海珠区八校联考2023学年八下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份海珠区八校联考2023学年八下学期期中数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
8
将
化简后的结果是（）
2
2B.
C. 2
D. 4
2
2
下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
0.2
1
2
6
12
A.B.C.D.
在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）
A. 15，8，19B. 6，8，10C. 5，12，13D. 3，5，4
下列各式计算正确的是
5
3
2
2
3
5
A.B. 3 2 5
3
3
3
C. 4 2 2
D. 3 22 3 6 6
下列说法错误的是（）
菱形的对角线互相垂直且平分B. 矩形的对角线相等
C. 有一组邻边相等的四边形是菱形D. 四条边相等的四边形是菱形
在平行四边形 ABCD 中， A  130，则C  （）
A. 130B. 50C. 30D. 120
对角线长为 4cm 的正方形其边长为（）
2
2
2cmB. 2cmC. 4cmD. 4cm
如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（）
CD  ADB. OD  CD
C. BD  ACD. AOB  60
如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE 沿 DE 翻折，使点 A 与点 B 重合，则 AE 的长为（）
72525
A.B. 3C.D.
848
如图，在ABC 中， AB  AC  6 ， BAC  120 ，过点A 作 AD  BA 交 BC 于点 D ，过点 D 作
DE  BC 交 AC 于点 E ，则 AE 的长为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
x2
第 II 卷（非选择题） 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
当 x时，
有意义．
化简
6
10
的结果是．
如图，矩形 ABCD 中 AB  3 ， AD  1 ， AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴于点 M，则点 M 表示的数为．
如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AD  13 ， AC  24 ，DE AB ，交 AB
于 E，则 DE ．
如图，在四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD 、 BC 的中点，G、H 分别是 BD 、 AC 的中点，依次连接 E、G、F、H 得到四边形 EGFH ，要使四边形 EGFH 是菱形，可添如条件．
如图，在正方形 ABCD 外取一点 E ，连接 AE ， BE ， DE ，过点 A 作 AE 的垂线交 ED 于点 P ，若
5
3
AE  AP  1 ，PB ．下列结论：①△APD≌△AEB ；②点 B 到直线 AE 的距离为
；③ EB  ED ；
6
④ S正方形ABCD  4 
．其中正确的是．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17 计算下列各小题：
2
12
8
（1） 3 ；
2
（2） 
 32  
2 2 ．
2
如图，在Y
ABCD 中，E，F 是 BC，AD 上的两点，且 AE ∥CF ．求证 BE  DF ．
已知：实数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，化简：
a2  | a  b | ．
(b  a)2
如图，在四边形 ABCD 中， AB  1， BC  2 ，CD  2 ， AD  3 ，且 AB BC ．求ACD 的度数．
如图，在矩形 ABCD 中，O 为 BD 的中点，过点 O 作 EF  BD 分别交 BC ， AD 于点 E，F．求证： 四边形 BEDF 是菱形．
如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，其中端点A 、 B 均在小正方形的顶点上．
在图中画出平行四边形 ABCD ，点C 和点 D 均在小正方形的顶点上，且平行四边形 ABCD 的面积为
12 ；
在图中画出以 AB 为腰的等腰直角ABE ，且点 E 在小正方形的顶点上；
连接 DE ，直接写出 DE 的长．
城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾斜角由45降为30 ，
已知原滑滑梯的高 AC 长为 2 米，点 D，B，C 在同一水平地面上．求：
改善后滑滑梯加长多少米？
若滑滑梯的正前方有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑梯前有 4.5 米的空地，像这样的改造是否行？请说明理由．
如图，在长方形 ABCD 中，ADC 的平分线交边 BC 于点 E， AH  DE 于点 H，连接CH 并延长交
边 AB 于点 F，连接 AE 交CF 于点 O，若 DH  DC ．
求证： AD  DE ；
求AOF 的度数；
如果 AB  3 ，求OH 2 的值．
已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 DC 的延长线上，且 AE  CF ．
如图 1，分别连接 BE、BF、EF ，则△BEF 的形状是；
如图 2，连接 EF 交对角线 AC 于点 M，若 AE  2 ，求 DM 的长；
5
如图 3，若点 G、H 分别在 AB、CD 上，且GH  4
夹角为 45时，求 AE 的长．，连接 EF 交GH 于点 O，当 EF 与GH 的
2022-2023 学年广东省广州市海珠区八校联考八年级（下）期中数学试卷
第 I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
8
将
化简后的结果是（）
2
2B.
