备战2025年高考数学精品教案第二章函数第2讲函数的单调性与最值（Word版附解析）

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学生用书P020
1.函数的单调性
注意 （1）一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
（2）“函数f（x）的单调区间为M ”与“函数f（x）在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M .
（3）注意“增（减）函数”与“单调递增（减）”的区别，只有在定义域上单调递增（减），才能称它是增（减）函数.
规律总结
1.函数单调性的两个等价变形
若∀x1，x2∈D（x1≠x2），则
（1）f（x1）－f（x2）x1－x2＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0）⇔f（x）在区间D上单调递增；
（2）f（x1）－f（x2）x1－x2＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0）⇔f（x）在区间D上单调递减.
2.函数单调性的常用结论
（1）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数；
（2）当f（x）≠0时，函数f（x）与－f（x），1f（x）在公共定义域内单调性相反；
（3）复合函数y＝f（g（x））的单调性与y＝f（t），t＝g（x）的单调性有关，即“同增异减”.
3.对勾函数y＝ax＋bx（a＞0，b＞0）的单调性与最值
如图，
（1）单调性：增区间为（－∞，－ba），（ba，＋∞）；减区间（－ba，0），（0，ba）.
（2）最值：当x＞0时，函数y＝ax＋bx在x＝ba处取得最小值2ab；当x＜0时，函数y＝ax＋bx在x＝－ba处取得最大值－2ab.
注意 对勾函数y＝ax＋bx（a＞0，b＞0）的图象有两条渐近线：x＝0，y＝ax.
2.函数的最值
注意 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.
1.以下说法正确的是（ D ）
A.对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数
B.函数y＝1x的单调递减区间为（－∞，0）∪（0，＋∞）
C.若函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）
D.闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到
2.[教材改编]函数y＝｜x｜－1的单调递减区间为（ B ）
A.（0，＋∞）B.（－∞，0）
C.（－∞，－1）D.（－1，＋∞）
3.[教材改编]y＝2x+1x－3的值域为 （－∞，2）∪（2，＋∞） .
解析 y＝2x+1x－3＝2（x－3）+7x－3＝2＋7x－3，显然7x－3≠0，所以y≠2.故函数的值域为（－∞，2）∪（2，＋∞）.
4.y＝2x－x－1的值域为 [158，＋∞） .
解析 设t＝x－1，则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2（t2＋1）－t＝2（t－14）2＋158，由t≥0，可得函数的值域为[158，＋∞）.
学生用书P022
命题点1 确定函数的单调性（单调区间）
例1 （1）[2023北京高考]下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ C ）
A.f（x）＝－ln xB.f（x）＝12x
C.f（x）＝－1xD.f（x）＝3｜x－1｜
解析 对于A，因为函数y＝ln x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝－ln x在（0，＋∞）上单调递减，所以A不符合要求；对于B，因为f（x）＝12x＝（12）x在（0，＋∞）上单调递减，所以B不符合要求；对于C，由反比例函数的图象可知，f（x）＝－1x在（0，＋∞）上单调递增，所以C符合要求；对于D，当0＜x＜1时，y＝3｜x-1｜＝31-x在（0，1）上单调递减，所以D不符合要求.故选C.
（2）[全国卷Ⅱ]函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是（ D ）
A.（－∞，－2）B.（－∞，1）
C.（1，＋∞）D.（4，＋∞）
解析 由x2－2x－8＞0，得x＜－2或x＞4.因此，函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的定义域是（－∞，－2）∪（4，＋∞）.（先求函数f（x）的定义域）
易知函数y＝x2－2x－8在（－∞，－2）上单调递减，在（4，＋∞）上单调递增，函数
y＝ln t为（0，＋∞）上的增函数，由复合函数的单调性知，f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是（4，＋∞）.故选D.
（3）讨论函数f（x）＝axx－1（a≠0）在（－1，1）上的单调性.
解析 解法一（导数法） f '（x）＝a（x－1）－ax（x－1）2＝－a（x－1）2.
当a＞0时，f '（x）＜0，函数f（x）在（－1，1）上单调递减；
当a＜0时，f '（x）＞0，函数f（x）在（－1，1）上单调递增.
解法二（定义法） 设－1＜x1＜x2＜1，f（x）＝a（x－1+1x－1）＝a（1＋1x－1），则f（x1）－
f（x2）＝a（1＋1x1－1）－a（1＋1x2－1）＝a（x2－x1）（x1－1)(x2－1）.
由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递减；
当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递增.
方法技巧
判断函数的单调性的方法
（1）定义法；（2）图象法；（3）导数法；（4）性质法.
训练1 （1）函数g（x）＝x·｜x－1｜＋1的单调递减区间为（ B ）
A.（－∞，12]B.[12，1]
C.[1，＋∞）D.（－∞，12）∪[1，＋∞）
解析 g（x）＝x·｜x－1｜＋1＝x2－x+1，x≥1，－x2＋x+1，x