中考数学一轮复习重点考向练习突破06 函数与几何图形动态探究题（2份，原卷版+解析版）

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函数与几何图形动态探究题是山西中考的必考题，这类题型属于开放探究题，考查学生综合探究、几何直观和数学运算能力，在综合探究过程中，培养严谨的逻辑思维和分类讨论的思想，逐步体会分类的方法和原因，逐步提高发现和提出问题以及分析和解决问题的能力.
►考向一 线段周长问题
1．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
(3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【思路点拨】（1）将点，代入解析式即可求解；
（2）可求直线的解析式为，可得，，，①当时，可求，，即可求解；②当时，，，即可求解；
（3）①当在对称轴的左侧时，得到是矩形，邻边之比为，即，即可求解；②当在对称轴的右侧时，同理可求．
【规范解答】（1）解：由题意得
解得，
故抛物线的表达式；
（2）解：当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
点D的横坐标是，过点D作直线轴，
，，，
①如图，当时，

，
，
，
整理得：，
解得：，，
，
不合题意，舍去，
，
；
②如图，当时，

，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
；
综上所述：线段的长为或．
（3）解：设点，，
当四边形是矩形时，则为直角，
①当在对称轴的左侧时，
如图，过作轴交轴于，交过作轴的平行线于，
，
∵为直角，
则，
∵，
∴，
∴，
∵是矩形邻边之比为，即或，
即和的相似比为或，
即，
由题意得：，，
∴，
则，
即，
解得：，（不符合题意，舍去）；
②当在对称轴的右侧时，

同理可得：，
解得：，
综上，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合体，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，矩形的性质，三角形相似的性质等知识点，分类求解是解答本题的关键．
2．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．

(1)求直线l的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值是，此时的P点坐标是
【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解．
【规范解答】（1）解：设直线l的解析式为，
把A，B两点的坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线l的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
把A，B两点坐标代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵ ，
∴．
∵在中，
∴．
∵轴，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
设点P的坐标为，则，
∴．
∵，
∴当时，有最大值是，此时最大，
∴，
当时，，
∴，
∴的最大值是，此时的P点坐标是．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键．
3．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．
①当时，求的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点M的坐标是
(2)①1；②存在，或
【思路点拨】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解；
②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．
【规范解答】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
∴，
∴，
∴顶点M的坐标是．
（2）①∵A在x轴上，B的坐标为，
∴点A的坐标是．
当时，，的坐标分别是，．
当时，，即点Q的纵坐标是2，
当时，，即点P的纵坐标是1．
∵，
∴点G的纵坐标是1，
∴．
②存在．理由如下：
∵的面积为1，，
∴．
根据题意，得P，Q的坐标分别是，．
如图1，当点G在点Q的上方时，，
此时（在的范围内），

如图2，当点G在点Q的下方时，，
此时（在的范围内）．
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
4．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【思路点拨】（1）由待定系数法即可求解；
（2）在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解；
（3）作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解．
【规范解答】（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，则，
故抛物线的表达式为：①；
（2）解：在中，，
，
则，
故设直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：（不合题意的值已舍去）；
（3）解：作，

设，
，
且相似比为，
则，
故当、、共线时，为最小，
在中，设边上的高为，
则，
即，
解得：，
则，
则，
过点作轴于点，
则，
即点的纵坐标为：，
同理可得，点的横坐标为：，
即点，
由点、的坐标得，，
即的最小值为．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
5．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；
(3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为，点的坐标为
(3)符合条件的点坐标为：或
【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式，设，则，，得到，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求得抛物线的顶点，对称轴为，分当点在轴上和点在轴负半轴上时，两种情况讨论，当点在轴负半轴上时，证明，求得，再证明，求得点的坐标为，由点在抛物线上，列式计算求解即可．
【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点
解得
抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得
∴直线的解析式为，

设，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
又∵点在直线上，
∴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
当时，，
∴点的坐标为；
答：的最大值为，点的坐标为；
（3）解：，
则抛物线的顶点，对称轴为，
情况一：当点在轴上时，为抛物线的顶点，