C. 2
D. 4
2
2
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
8
4  2
【详解】解：
 2．
2
故选 C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
0.2
1
2
6
12
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
【详解】解：A 选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
B 选项的被开方数含分母，不符合题意；
C 选项是最简二次根式，符合题意；
D 选项的被开方数中有能开的尽方的因数4 ，不符合题意； 故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）
A. 15，8，19B. 6，8，10C. 5，12，13D. 3，5，4
【答案】A
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理，结合平方差公式判断即可．
【详解】解：∵192 152  19 1519 15  34 4  136  82 ，
∴A 组不是勾股数，符合题意；
∵102  82  10  810  8  36  62 ，
∴B 组是勾股数，不符合题意；
∵132 122  13 1213 12  25  52 ，
∴C 组是勾股数，不符合题意；
∵ 52  42  5  45  4  9  32 ，
∴D 组是勾股数，不符合题意； 故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，平方差公式，熟练掌握定理，灵活变形运用平方差公式简洁判断 是解题的关键．
下列各式计算正确的是
5
3
2
2
3
5
A.B. 3 2 5
3
3
3
C. 4 2 2
D. 3 22 3 6 6
【答案】D
【解析】
3
【分析】根据二次根式的运算法则即可求解.
5
【详解】A.
不能计算，故错误；
2
3
B. 3 2
不能计算，故错误；
3
3
C. 4 2
 2 ，故错误；
3
6
D. 3 2  2 6
，正确
故选 D.
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则.
下列说法错误的是（）
菱形的对角线互相垂直且平分B. 矩形的对角线相等
C. 有一组邻边相等的四边形是菱形D. 四条边相等的四边形是菱形
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质与判定，矩形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直且平分，说法正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法错误，符合题意； D、四条边相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意；
故选 C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，熟知菱形的性质与判定条件，矩形的性质是解 题的关键．
在平行四边形 ABCD 中， A  130，则C  （）
A. 130B. 50C. 30D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答．
【详解】解：如图：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ A  C  130 ， 故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等．
对角线长为 4cm 的正方形其边长为（）
2
2
2cmB. 2cmC. 4cmD. 4cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形性质可知：正方形的一条对角线即为内角平分线，对角线和正方形的两条相邻的边构 成等腰直角三角形，根据勾股定理可知正方形的边长．
【详解】解：设这个正方形的边长为 x cm，
则 x 2  x2  42  16 ，
2
解可得 x  2
cm；
2
则它的边长是 2
cm；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，理解对角线长，边长之间的关系是解题关键．
如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（）
CD  ADB. OD  CD
C. BD  AC
【答案】A
【解析】
D. AOB  60
【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【详解】解：添加CD  AD ，则根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 能使矩形 ABCD 成为正方形．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．
如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE 沿 DE 翻折，使点 A 与点 B 重合，则 AE 的长为（）
72525
A.B. 3C.D.
848
【答案】D
【解析】
【分析】先利用折叠的性质得到 AE  BE ，设 AE  x ，则CE  AC  AE  4  x ，BE  x ，在 RtBCE
中，根据勾股定理可得到 x2  32 （4  x）2 ，求解即可．
【详解】解：∵  ADE 沿 DE 翻折，使点 A 与点 B 重合，
∴ ADE BDE ，
∴ AE  BE ，
设 AE  x ，则CE  AC  AE  4  x ， BE  x ， 在 RtBCE 中，
∵ BE 2  BC 2  CE 2 ，
∴ x2  32 （4  x）2 ，解得 x  25 ，
8
∴ AE  25 ，
8
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．
如图，在ABC 中， AB  AC  6 ， BAC  120 ，过点A 作 AD  BA 交 BC 于点 D ，过点 D 作
DE  BC 交 AC 于点 E ，则 AE 的长为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质可得B  C  30 ，根据含30 角的直角三角形的性质可得 AD 的长， 再求出 EC 的长，即可确定 AE 的长．
【详解】解：∵ AB  AC  6 ， BAC  120 ，
∴ B  C  1 180 120  30，
2
∵ AD  BA ，
∴ BAD  90 ，
设 AD  x ，则 BD  2x ，
∵在RtV BAD 中， AB2  AD2  BD2 ，
∴ 62  x2  2x2 ，
3
解得： x  2 3 或 x  2
（舍去），
∴ AD  2 3 ，
∵ DAC  BAC  BAD  120  90  30 ，
∴ C  DAC  30 ，
3
∴ DC  AD  2，
∵ DE  BC ，
∴ EDC  90 ，
设 ED  m ，则 EC  2m ，
∵在RtEDC 中， ED 2  DC 2  EC 2 ，
∴ m2  2 3 2  2m2 ，
解得： m  2 或m  2 （舍去），
∴ EC  2m  4 ，
∴ AE  AC  EC  6  4  2 ． 故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质．熟练掌握这些性质是解题的关键．
x2
第 II 卷（非选择题） 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
当 x时，
【答案】 x  2
有意义．
【解析】
【分析】根据二次根式的定义进行解答即可.
