山东省宁津县苗场中学2024-2025学年上学期第一次月考九年级数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省宁津县苗场中学2024-2025学年上学期第一次月考九年级数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每个4分，共48分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
根据一元二次方程定义逐项判断即可．
【详解】解：A．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；
B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C．该方程中，未知数最高指数为3，它不是一元二次方程，不符合题意；
D．该方程不是整式方程，不符合题意；
故选：A．
2. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．先计算整式的乘法，再移项整理即可．
【详解】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为，
故选：C．
3. 若函数的图象是一条抛物线，且开口向上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，以及二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．时，开口向上；时，开口向下．根据函数图象是一条抛物线可知该函数是二次函数，再根据函数图象开口向上即可求解．
【详解】解：∵函数的图象是一条抛物线，
∴，
∴．
∵图象开口向上，
∴，
∴．
故选D．
4. 将一元二次方程配方成的形式，则的值为（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键．
对原方程移项，利用完全平方公式的特点对其配方．
【详解】
∴，
故选B．
5. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且，
故选：C．
6. 设方程的两个根为α，β， 那么的值等于（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程两根为，则，，代值求解即可得到答案．
【详解】解：方程的两个根为，
∴，，
∴，
故选：A．
7. 根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的根，看0在相对应的哪两个值之间，那么近似根就在这两个对应的值对应的x的值之间，据此求解即可．
【详解】解：
∵当时，，当时，，
∴当时，一定有一个x对应的值使得，
∴一元二次方程的一个根的范围是，
故选：D．
8. 某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示：
其中完全正确的是（ ）
A. 甲B. 甲和乙C. 乙D. 都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】分别利用解一元二次方程因式分解法，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：依题意，甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解；
乙利用解一元二次方程因式分解法，计算正确；
故选：C．
9. 对于实数，，，，我们定义运算，例如：，上述记号就叫做二阶行列式．若，则（ ）
A. B. C. 或D. -2或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了定义运算，解一元二次次方程，利用题中的新定义列出关于一元二次方程，解方程即可求解，正确得出一元二次方程是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，整理得，
解得：，，
故选：．
10. 若一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积为（ ）
A. 12B. 10C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，先利用因式分解法解方程得到三角形的两条边长分别3、5，再计算出第三边长为4，然后根据三角形面积公式计算该三角形的面积．
【详解】解：，
，
或，
所以，，
即三角形的两条边长分别3、5，
所以第三边长为，
所以该三角形的面积．
故选：D．
11. 开学第一节班会课，九（1）班全体学生每两人之间互赠“祝福卡”，祝福学业进步，身心健康．已知共赠“祝福卡”1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，审清题意找到等量关系是解题的关键．根据每个同学都要送其他个学生贺卡，因此总赠送贺卡数是张，再根据共赠贺卡1980张列方程即可．
【详解】解：由题意得：每个学生需要向其他个学生，
则得方程得：
故选：C．
12. 《长安三万里》以全新的思路，呈现出一幅由唐诗浸染而出的绚烂画卷，并于其中探讨了颇具深意的人心旅程，某日该电影的票房约为2亿无，第二、三天持续增长，三天的累计的票房约为6.62亿元，若第二、三天单日票房平均增长率相同，设该增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据“三天累计票房6.62亿元”列出一元二次方程即可；掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键．
【详解】解：设该增长率为x，则第二天单日票房为，第三天单日票房为，
根据题意可得出，
故选：C
第II卷（非选择题）
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二、填空题（每个4分，共24分）
13. 已知是关于x 的一元二次方程，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：由题意，得，且，
解得，
故答案为：．
14. 方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，可知，解不等式即得答案．
【详解】方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
15. 已知，是方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的综合应用．利用根与系数的关系，求出，，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴
，
故答案为：．
16. 若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是解答的关键．根据方程的解的意义可得到，，进而求解即可．
【详解】解：∵方程的解是，，
∴方程的解、满足，，
解得，，
故答案为：，．
17. 如图，邻边不等的矩形花圃，它的一边利用已有的16m的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是32m，若矩形花圃的面积为，则的长度是__________________m．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设，根据矩形的面积公式，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：设，则：，由题意，得：
，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去
当时，，符合题意；
故的长度是；
故答案为：10
18. 如图所示，四个二次函数的图象对应的表达式分别是：①；②；③；④，则，，，的大小关系为__________．（用“”连接）
【答案】
【解析】
【分析】题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小.