∵四边形为矩形，
∴与纵坐标相同，
∴；
情况二：当点在轴负半轴上时，四边形为矩形，
过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，

设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵抛物线对称轴为，点在对称轴上，，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综上所述：符合条件的点坐标为：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用．
6．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；
(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点，的最小值为
(3)
【思路点拨】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【规范解答】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
（2）当时，，
∴，
连接，

∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点，的最小值为；
（3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，

∵，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
由（2）知：直线：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
►考向二 面积问题
1．（2023·海南·统考中考真题）如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点．
【答案】(1)
(2)9
(3)在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或
(4)证明过程见解析
【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接，过点P作于点E，利用点的坐标表示出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可；
（3）当为矩形的边时，画出符合题意的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点P的坐标，则，进而得到、的长度，即可得出结果；当为对角线时，画出相应的图形，求出结果即可；
（4）利用配方法求得抛物线的顶点坐标、对称轴，再利用待定系数法求得直线、的解析式，进而求得点I、G的坐标，利用点的坐标表示出线段、的长度，即可得出结论．
【规范解答】（1）解：由题意可得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：连接，过点P作于点E，如图，
∵点P的坐标为，
∴，，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
；
（3）解：在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，理由如下：
如图，当为边时，四边形为符合条件的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴和为全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点Q作轴于点D，轴于点E，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P的坐标为：，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，
分解因式得：，
解得：（舍去），（舍去），，
∴此时点Q的坐标为：．
综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或；
（4）证明：∵，
∴抛物线的顶点D的坐标为，对称轴为直线，
设，直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴点D是线段的中点．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
2．（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：

(1)当点M在上时，求t的值；
(2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
(3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；的最大值为
(3)
【思路点拨】（1）证明， 则 ， 即可求解；
（2）由 即可求解；
（3）当点在的平分线上时，则 ，在中， ，即可求解．
【规范解答】（1）∵平行四边形，
∴，，，
由题意得∶，，
如下图，点在上时，

∵，，，
∴，
∴，
则 即
解得：
（2）如上图，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
则，
∴，
∴为等腰三角形， 则
过点作于点，
则
即 解得∶ ，
则 ，
设中边上的高为，则
即：
，故有最大值，
当时， 的最大值为；
（3）存在， 理由∶
如下图， 过点作于点，

当点在的平分线上时，则
，
在中，
，
解得：
【点睛】本题为四边形综合题，涉及到特殊四边形性质、三角形相似、解直角三角形、函数的表达式确定等，综合性强，难度适中．
3．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
【思路点拨】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解．
（3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解．
【规范解答】（1）解：∵对称轴为直线，
∴①，
将点代入得，
∴②，
联立①②得，，
∴解析式为；
（2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，

∴，，
则，
∴
解得：或（舍去），
（3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设，
如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，

，
∵，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴
解得：
∴点的坐标为或
如图3，当为平行四边形的对角线时，，，

由对称性可知，，
∴，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键．
4．（2023·青海·统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．

(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，
【思路点拨】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果；
（2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，邻求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果；
（3）设，，表示出和，根据列出方程求得的值，进而求得结果．
【规范解答】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，