x2
【详解】∵
 x  2  0
 x  2.
故答案为： x  2.
是二次根式，
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件.形如
a (a  0) 的式子叫做二次根式.熟记二次根式的定
义是解题的关键.
6
10
化简
的结果是．
【答案】 15 ## 1 15
55
【解析】
【分析】根据分母有理化即可得出答案．
6
10
【详解】解：
故答案为： 15 ．
5
，
6  10
10  10
2 15
15
105
【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．
如图，矩形 ABCD 中 AB  3 ， AD  1 ， AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴于点 M，则点 M 表示的数为．
10
【答案】
1 ## 1
10
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出 AC 的长，进而得到 AM 的长，再根据 A 点表示1，可得 M 点表示的数．
【详解】解：∵矩形 ABCD ，
∴ ABC  90 ，
AB 2  BC 2
32  12
10
∴ AC ，
10
∴ AM  AC ，
∵A 点表示1，
10
∴M 点表示的数为：
1 ．
10
故答案是：
1 ．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中， 两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AD  13 ， AC  24 ，DE AB ，交 AB
于 E，则 DE ．
【答案】120 ## 9 3
1313
【解析】
11
【分析】根据菱形的性质得出 AD  AB ， AC BD ， AO  OC 
和 DO ，求出 BD ，根据菱形的面积公式求出即可．
【详解】解：∵四边形 ABCD 是菱形， AD  13 ， AC  24 ，
AC ， DO  BO 
2
2 BD ，求出 AO
∴ AD  AB  13， AC BD ， AO  OC  1 AC  12 ， DO  BO  1 BD ，
则：由勾股定理得： DO 
∴ BD  2OD  10 ，
22
AD2  AO2
 5 ，
∴ S 1 AC  BD  AB  DE ，即： 1  2410  13 DE ，
菱形ABCD22
解得： DE  120 ，
13
120
故答案为：．
13
【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的对角线和牢记菱形的面积公式是解此题的关键．
如图，在四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD 、 BC 的中点，G、H 分别是 BD 、 AC 的中点，依次连接 E、G、F、H 得到四边形 EGFH ，要使四边形 EGFH 是菱形，可添如条件．
【答案】 AB  CD （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理，得到： FH  GE  1 AB,GF  EH  1 CD ，根据四边相等的四边形
22
是菱形，可以得到当 AB  CD 时，即可得到四边形 EGFH 是菱形．
【详解】解：∵E、F 分别是 AD 、 BC 的中点，G、H 分别是 BD 、 AC 的中点，
∴ FH  GE  1 AB,GF  EH  1 CD ，
22
∵四边相等的四边形是菱形，
∴当 AB  CD 时， FH  GE  GF  EH ， 此时四边形 EGFH 是菱形；
∴可添加的条件为： AB  CD ；
故答案为： AB  CD （答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，以及菱形的判定．熟练掌握三角形的中位线是第三边的一半，四 边相等的四边形是菱形，是解题的关键．
如图，在正方形 ABCD 外取一点 E ，连接 AE ， BE ， DE ，过点 A 作 AE 的垂线交 ED 于点 P ，若
5
3
AE  AP  1 ，PB ．下列结论：①△APD≌△AEB ；②点 B 到直线 AE 的距离为
