备战2025年高考数学精品教案第三章一元函数的导数及其应用第1讲导数的概念及其意义、导数的运算（Word版附解析）

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学生用书P050
1.导数的概念及其几何意义
（1）函数f（x）在x＝x0处的导数：如果当Δx→0时，平均变化率① ΔyΔx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝
f（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变化率），记作f '（x0）或y' x＝x0，即f '（x0）＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.
（2）函数f（x）的导函数：当x变化时，y＝f '（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数）. y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f '（x）＝y'＝② limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx .
说明 函数y＝f（x）的导数f '（x）反映了函数f（x）的变化趋势，其大小｜f '（x）｜反映了变化的快慢，在某一范围内｜f '（x）｜越大，函数在相应范围内变化得越快，函数的图象越“陡峭”（向上或向下）.
辨析比较
f '（x）与f '（x0），[f（x0）]'的区别与联系：f '（x）是一个函数，f '（x0）是函数f '（x）在x＝x0时的函数值（常数），不一定为0，[f（x0）]'是函数值f（x0）的导数，且
[f（x0）]'＝0.
（3）导数的几何意义：f '（x0）的几何意义就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率k，即k＝③ f'（x0） ，相应的切线方程为④ y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0） .
说明 函数y＝f（x）在某点处的导数、曲线y＝f（x）在该点处切线的斜率和倾斜角，这三者之间是可以相互转化的.
2.导数的运算
（1）基本初等函数的导数公式
特别地，若f（x）＝ex，则f '（x）＝ex；若f（x）＝ln x，则f '（x）＝1x；若f（x）＝1x，则f '（x）＝－1x2.
（2）导数的四则运算法则
若f '（x），g'（x）存在，则
a.[f（x）±g（x）]'＝⑧ f'（x）±g'（x） ；
b.[f（x）·g（x）]'＝⑨ f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） ；
c.[f（x）g（x）]'＝⑩ f'（x）g（x）－f（x）g'（x）[gx]2（g（x）≠0）；
d.[cf（x）]'＝⑪ cf'（x） .
规律总结
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
（3）复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x＝⑫ y'u·u'x ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
注意 （1）要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.
（2）对于含有参数的函数，要分清哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零.
1.下列说法正确的是（ C ）
A.f '（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率
B.f '（x）与f '（x0）（x0为常数）表示的意义相同
C.曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点
D.奇函数的导数还是奇函数
解析 对于A，f '（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率；对于B，f '（x）是一个函数，而f '（x0）（x0为常数）是函数f '（x）在x＝x0时的函数值；对于C，例如曲线y＝cs x在点（0，1）处的切线与曲线y＝cs x有无数个公共点；对于D，奇函数的导数是偶函数.故C正确.
2.[教材改编]下列式子不正确的是（ C ）
A.（3x2＋cs x）'＝6x－sin xB.（ln x－2x）'＝1x－2xln 2
C.（2sin 2x）'＝2cs 2xD.（sinxx）'＝xcsx－sinxx2
解析 由导数公式和运算法则可知A，B，D正确.（2sin 2x）'＝4cs 2x≠2cs 2x，故C不正确.
3.[全国卷Ⅰ]函数f（x）＝x4－2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（ B ）
A.y＝－2x－1B.y＝－2x＋1C.y＝2x－3D.y＝2x＋1
解析 ∵f（x）＝x4－2x3，∴f '（x）＝4x3－6x2，∴f '（1）＝－2，又f（1）＝1－2＝
－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1.故选B.
4.[2024河北省邢台市月考]在一次10米跳台跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h（t）＝－4t2＋4t＋11.该运动员在t＝1 s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ A ）
A.－4B.4C.11D.－11
解析 由h（t）＝－4t2＋4t＋11可得h'（t）＝－8t＋4，故h'（1）＝－4，即该运动员在t＝1 s时的瞬时速度为－4 m/s.故选A.
学生用书P051
命题点1 导数的运算
例1 （1）[2024河南省商丘市部分学校质检]下列求导正确的是（ D ）
A.[（2x－1）2]'＝2（2x－1）
B.（2x＋x2）'＝2x＋2x
C.（sin x－csπ3）'＝cs x＋13sinπ3
D.（lg2x）'＝lg2ex
解析 [（2x－1）2]'＝2（2x－1）·2＝4（2x－1），故A错误；（2x＋x2）'＝2xln 2＋2x，故B错误；（sin x－csπ3）'＝cs x，故C错误；（lg2x）'＝1xln2＝lg2ex，故D正确.故选D.
（2）[全国卷Ⅲ]设函数f（x）＝exx＋a.若f '（1）＝e4，则a＝ 1 .
解析 由于f'（x）＝ex（x＋a）－ex（x＋a）2，故f'（1）＝ea（1+a）2＝e4，解得a＝1.
方法技巧
（1）求导之前，先把函数简化成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
（2）复合函数求导，要正确分析函数的复合层次，由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
注意 （1）牢记导数公式和导数的四则运算法则；（2）若函数解析式中含有待定系数（如f '（x0），a，b等），则求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可.
训练1 （1）[多选/2023湖北省黄冈市黄州中学质检]下列求导运算正确的是（ BD ）
A.[cs（－2x）]'＝2sin xB.（lnxx）'＝1－lnxx2
C.（e3）'＝3e2D.（lg 2x）'＝1xln10
解析 [cs（－2x）]'＝－sin（－2x）·（－2x）'＝2sin（－2x），故A错误；（lnxx）'＝x（lnx）'-x’lnxx2＝1－lnxx2，故B正确；（e3）'＝0，故C错误；（lg 2x）'＝12xln10×（2x）'＝1xln10，故D正确.故选BD.