∵，
∴，
∴，，
由得，，
∴，
∴；
（3）解：设，，
∵，
∴，
由得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
5．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标．
(3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路点拨】（1）将点，代入抛物线得到，解方程组即可得到答案；
（2）设，，则，则，，从而表示出点的坐标为，代入抛物线解析式，求出的值即可得到答案；
（3）求出直线的表达式，利用，得到，求出点的坐标，再根据进行计算即可得到答案．
【规范解答】（1）解：抛物线与轴交于点，，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：，
设，，
，
，
，
点，
，
，
点的坐标为，
点是轴上方抛物线上一点，
，
解得：（舍去）或，
；
（3）解：设点，直线的解析式为，
，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
，
在抛物线中，当时，，
，
，
，
设点的坐标为，
，，
，
，
，
，
解得：，
点的坐标为，
．
【点睛】本题为二次函数综合，主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图象和性质、一次函数的应用、锐角三角函数、三角形面积的计算，确定关键点的坐标是解本题的关键．
6．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
(3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【思路点拨】（1）根据抛物线的交点式直接得出结果；
（2）作于，作于，交于，先求出抛物线的对称轴，进而求得，坐标及的长，从而得出过的直线与抛物线相切时，的面积最大，根据的△求得的值，进而求得的坐标，进一步求得上的高的值，进一步得出结果；
（3）分两种情形：当点在线段上时，连接，交于，设，根据求得的值，可推出四边形是平行四边形，进而求得点坐标；当点在的延长线上时，同样方法得出结果．
【规范解答】（1）解：由题意得，
；
（2）解：如图1，
作于，作于，交于，
，，
，
，
抛物线的对称轴是直线：，
，
，
，
，
故只需的边上的高最大时，的面积最大，
设过点与平行的直线的解析式为：，
当直线与抛物线相切时，的面积最大，
由得，
，
由△得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，
当点在线段上时，连接，交于，
点和点关于对称，
，
设，
由得，，
，（舍去），
，
∵，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
∴；
如图3，
当点在的延长线上时，由上可知：，
同理可得：，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
►考向三 特殊三角形问题
1．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是 ．

【答案】和
【思路点拨】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标．
【规范解答】解：在中，当时，，则有，
令，则有，
解得：，
∴，
根据点坐标，有
所以点坐标

设所在直线解析式为，其过点、
有，
解得
∴所在直线的解析式为：
当点在线段上时，设
而
∴
∴
因为：，，
有
解得：，
所以点的坐标为:
当在的延长线上时，
在中，，,
∴
∴
如图延长至，取，

则有为等腰三角形，，
∴
又∵
∴
则为符合题意的点，
∵
∴
的横坐标：，纵坐标为；
综上E点的坐标为：或，
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置，是求解此题的关键．
2．（2023·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或或或；
(3)存在，，或，或，或或
【思路点拨】（1）将，代入，求出,即可得出答案；
（2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可；
（3）抛物线的对称轴为直线，设，，求出，，，分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线．
【规范解答】（1）解：（1）∵，两点在抛物线上，
∴
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，
∴，
由为等腰三角形，如图甲，

当以点为顶点时，，点与原点重合，
∴；
当以点为顶点时，，是等腰中线，
∴，
∴；
当以点为顶点时，
∴点D的纵坐标为或，
∴综上所述，点D的坐标为或或或．
（3）存在，理由如下：
抛物线的对称轴为：直线，
设，，
∵，
则，
，
，
∵以为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，
当以为对角线时，则，如图1，

∴，
解得：，
∴或
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与的中点重合，
当时，
∴，
解得：，
∴
当时，
∴，
解得：，
∴
以为对角线时，则，如图2，

∴，
解得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与中点重合，
∴，
解得：，
∴；
当以为对角线时，则，如图3，

∴，
解得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与的中点重合，
∴，
解得：
∴，
综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为： ，或，或，或或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键．
3．（2023·江苏·统考中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．

(1)_______；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【思路点拨】（1）把代入即可求解；
（2）过点D作DM⊥OA于点M，设，由，解得，进而求得平移后得抛物线，
平移后得抛物线为，根据二次函数得性质即可得解；
（3）先设出平移后顶点为，根据原抛物线，求得原抛物线的顶点，对称轴为x=1，进而得，再根据勾股定理构造方程即可得解．
【规范解答】（1）解：把代入得，
，
解得，
故答案为；
（2）解：过点D作DM⊥OA于点M，

∵，
∴二次函数的解析式为
设，
∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，，
∴，
解得m=或m=8（舍去），
当m=时，，
∴，
∵，
∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为，
把代入得，
解得a=3或a=（舍去），
∴平移后得抛物线为
∵过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，
∴；
（3）解：由，设平移后的抛物线为，则顶点为，
∵顶点为在上，
∴，
∴平移后的抛物线为，顶点为，
∵原抛物线，
∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1，
∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，
∴，
∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，
∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，
∵是直角三角形，
∴∠CPQ=90°，
∴，
∴化简得，
∴p=1（舍去），或p=3或p=，
当p=3时，，
当p=时，，
∴点P坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
4．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①当时，的面积由最大值，最大值为；
②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形
【思路点拨】（1）将将、代入抛物线即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解；
②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可．
【规范解答】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，

∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，

，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，

，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．
5．（2023·四川雅安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．

(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；
(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在点F，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【思路点拨】（1）根据对称轴和过点列二元一次方程组求解即可；
（2）如图：过点M作交于D，设点，则；然后表示出，再根据是等边三角形可得,，根据三角函数解直角三角形可得，进而求得即可解答；
（3）如图可知：线段为菱形的边和对角线，然后通过作图、结合菱形的性质和中点坐标公式即可解答．
【规范解答】（1）解：由题意可得：
，解得：，
所以抛物线的函数表达式为；
当时，，则顶点M的坐标为．
（2）解：如图：过点M作交于D
设点，则,
∴，
∵是等边三角形,
∴,
∴,即，解得：或（舍去）
∴，，
∴该三角形的边长．
（3）解：存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形
①如图：线段作为菱形的边，
当为菱形的对角线时，作关于直线的对称线段交于E，连接,作点E关于的对称点F，即为菱形，由对称性可得F的坐标为，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时．
当为菱形对角线时，，
设，，
则，解得：或，
∴或
②线段作为菱形的对角线时，
如图：设
∵菱形,
∴,的中点G的坐标为，点G是的中点，
∴，解得，
∴，
设，
则有：，解得：，
∴．

综上，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、等边三角形的性质、解直角三角形、菱形的判定等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
6．（2023·湖南·统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或或
(3)或．
【思路点拨】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据，可得到的距离等于到的距离，进而作出两条的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；
（3）根据题意，求得当是直角三角形时的的值，进而观察图象，即可求解，分和两种情况讨论，分别计算即可求解．
【规范解答】（1）解：将点，代入，得
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）∵，
顶点坐标为，
当时，
解得：
∴，则
∵，则
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距离等于到的距离，
∵，，设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，

设的解析式为，将点代入得，
解得：
∴直线的解析式为，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或；
（3）①当时，如图所示，过点作交于点，
当点与点重合时，是直角三角形，
当时，是直角三角形，

设交于点，
∵直线的解析式为，
则，
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则
∵
∴
解得：（舍去）或
∴
∵是锐角三角形
∴；
当时，如图所示，
同理可得
即∴
解得：或（舍去）
由（2）可得时，

∴
综上所述，当是锐角三角形时，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或或
(3)，理由见解析
【思路点拨】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，当点F在x轴上方时，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值即可求出点F的坐标；当点F在x轴上方，且点E与点A重合时，利用等腰直角三角形的性质求出，即可求出点F的坐标；同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解．
【规范解答】（1）解：将点，，代入中得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线：，
如图所示，当点F在x轴上方时，设与交于点，过点作于点，

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或,
∴；
如图所示，当点F在x轴上方时，且点E与点A重合时，设直线l与x轴交于G，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴；
如图所示，当点F在x轴下方时，，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
如图所示，当点F在x轴上方，当点与点重合时，

∵，是等腰直角三角形，且，
∴
∴，
综上所述，或或或；
（3）解：设，直线的解析式为，的解析式为，
∵点，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，的解析式为，
对于，当时，，即，
对于，当时，，即，
∵在抛物线上，则
∴
∴为定值．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
8．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的最大值为，
(3)或
【思路点拨】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；
（3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解．
【规范解答】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，
，
．
故的最大值为，．
（3）解：存在，
如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，
∵抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，
；
综上所述：存在，的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．
9．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线：；直线：
(2)或或
(3)，或，或，
【思路点拨】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，，进而得直线的解析式．
（2）由题得，分别求出，，，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解；
（3）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而可得，的坐标．
【规范解答】（1）解：抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入上式，得，
．
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将点，代入上式，
得，
解得．
直线的表达式为．
（2）解：点在直线上，且，
点的坐标为．
，，．
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得．
②若，则，
即，
解得或（舍去）．
③若，则，
即，
解得（舍去）或．
综上，或或．
（3）解：点与点相对应，
或．
①若点在点左侧，
则，，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
当，即时，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若点在点右侧，
则，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
当，即时，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
综上，，或，或，．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
►考向四 特殊四边形问题
1．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
(3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【思路点拨】（1）将点，代入解析式即可求解；
（2）可求直线的解析式为，可得，，，①当时，可求，，即可求解；②当时，，，即可求解；
（3）①当在对称轴的左侧时，得到是矩形，邻边之比为，即，即可求解；②当在对称轴的右侧时，同理可求．
【规范解答】（1）解：由题意得
解得，
故抛物线的表达式；
（2）解：当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
点D的横坐标是，过点D作直线轴，
，，，
①如图，当时，

