2024-2025学年内蒙古赤峰市名校高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古赤峰市名校高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.关于空间向量a，b，c，下列运算错误的是( )
A. a⋅b=b⋅aB. (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c
C. (λa)⋅b=λ(a⋅b)D. (a⋅b)c=a(b⋅c)
2.某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为( )
A. 1853B. 514C. 1553D. 27
3.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列向量与AB1平行的是( )
A. DC1B. CD1C. C1D1D. CD
4.若数据x1，x2，…，x25的方差为0.2，则数据4x1，4x2，…，4x25的方差为( )
A. 0.2B. 0.8C. 1.6D. 3.2
5.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别为棱AB，A1C1的中点，设BA=a，BB1=b，BC=c，则EF=( )
A. 12a+b+12c
B. 12a+12b+c
C. a+12b+12c
D. b+12c
6.已知点M(0,1,3)，N(3,0,1)，Q(4,2,3)，则点M到直线NQ的距离为( )
A. 2 13B. 13C. 1D. 1313
7.在正四面体ABCD中，E为棱BC的中点，AB= 6，则AD⋅AE=( )
A. 6B. 3C. 2 6D. 6
8.金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件A=“甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件B=“甲、乙两人所选项目完全不同”，事件C=“甲、乙两人所选项目完全相同”，事件D=“甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则( )
A. A与C是对立事件B. C与D相互独立C. A与D相互独立D. B与D不互斥
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量a=(−2,−4,4)，b=(3,−4,0)，c=(1,2,−2)，则( )
A. a+b=(1,−8,4)B. 3|c|=5|b|
C. a/​/cD. b在c方向上的投影向量为−53c
10.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位.降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响.如图，这是A，B两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．

下列结论正确的是( )
A. 这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大
B. 这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大
C. 这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大
D. 这年上半年A地月降雨量的80%分位数比B地月平均降雨量的80%分位数大
11.在空间直角坐标系中，已知A(0,2,32)，B(0,1,32)，C(2,1,32)，A1(0,2,0)，B1(0,0,0)，C1(4,0,0)，则( )
A. 4B1C⋅AC1为质数B. △ABC为直角三角形
C. B1C与AB所成角的正弦值为5 2929D. 几何体ABC−A1B1C1的体积为72
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若一组数据为1，1，2，3，2，3，5，4，3，6，则这组数据的众数为______．
13.若平面α的一个法向量为m=(−1,0, 3)，平面β的一个法向量为n=(0,0,−1)，则α与β的夹角为______．
14.在如表所示的5×5方格表中选5个方格，若要求每行和每列都恰有1个方格被选中，则被选方格的5个数之和的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在空间直角坐标系中，已知A(0,1,2)，B(2,−1,5)，C(−2,2,2)，D(1,2,m)．
(1)若AB⊥CD，求m的值；
(2)若AD=xAB+yAC，求x+y+m的值．
16.(本小题15分)
某中学高二年级的所有学生学习完人教A版选择性必修第一册的《直线和圆的方程》章节后，统一进行了一次测试，并将所有的测试成绩(满分150分)按照[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分成6组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)试估计该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数(每组数据取区间的中间值作代表)；
(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从测试成绩在[110,130)和[130,150]内的学生中抽取6人的试卷进行试卷分析，再从这6人的试卷中任选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩都在[110,130)内的概率．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AD=2，点E是PA的中点，PF=13PB．
(1)证明：AC//平面DEF．
(2)求点B到平面DEF的距离．
18.(本小题17分)
A，B，C三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知A闯关成功的概率是23，A，B，C三人闯关都不成功的概率是16，A，B，C三人闯关都成功的概率是112．
(1)求B，C两人各自闯关成功的概率；
(2)求A，B，C三人中恰有两人闯关成功的概率．
19.(本小题17分)
如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB=3AA1=2A1B1=6，AA1⊥平面ABCD．
(1)证明：BD⊥平面ACC1A1；
(2)求直线DD1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
(3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角P−AD1−D的余弦值为211？若存在，求线段BP的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.A
3.A
4.D
5.D
6.B
7.B
8.C
9.AC
10.ACD
11.BCD
12.3
13.π6
14.157
15.解：(1)AB=(2,−2,3)，CD=(3,0,m−2)，
因为AB⊥CD，所以AB⋅CD=0，
即6+3(m−2)=0，解得m=0．
(2)AC=(−2,1,0)，AD=(1,1,m−2)，
因为AD=xAB+yAC，所以2x−2y=1−2x+y=13x=m−2，
解得x=−32y=−2m=−52，
则x+y+m=−6．
16.解：(1)根据题意可得测试成绩的平均数约为：
40×0.1+60×0.15+80×0.25+100×0.35+120×0.1+140×0.05=87(分)；
(2)∵测试成绩在[110,130)和[130,150]内的频率之比为2：1，
∴在[110,130)和[130,150]内分别抽4人的试卷，2人的试卷，
∴再从这6人的试卷中任选2人的试卷共有C62=15种不同结果，
而这2人的测试成绩都在[110,130)内包含C42=6种不同结果，
∴所求概率为615=25．
17.(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AD=2，点E是PA的中点，PF=13PB，
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，
所以E(1,0,1)，F(23,23,43)，AC=(−2,2,0)，
设n=(x,y,z)是平面DEF的法向量，DE=(1,0,1)，DF=(23,23,43)，
则n⋅DE=x+z=0n⋅DF=23x+23y+43z=0，
令z=1，得n=(−1,−1,1)，
因为AC⋅n=−2×(−1)+2×(−1)+0×1=0，
所以AC⊥n，
又因为AC⊄平面DEF，
所以AC/​/平面DEF；
(2)解：连接DB，DB=(2,2,0)，
可得点B到平面DEF的距离d=|DB⋅n||n|=|−2−2| 3=4 33．
18.解：(1)根据题意，设B，C两人各自闯关成功的概率分别是a，b(0