；③ EB  ED ；
6
④ S正方形ABCD  4 
．其中正确的是．
【答案】①③④
【解析】
【分析】①利用同角的余角相等，易得EAB  PAD ，再结合已知条件利用 SAS 可证两三角形全等；③ 利用①中的全等，可得APD  AEB ，结合三角形的外角的性质，易得BEP  90 ，即可证；②过 B
作 BF  AE ，交 AE 的延长线于 F，利用③中的BEP  90 ，利用勾股定理可求 BE ，结合△AEP 是等
腰直角三角形，可证△BEF 是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求 EF 、 BF ；④在RtABF 中，利用勾股定理可求 AB2 ，即是正方形的面积．
【详解】解：①∵ EAB  BAP  90， PAD  BAP  90 ，
∴ EAB  PAD ，
在△AEB 和△APD 中 ，
 AE  AP

EAB  PAD

 AB  AD
∴ APD≌AEB SAS 故①正确；
③△APD≌△AEB ，
∴ APD  AEB ，
又∵ AEB  AEP  BEP ， APD  AEP  PAE ，
∴ BEP  PAE  90 ，
∴ EB  ED ，故③正确；
②过 B 作 BF  AE ，交 AE 的延长线于 F，
∵ AE  AP ， EAP  90，
∴ AEP  APE  45，
又∵③中 EB  ED ， BF  AF ，
∴ FEB  FBE  45，
AE2  AP2
2
∵ PE ，
BP2  PE 2
5  2
3
∴ BE ，
∴ BF  EF 
6 ，故②不正确；
2
④∵ BF  EF 
6 ， AE  1 ，
2
6
∴在RtABF 中， AB2  ( AE  EF ) 2 BF 2  4 ，
正方形ABCD
∴ S AB 2  4 
6 ，故④正确，
故答案为：①③④
【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的 关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
计算下列各小题：
2
12
8
（1） 3 ；
2
（2） 
 32  
2 2 ．
2
【答案】（1） 6
2
2
（2） 9  7
【解析】
【分析】（1）先算乘法与除法，算出的结果化为最简二次根式后，合并同类二次根式即可．
（2）先展开完全平方式，再进行加减运算即可．
【小问 1 详解】
2
12
8
3 
6
3
2

6
3 2
2  2

6
 6
2
6 ；
2
【小问 2 详解】
2
2
 32   2 2 
2
2
 2  6 9  2 
2
 2  9  2  6 1
 9  7 2 ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用运算法则和完全平方公式是解题关键．
如图，在Y
ABCD 中，E，F 是 BC，AD 上的两点，且 AE ∥CF ．求证 BE  DF ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由Y
ABCD ，可得 AD∥ BC ， AE ∥CF ，证明四边形 AECF 是平行四边形，则CE  AF ，
进而结论得证．
【详解】证明：∵ Y
ABCD ，
∴ AD  BC ， AD∥ BC ，
∵ AE ∥CF ，
∴四边形 AECF 是平行四边形，
∴ CE  AF ，
∴ BC  CE  AD  AF ，
∴ BE  DF ．
(b  a)2
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质．
已知：实数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，化简：
【答案】a
【解析】
a2  | a  b | ．
【分析】首先根据数轴确定 a，b，c 的大小关系，然后根据绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，即可去掉绝对值符号，从而进行化简．
【详解】解：根据数轴可得： a  0  b ，
∴ a  b  0 ，
∴原式= a + a  b  b  a = a =a .