，
，
，
整理得：，
解得：，，
，
不合题意，舍去，
，
；
②如图，当时，

，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
；
综上所述：线段的长为或．
（3）解：设点，，
当四边形是矩形时，则为直角，
①当在对称轴的左侧时，
如图，过作轴交轴于，交过作轴的平行线于，
，
∵为直角，
则，
∵，
∴，
∴，
∵是矩形邻边之比为，即或，
即和的相似比为或，
即，
由题意得：，，
∴，
则，
即，
解得：，（不符合题意，舍去）；
②当在对称轴的右侧时，

同理可得：，
解得：，
综上，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合体，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，矩形的性质，三角形相似的性质等知识点，分类求解是解答本题的关键．
2．（2023·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或或或；
(3)存在，，或，或，或或
【思路点拨】（1）将，代入，求出,即可得出答案；
（2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可；
（3）抛物线的对称轴为直线，设，，求出，，，分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线．
【规范解答】（1）解：（1）∵，两点在抛物线上，
∴
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，
∴，
由为等腰三角形，如图甲，

当以点为顶点时，，点与原点重合，
∴；
当以点为顶点时，，是等腰中线，
∴，
∴；
当以点为顶点时，
∴点D的纵坐标为或，
∴综上所述，点D的坐标为或或或．
（3）存在，理由如下：
抛物线的对称轴为：直线，
设，，
∵，
则，
，
，
∵以为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，
当以为对角线时，则，如图1，

∴，
解得：，
∴或
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与的中点重合，
当时，
∴，
解得：，
∴
当时，
∴，
解得：，
∴
以为对角线时，则，如图2，

∴，
解得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与中点重合，
∴，
解得：，
∴；
当以为对角线时，则，如图3，

∴，
解得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与的中点重合，
∴，
解得：
∴，
综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为： ，或，或，或或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键．
3．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点、，其中点的横坐标为，点的横坐标为1，抛物线过点、．过作轴交抛物线另一点为点．以、长为边向上构造矩形．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；
③抛物线与边、分别相交于点、，点、在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．
【答案】(1)
(2)①；②；③或
【思路点拨】（1）根据题意得出点，，利用待定系数法求解析式即可求解．
（2）①根据平移的性质得出，根据点的对应点落在抛物线上，可得，即可求解．
②根据题意得出，，求得中点坐标，根据题意即可求解．
③作辅助线，利用勾股定理求得，设出点，点坐标，将点代入，求得点坐标，进而根据点的对应点落在抛物线上，即可求解．
【规范解答】（1）根据题意，点的横坐标为，点的横坐标为1，代入抛物线，
当时，，则，
当时，，则，
将点，代入抛物线，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）①轴交抛物线另一点为，
当时，，
，
矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
，，
整理得，
，，
，
；
②如图，

，，
，
，
，
由①可得，，
，的横坐标为，分别代入，，
，，
，
的中点坐标为，
点为线段的中点，
，
解得或（大于4，舍去）．
③如图，连接，过点作于点，

则，
，
，
设，则，，
将点代入，
得，
解得，
当，，
，
将代入，
解得，
或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，掌握二次函数的性质以及掌握复杂运算属于中考压轴题．
4．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点G的坐标为或
【思路点拨】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）方法一：连接，过点作轴交于点．先求得直线的表达式为：．再设，，则，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；方法二：令抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，设，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；
（3）如下图，连接，，由菱形及等边三角形的性质证明得．从而求得直线的表达式为：．联立方程组求解，又连接，，，证．得，又证．得．进而求得直线的表达式为：．联立方程组求解即可．
【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得．
∴抛物线的表达式为：．
（2）解：方法一：如下图，连接，过点作轴交于点．