【详解】解：如图，因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次，
所以.
三、解答题
19. 解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1），
（2），
（3），
（4）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程；
（1）用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）用公式法解一元二次方程即可；
（4）化成一般式后用配方法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，；
【小问2详解】
解：
∴，
，
或，
解得，；
【小问3详解】
解：
，，，
，
则，
即，；
【小问4详解】
解：整理为一般式，得：，
，
则．
20. 下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
（1）小明同学的解答过程，从第________步开始出现错误；
（2）请你写出正确的解答过程．
【答案】（1）三 （2），．过程见解析
【解析】
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程．
（1）按照配方法解一元二次方程的步骤进行判断即可；
（2）按照配方法解一元二次方程的正确步骤进行解答即可．
【小问1详解】
小明同学解答过程，从第三步开始出现错误，配方结果不正确；
故答案为：三
【小问2详解】
解：
移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，
由此可得，
所以，，．
21. 已知关于x的方程．
（1）若该方程有一个根为，求a的值：
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）2 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式等知识点，掌握根的判别式大于零的方程有两个不相等的实数根成为解题的关键；
（1）将代入方程得到关于a的方程求解即可；
（2）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可证明结论．
【小问1详解】
解：将代入方程可得：
，解得：
【小问2详解】
证明：∵关于x的方程，
∴，
∴对于任意实数a,该方程总有两个不相等的实数根．
22. 已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）求的面积．
【答案】（1）交点A，B的坐标分别为，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数与坐标轴的交点，解一元二次方程，联立两个函数得到点，的坐标是解题的关键．
（1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标；
（2）根据题意得到，再利用即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
解得：或
在的右边
交点，的坐标分别为，−1,1；
【小问2详解】
解：直线与轴交于点
当时，，即点坐标为0,3
又，
点，到的距离分别为3，1
．
23. 中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍．
（1）求商家购买笔和圆规的进价；
（2）商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？
【答案】（1）商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元
（2）每个圆规的售价为11元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程、一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元，列出分式方程，即可求解；
（2）设每个圆规的售价为m元，根据圆规平均每天的总获利为200元，列出一元二次方程，进而即可求解．
【小问1详解】
解：设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元；
【小问2详解】
解：设每个圆规的售价为m元，
根据题意，得，
解得，，
又降价幅度不超过
∴，
答∶ 每个圆规的售价为11元．
24. 如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为．
（1）填空： ________， ________（用含的代数式表示）；
（2）当是等腰直角三角形时，求的值；
（3）当的长为时，求的值；
（4）当的面积等于矩形面积的时，直接写出此时的值．
【答案】（1），
（2）
（3）的值为或
（4）的值为或
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程应用，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）根据路程速度时间可得，，再根据矩形的性质和线段的和差可表示出；
（2）由矩形的性质可得，结合等腰直角三角形的性质可得，即，即可求解；
（3）根据勾股定理列出一元二次方程即可求解；
（4）根据题意可得，再求出矩形的面积，最后根据的面积等于矩形面积的，列方程即可求解．
【小问1详解】
解：设运动时间为，
根据题意得：，，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，即，
解得：，
当是等腰直角三角形时，的值为；
【小问3详解】
，，
，即，
解得：或，
当的长为时，的值为或；
【小问4详解】
，，，
，
矩形的边长，，
，
的面积等于矩形面积的，
，
解得：或，
…
…
…
…
甲
乙
两边同时除以，得．
移项，得．
．
或，解得．
解：移项，得，……第一步
二次项系数化为1，得，……第二步
配方，得，……第三步
由此可得，……第四步
所以，，．……第五步