【点睛】本题主要考查了式子的化简，正确根据数轴确定 a，b，c 的符号，以及根据绝对值的性质去掉绝对值符号是解决本题的关键．
如图，在四边形 ABCD 中， AB  1， BC  2 ，CD  2 ， AD  3 ，且 AB BC ．求ACD 的度数．
【答案】ACD=90
【解析】
【分析】根据勾股定理得 AC2  AB2  BC2  5 ，根据 AC 2  CD 2  AD 2 可得 ACD 为直角三角形，
ACD=90 ．
【详解】解：在ABC 中 AB BC ，根据勾股定理： AC 2  AB2  BC 2  12  22  5 ，
 在 ACD 中， AC2  CD2  5  4  9 ， AD2  9 ，
 AC 2  CD 2  AD 2 ，
  ACD 为直角三角形，
 ACD=90 ．
【点睛】此题考查勾股定理的定义和勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形就是直角三角形，掌握勾股定理逆定理是解题关键．
如图，在矩形 ABCD 中，O 为 BD 的中点，过点 O 作 EF  BD 分别交 BC ， AD 于点 E，F．求证：
四边形 BEDF 是菱形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先证四边形 BEDF 为平行四边形，然后根据平行四边形对角线垂直证得菱形．
【详解】证明：如图，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD∥BC
∴ 1  2
∵O 为 BD 的中点
∴ BO  DO
∵ BOE  DOF
∴ OBE ≌ODF （ ASA ）
∴ BE  DF
∴四边形 BEDF 是平行四边形又∵ EF  BD
∴四边形 BEDF 是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形．
如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，其中端点A 、 B 均在小正方形的顶点上．
在图中画出平行四边形 ABCD ，点C 和点 D 均在小正方形的顶点上，且平行四边形 ABCD 的面积为
12 ；
在图中画出以 AB 为腰的等腰直角ABE ，且点 E 在小正方形的顶点上；
连接 DE ，直接写出 DE 的长．
【答案】（1）画图见详解
5
（2）画图见详解（3）
【解析】
【分析】（1）平行四边形的面积是底乘高，且平行四边形 ABCD 的面积为12 ，由此可确定底和高；
以 AB 为腰的等腰直角 ABE ，求出 AB 的长，由此即可求解；
在格点中，点 D ， E 都在格点上，每个小正方形的边长均为1的方格，根据勾股定理即可求解．
5
【小问 1 详解】
22  42
解：根据平行四边形的面积是底乘高，平行四边形 ABCD 的面积为12 ， AB 
∴当底是3 ，高是4 ，如图所示，
∴平行四边形 ABCD 即为所求图形．
 2，
5
【小问 2 详解】
22  42
解：以 AB 为腰的等腰直角ABE ，且 AB 
∴过点A 作 AB 的垂线，如图所示，
∴点 E 的位置如图， ABE 为所求图形．
【小问 3 详解】解：如图所示，
在格点中，点 D ， E 都在格点上，
 2，
12  22
5
∴ DE ．
【点睛】本题主要考查格点作图，掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾斜角由45降为30 ，
已知原滑滑梯的高 AC 长为 2 米，点 D，B，C 在同一水平地面上．求：
改善后滑滑梯加长多少米？
若滑滑梯的正前方有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑梯前有 4.5 米的空地，像这样的改造是否行？
请说明理由．
【答案】（1） 4  2 2  米
（2）可行，理由见详解
【解析】
【分析】（1）在直角三角形 ADC 内，根据D 的度数和 AC 的长，运用30 角求出 AD 的长，进而即可求解；
（2）本题实际要求的是 BD 的前方长是否超过 3 米，如果超过了那么这样修改滑板的坡度就可行，反之， 则不可行．
【小问 1 详解】
解：∵ AC  CD，D  30，AC  2 （米）．
在直角三角形 ADC 中， AD  2 AC  2 2  4 （米）．
AC 2  BC 2
2
在直角三角形 ABC 中， AB  2
2
∴ AD  AB  4  2
答：改善后滑滑梯加长4  2 2  米
【小问 2 详解】
在直角三角形 ADC 中， D  30，AC  2 ．
AD  2AC  4
AD2  AC 2
DC 
 2
（米）．
16  4
3
在直角三角形 ABC 中， ABC  45，AC  2 ．
∴ BC  2 （米）
3
∴ BD  CD  BC  2
 2 （米）．
3
那么预计滑板改善后前面留的空地的长度应该是 4.5  BD  4.5  2  2
 6.5  2
3 ．
3
因此，此方案是可行的．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，含 30°角的直角三角形的性质，利用这两个直角三角形有公共的直角边求解是解决此类题目的关键．
如图，在长方形 ABCD 中，ADC 的平分线交边 BC 于点 E， AH  DE 于点 H，连接CH 并延长交