∵
，
∴．
令中，则，
解得或，
∴，
设直线为，
∵过点，，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：．
设，，
∴
．
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
方法二：
如下图，

抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，
设，
∴，
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
（3）解：存在，点的坐标为或．
如下图，连接，，

∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
∴，
∵，，，
∴，，点与点关于对称轴对称，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴即，，
∴．
∴．
∴直线的表达式为：．
与抛物线表达式联立得．
∴点坐标为．
如下图，连接，，，

同理可证：是等边三角形，是等边三角形，．
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴直线的表达式为：．
与抛物线表达式联立得．
∴点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一元二次方程的应用，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式是解题的关键．
5．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
(3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)；
(3)点的坐标为或或或
【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；
（3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质可得点N的坐标；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，当点M绕点O逆时针得到点E时，根据旋转的性质，可得点N的坐标．
【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点和，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，且，则，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
依题意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，则，
解得或，
∴，
同理，直线的解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，

，，
∴，
∴，，
设，
∴，，
则，
∵点M在直线上，
∴，
解得或，
当时，，，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时；
当时，，，
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴，即；
设点，则点，
当绕着点O逆时针旋转得到时，如图，
∵点E在的图象上，
∴，
∴点，
∵点E在的图象上，
∴，
解得：或0，
∴，，
当点M绕点O逆时针得到点E时，点，，
∵点E在的图象上，
∴，
解得：，
∴点，，，，
∴点N的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．
6．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】(1)
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为
(3)4
【思路点拨】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
（3）连接A，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形是平行四边形，则，．求出时，点A的坐标为，则，即可得出结论．
【规范解答】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．

∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．
7．（2023·山东·统考中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【思路点拨】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解；
（3）分3种情况求解：当时；当时；当时；根据，确定点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
【规范解答】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴
∴，
解得（不合题意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下．
由题意，，
∴，．
当时，点P在x轴的上方，
∵，
∴点E为线段的中点，
∴，，
∴，
代入整理得，，
解得（不合题意，舍去），．
当时，点P在x轴上，此时点E与点M重合，所以此种情况不存在；
当时，点P在x轴的下方，点E在射线上，
如图，设线段的中点为R，

∴，，
∴．
∵，
∴M为的中点，
∴，，
∴，
代入整理得，，
解得（不合题意，舍去），．
综上可知，存在或，使．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键．
►考向五 相似三角形问题
1．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，抛物线经过坐标原点，且顶点为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线与轴正半轴的交点为，点位于抛物线上且在轴下方，连接、，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
【思路点拨】（1）设抛物线的表达式为，将代入可得；
（2）过作轴于，过作轴于，设，求出；根据，，得，故，从而，即可解得答案．
【规范解答】（1）解：设抛物线的表达式为，
将代入得：，
解得，
；
（2）过作轴于，过作轴于，如图：

设，
在中，令得或，
；
，，
，
，
，
，
，
，
解得或（此时与重合，舍去），
，．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质，解题的关键是证明，用对应边成比例列式求出的值．
2．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标．
(3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【思路点拨】（1）利用待定系数法，把已知点坐标代入解析式即可求解函数的解析式；
（2）分别过，向轴作垂线，垂足为，，根据证得 ，从而，设点坐标，分别表示出，坐标，再列方程求解即可；
（3）将平移到，连接，则；过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，设，则，，，由可得，从而，设由 可得，， ，再求出点坐标为，代入抛物线解析式中即可求得或，从而可得点坐标 ．
【规范解答】（1）解：把和代入到解析式中可得
，解得，
抛物线的解析式为：；
（2）直线中，令，则，所以，
直线中，令，则，所以，
分别过，向轴作垂线，垂足为，，

根据题意可得，
轴，轴，
和为直角三角形，
在和中，
，
，
，
设，
则，
，，
从而，，
则有，解得（舍去），或，
故点的横坐标为：；
（3）将平移到，连接，则四边形为平行四边形，，过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，
，
可设，则，
∴，
则，

