数性质先求a，然后结合奇函数定义即可求解函数解析式；
（2）先判断函数的单调性，结合单调性即可求解函数最值．
【解答】解：（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝﹣x2+2ax+a+1，
则f（0）＝a+1＝0，解得a＝﹣1，
即x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x；
当x＞0时，﹣x＜0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[﹣（﹣x）2﹣2（﹣x）]＝x2﹣2x，
故；
（2）作出函数f（x）的大致图象如图所示：
当t≥1时，函数f（x）在[t，t+2]上单调递增，则f（x）min＝f（t）＝t2﹣2t；
当﹣1≤t＜1，函数f（x）在[t，1]上单调递减，在[1，t+2]上单调递增，此时，f（x）min＝f（1）＝﹣1；
当，即﹣2≤t＜﹣1时，函数f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+2]上单调递减，
f（t）＝﹣t2﹣2t，f（t+2）＝（t+2）2﹣2（t+2）＝t2+2t，
则f（t+2）﹣f（t）＝（t2+2t）﹣（﹣t2﹣2t）＝2t（t+2）≤0，
则f（t+2）≤f（t），
则f（x）min＝f（t+2）＝t2+2t；
当﹣1＜t+2＜0，即﹣5＜t＜﹣2时，函数f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+2]上单调递减，
f（t）＝﹣t2﹣2t，f（t+2）＝﹣（t+2）2﹣2（t+2）＝﹣t2﹣6t﹣8，
则f（t+2）﹣f（t）＝（﹣t2﹣6t﹣8）﹣（﹣t2﹣2t）＝﹣4t﹣8＝﹣4（t+2）＞0，
则f（t+2）＞f（t），
；
当t+2≤﹣1时，即当t≤﹣3时，函数f（x）在[t，t+2]上单调递增，此时，
综上所述，．
22．【答案】（1）；
（2）①；②和．
【分析】（1）根据函数的单调性及“倒域区间”的定义求解即可；
（2）判断出函数g（x）为奇函数，作出图象，
①根据函数的单调性及“倒域区间”的定义求解；
②分0＜a＜b≤2和﹣2≤a＜b＜0，两种情况分别求解．
【解答】解：（1）因为为单调递减函数，
设函数的“倒域区间”为[a，b]，
则有，
解得：，
所以函数h（x）的）“倒域区间”为；
（2）因为g（x）＝﹣x|x|+2x，x∈[﹣2，2]，
g（﹣x）＝x|﹣x|﹣2x＝x|x|﹣2x＝﹣（﹣x|x|+2x）＝﹣g（x），
所以y＝g（x）是定义域为[﹣2，2]上奇函数；
①当x≥0时，g（x）＝﹣x2+2x，函数的图象开口向下，对称轴为x＝1，
所以当x∈[1，2]时，g（x）单调递减，
所以，，
所以a，b是方程x3﹣2x2+1＝0的两根，
由x3﹣2x2+1＝0可得，x3﹣x2﹣（x2﹣1）＝0，
所以（x﹣1）（x2﹣x﹣1）＝0，
解得x＝1或（舍）或，
所以，
所以g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为；
②g（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为，其中a≠b，a、b≠0，
所以，所以a与b同号，
只考虑0＜a＜b≤2和﹣2≤a＜b＜0，
当0＜a＜b≤2时，
根据g（x）的图象知，g（x）最大值为，
所以，a≥1；
所以1≤a＜b≤2，
由①知g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为；
当﹣2≤a＜b＜0时，g（x）＝x2+2x，最小值为﹣1，
所以，b≤﹣1，
所以﹣2≤a＜b≤﹣1，根据倒域区间的定义，同理可求得其倒域区间为．
综上，g（x）的所有“倒域区间”为和．