边 AB 于点 F，连接 AE 交CF 于点 O，若 DH  DC ．
求证： AD  DE ；
求AOF 的度数；
如果 AB  3 ，求OH 2 的值．
【答案】（1）证明见详解
（2） 45
（3） 9  92
2
【解析】
【分析】（1）分别证明△ADH、△DCE 都是等腰直角三角形，进而推出 DE 
再由 DH  DC 即可证明 DE  AD ；
2CD ， AD 
2DH ，
利用三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平角的定义求出∠HAE，∠AHF 的度数，即可利用三角形外角的性质求出AOF 的度数；
先证明∠OEH  ∠OHE ，得到OE  OH ，由（2）得∠EAH ∠AHF ，得到OA  OH ，推出
2
OH  1 AE ，得到OH 2  1 AE2 ，再求出 BE  3
3 ，由勾股定理得 AE2  AB2  BE2 ，据此求解即
24
可．
【小问 1 详解】
证明：∵四边形 ABCD 是长方形，
∴ ADC  BCD  90 ，
∵ DE 平分ADC ，
∴ ADE  CDE  45，
又∵ AH⊥DH，∠DCE  90 ，
AH 2  DH 2
∴△ADH、△DCE 都是等腰直角三角形，
CE 2  CD2
∴ DE 
∵ DH  DC ，
∴ DE  AD ；
【小问 2 详解】
2CD ， AD 
2DH ，
解：∵ DE  AD ， DH  DC ， ADE  CDE  45，
∴∠DAE ∠DEA  180 ∠ADE  67.5，∠DHC ∠DCH  180 ∠HDC  67.5 ，
22
又∵ AH  DE ，即AHD  90 ，
∴∠AHF  180 ∠AHD ∠DHC  22.5 ，
∵∠HAE  ∠DAE ∠HAD  22.5 ，
∴∠AOF  ∠EAH ∠AHF  45 ；
【小问 3 详解】
解：∵∠OHE  180 ∠AHF ∠AHD  67.5，
∴∠OEH  ∠OHE ，
∴ OE  OH ，
由（2）得EAH  AHF  22.5 ，
∴ OA  OH ，
∴ OH  OA  OE  1 AE ，
2
∴ OH 2  1 AE2 ，
4
∵ CD  AB  3 ，
∴ CE  CD  3， BC  AD  DE 
2CD  3 2 ，
2
∴ BE  3 3 ，
在Rt△ABE 中，由勾股定理得 AE2  AB2  BE2 ，
2
2
∴ AE 2  32  3 32  36  18，
∴ OH 2  1 AE 2  9  92 ．
42
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定等 等，灵活运用所学知识是解题的关键．
已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 DC 的延长线上，且 AE  CF ．
如图 1，分别连接 BE、BF、EF ，则△BEF 的形状是；
如图 2，连接 EF 交对角线 AC 于点 M，若 AE  2 ，求 DM 的长；
5
如图 3，若点 G、H 分别在 AB、CD 上，且GH  4
夹角为 45时，求 AE 的长．
【答案】（1）△BEF 是等腰直角三角形，理由见解析；
34
（2）
，连接 EF 交GH 于点 O，当 EF 与GH 的
（3）4
【解析】
【分析】（1）如图 1，先根据正方形的性质证明△FCB≌△EAB 可得 BF=BE，∠EBA=∠FBC，然后再说明
∠EBF=90°即可解答；
5
如图 2，过 E 作 EN∥CD，交 BD 于 N，则 EN=ED=2，用勾股定理可得 DE 的长，然后再△FCM≌△ENM可得 EM=FM，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答；
连接 EB 和 FB，先说明四边形 FBGH 是平行四边形，可得 FB=GH=4
，最后运用勾股定理即可解
答
【小问 1 详解】
解：如图 1，△BEF 是等腰直角三角形，理由是： 在正方形 ABCD 中，BC=AB，∠FCB=∠A=90°，
∵CF=AE=2，
∴△FCB≌△EAB，
∴BF=BE，∠EBA=∠FBC，
∴∠EBF=∠EBC+∠FBC=∠EBC+∠EBA=90°，
∴△BEF 是等腰直角三角形；
【小问 2 详解】
解：如图 2，过 E 作 EN∥CD，交 BD 于 N，则 EN=EA=2，
ED2  DF 2
在 Rt△EDF 中，EF=
 2，
8-22  8+2 2 =
136
34
∵EN∥ CD，
∴∠F=∠MEN，
∵∠CMN=∠EMN，
∴△FCM≌△ENM，
∴EM=FM，
34
∴DM= 1 EF=；
2
【小问 3 详解】
解：如图 3，连接 EB 和 FB， 由（1）得∠EFB=45°，
∵∠EOM=45°，
∴∠EFB=∠EOM，
∴GH∥FB，
∵DF∥AB，
∴四边形 FBGH 是平行四边形，
5
16
∴FB=GH=4，
4 5 2  82
由勾股定理得：CF=
∴AE=CF=4．
 4 ，
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识 点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．