设，
轴，
，
，
，，，
，，，
，
，，
，
，
，，则，
，，
，
代入抛物线解析式中有：，
解得：或，
当时，，
当时，．
【点睛】本题是二次函数与相似三角形综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切的定义等知识，解题关键是在坐标系中利用等线段构造全等进行计算，构造相似三角形解决问题．
3．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．

(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接．
①如图，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；
②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，请直接写出四边形的周长．
【答案】(1)
(2)①②或
【思路点拨】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，c，进而求得结果；
（2）①设，过点作于点，求出，根据列出方程求出的值即可；
②可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果．
【规范解答】（1）∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴把，代入得，
，
解得，，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）①设，过点作于点，如图，

∴
∵
∴
∵轴，
∴
又
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴（不合题意，舍去）
∴
∴；
②设，
对于，当时，
解得，
∴
∵
由勾股定理得，
当点在第三象限时，如图，过点作轴于点，

则四边形是矩形，
∵点与点关于对称，
∴
∵轴，
∴
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵
∴
∴
∴
∴
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴,
又且
∴
解得，（舍去）
∴
∴四边形的周长；
当点在第二象限时，如图，

同理可得：
解得，（舍去）
∴
∴四边形的周长；
综上，四边形的周长为或．
【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量．
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究
如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标；
(3)点D是线段(包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标；
(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
(4)，
【思路点拨】（1）根据点M在y轴负半轴且可得点M的坐标为，利用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）过点P作轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为，设点P的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出p的值，从而得出点P的坐标；
（3）由可知，要使点Q，N，C为顶点的三角形与相似，则以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，从而分和两种情况讨论，①当，可推导B与点Q重合，，即此时符合题意，利用求抛物线与x轴交点的方法可求出点Q的坐标；②当时，可推导，即此时符合题意，再证明，从而得到，再设点的横坐标为q，则，，从而得到，解得q的值，从而得到点Q的坐标，最后综合①②即可；
（4）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点，由平移的性质可知，，的值最小就是最小值，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．
【规范解答】（1）解：∵点M在y轴负半轴且，
∴
将，代入，得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：过点P作轴于点F，交线段AC于点E，

设直线的解析式为，
将，代入，得
，解得，
∴直线AC的解析式为
设点P的横坐标为
则，，
∴
∵，∴，解得，
∴
（3），，
补充求解过程如下：
∵在中，，以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，
∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，
又∵轴，直线交直线于点N，
∴，即点N不与点O是对应点．
故分为和两种情况讨论：
①当时，由于轴，
∴轴，即在x轴上，
又∵点Q在抛物线上，
∴此时点B与点Q重合，
作出图形如下：

此时，
又∵
∴，即此时符合题意，
令，
解得：(舍去)
∴点Q的坐标，也即点B的坐标是．
②当时，作图如下：

∵轴，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，即此时符合题意，
∵，
∴，即
∵，，
∴
∴，
设点的横坐标为q，则，，
∴，
∴，
解得：(舍去)，
∴，
∴点Q的坐标是
综上所述：点Q的坐标是，；
（4），，
补充求解过程如下：
设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，
将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：

由平移的性质可知，，
∴的值最小就是最小值，
显然点在直线上运用，
作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，

∵点C关于直线对称的对称的点是点，
∴，
∴，
设直线的解析式是：
将点，代入得：
解得：
直线的解析式是：
令，解得：，
∴，
∴平移的距离是
又∵，
∴平移前的抛物线的坐标是
∴新抛物线的顶点坐标为即
故答案是：，．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．
5．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．

(1)直接写出三点的坐标；
(2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值；
(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的值为2或
(3)点在定直线上
【思路点拨】（1）令，解一元二次方程求出值可得、两点的坐标，令求出值可得点坐标，即可得答案；
（2）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出值即可得答案；
（3）根据平移的性质可得解析式，联立直线与解析式可得点坐标，即可得出中点的坐标，设，利用待定系数法可得直线的解析式为，同理得出直线的解析式为，联立两直线解析式可得，设点在直线上，把点代入，整理比较系数即可得出、的值即可得答案，也可根据点的纵坐标变形得出横坐标与纵坐标的关系，得出答案．
【规范解答】（1）∵抛物线解析式为，
∴当时，，当时，，
解得：，，
∴，，．
（2）解：是直线与抛物线的交点，
，
①如图，若时，
，
∴
，
∴，
解得，（舍去）或．
②如图，若时．过作轴于点．
，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∴，，
，
∴，
解得，（舍去）或．

综上，符合题意的的值为2或．
（3）解：∵将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，
∴，
∵直线的解析式为，
∴联立直线与解析式得：，
解得：（舍去），，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
设，直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴
同理，直线的解析式为；直线的解析式为．
联立，得，
解得：．
∵直线与相交于点，
．
设点在直线上，则，①
整理得，，
比较系数得：，
解得：，
∴当时，无论为何值时，等式①恒成立．
∴点在定直线上．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数图象的平移及相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键．
6．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线：；直线：
(2)或或
(3)，或，或，
【思路点拨】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，，进而得直线的解析式．
（2）由题得，分别求出，，，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解；
（3）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而可得，的坐标．
【规范解答】（1）解：抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入上式，得，
．
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将点，代入上式，
得，
解得．
直线的表达式为．
（2）解：点在直线上，且，
点的坐标为．
，，．
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得．
②若，则，
即，
解得或（舍去）．
③若，则，
即，
解得（舍去）或．
综上，或或．
（3）解：点与点相对应，
或．
①若点在点左侧，
则，，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
当，即时，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若点在点右侧，
则，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
当，即时，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
综上，，或，或，．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．（2023·新疆·统考中考真题）【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．
①求点的坐标；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．

【答案】（1）见解析； （2）①；②直线的解析式为；（3）或
【思路点拨】[建立模型]（1）根据题意得出，，证明，即可得证；
[类比迁移] （2）①过点作轴于点，同（1）的方法，证明，根据一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，求得，，进而可得点的坐标；
②由，设直线的解析式为，将点代入得直线的解析式为；
[拓展延伸]（3）根据解析式求得，；①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，证明，根据得出，设，则，求得点，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解；②当点在轴的上方时，如图所示，过点作，于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，同①的方法即可求解．
【规范解答】[建立模型]（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
[类比迁移]（2）如图所示，过点作轴于点，

∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，
当时，，即，
当时，，即，
∴，
∴，
∴；
②∵，设直线的解析式为，
将代入得：
解得：
∴直线的解析式为，
（3）∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，
当时，，
解得：，
∴，；
①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：（舍去），；
②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，

同理可得，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：（舍去），，
综上所述，的横坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．
①当时，求的长；
②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【思路点拨】（1）根据抛物线对称轴为，可得，求得，再将代入抛物线，根据待定系数法求得，即可解答；
（2）①求出点，点的坐标，即可得到直线的解析式为，设，则，求得的解析式，列方程求出点的坐标，最后根据列方程，即可求出的长；
②过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，根据，可得，即，证明，设，得到直线的解析式，求出点D的坐标，即可得到点的坐标，将点E的坐标代入解方程，即可解答．
【规范解答】（1）解：根据抛物线的对称轴为，
得，
解得，
将代入抛物线可得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，得，
解得，，
，，
设的解析式为，将，代入，
得，
解得，
的解析式为，
设，则，
设的解析式为，将，代入，
得，
解得，
的解析式为，
联立方程，
解得，
根据，得，
解得，，
经检验，，是方程的解，
点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，
在轴正半轴，
，
即的长为；
②解：如图，过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，

，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，即点D的横坐标为，
，
设的解析式为，将，，
代入得，
解得，
的解析式为，
，即，
，
四边形是矩形，
，
，即，
将代入，
得，
解得，（舍去），
．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数，二次函数与一元二次方程，两点之间的距离，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）
重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）
►考向一 线段周长问题
►考向二 面积问题
►考向三 特殊三角形问题
►考向四 特殊四边形问题
►考向五 相似三角形问题