（2）已知函数f（x）的导函数为f '（x），且满足f（x）＝3xf '（1）＋2ln x，则f '（2）＝（ B ）
A.－e－1B.－2C.0D.e－1
解析 设f '（1）＝a，则f（x）＝3ax＋2ln x，f '（x）＝3a＋2x，所以f '（1）＝3a＋2＝a，解得a＝－1，所以f '（2）＝3×（－1）＋1＝－2.故选B.
命题点2 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例2 （1）[2023全国卷甲]曲线y＝exx+1在点（1，e2）处的切线方程为（ C ）
A.y＝e4xB.y＝e2x
C.y＝e4x＋e4D.y＝e2x＋3e4
解析 由题可得y'＝ex（x+1）－ex（x+1）2＝xex（x+1）2，则曲线y＝exx+1在点（1，e2）处的切线斜率k＝
y'x＝1＝e4，所以曲线y＝exx+1在点（1，e2）处的切线方程为y－e2＝e4（x－1），即y＝e4x＋e4，故选C.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]曲线y＝ln｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为 y＝1ex， y＝
－1ex .
解析 先求当x＞0时，曲线y＝ln x过坐标原点的切线方程，设切点为（x0，y0），则由y'＝1x，得切线斜率为1x0，又切线的斜率为y0x0，所以1x0＝y0x0，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为1e，切线方程为y＝1ex.同理可求得当x＜0时的切线方程为y＝－1ex.综上可知，两条切线方程为y＝1ex，y＝－1ex.
方法技巧
求切线方程的方法
（1）已知切点A（x0，f（x0）），则切线方程为y－f（x0）＝f '（x0）（x－x0）.
（2）已知过点P（x0，y0）（非切点），可设切点为（x1，y1），由y1＝f（x1）,y0－y1＝f ‘(x1)(x0－x1)求出x1，y1后即可得切线方程.
注意 曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点.
角度2 求参数的值或取值范围
例3 （1）[全国卷Ⅲ]已知曲线y＝aex＋xln x在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x＋b，则（ D ）
A.a＝e，b＝－1B.a＝e，b＝1
C.a＝e－1，b＝1D.a＝e－1，b＝－1
解析 因为y'＝aex＋ln x＋1，所以y'x＝1＝ae＋1，所以曲线在点（1，ae）处的切线方程为y－ae＝（ae＋1）（x－1），即y＝（ae＋1）x－1，所以ae+1=2，b＝－1，解得a＝e－1，b＝－1.故选D.
（2）[2022新高考卷Ⅰ]若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 （－∞，－4）∪（0，＋∞） .
解析 因为y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.设切点为A（x0，（x0＋a）ex0），O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y' x＝x0＝（x0＋a＋1）ex0＝（x0＋a）ex0x0，化简得x02＋ax0－a＝0.因为曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x02＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.
方法技巧
利用导数的几何意义求参数的方法
利用切点处的导数等于切线的斜率、切点在切线上、切点在曲线上列方程（组）求解.
训练2 （1）[2024广州市中山大学附中月考]过点（3，0）作曲线f（x）＝xex的两条切线，切点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），则x1＋x2＝（ D ）
A.－3B.－3C.3D.3
解析 因为f（x）＝xex，所以f '（x）＝（x＋1）ex，设切点为（x0，x0ex0），所以
f '（x0）＝（x0＋1）ex0，所以切线方程为y－x0ex0＝（x0＋1）ex0（x－x0），代入（3，0）得－x0ex0＝（x0＋1）ex0（3－x0），即（－x02＋3x0＋3）ex0＝0，依题意关于x0的方程
（－x02＋3x0＋3）ex0＝0有两个不同的根x1，x2，即关于x0的方程－x02＋3x0＋3＝0有两个不同的根x1，x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝3.故选D.
（2）[2024江苏省常州市调考]已知直线2ax－2y－a＝0与曲线y＝ln（2x－1）相切，则实数a＝（ A ）
A.2eB.e2eC.2eD.e2
解析 设切点为（x0，y0），则y'＝22x－1，故切线方程为y＝22x0－1（x－x0）＋ln（2x0－1），即y＝22x0－1x－2x02x0－1＋ln（2x0－1），由y＝ax－a2是切线方程，得22x0－1＝a，－2x02x0－1＋ln（2x0－1）＝－a2，故－4x02x0－1＋2ln（2x0－1）＋22x0－1＝0，化简得－1＋
ln（2x0－1）＝0，解得x0＝e+12，所以a＝22x0－1＝2e，故选A.
命题点3 与公切线有关的问题
例4 （1）已知曲线y＝ex在点（x1，ex1）处与曲线y＝ln x在点（x2，ln x2）处的切线相同，则（x1＋1）（x2－1）＝ －2 .
解析 易知曲线y＝ex在点（x1，ex1）处的切线方程为y－ex1＝ex1（x－x1），即y＝ex1x－ex1x1＋ex1，曲线y＝ln x在点（x2，ln x2）处的切线方程为y－ln x2＝1x2（x－x2），即y＝1x2x－1＋ln x2，于是ex1＝1x2 ①，ex1－ex1x1＝－1+ln x2 ②，由①得x2＝1ex1，代入②得ex1－ex1x1＝－1＋ln 1ex1＝－1－x1，即ex1＝x1+1x1－1，所以x2＝x1－1x1+1，所以x2－1＝x1－1x1+1－1＝－2x1+1，得（x1＋1）·（x2－1）＝－2.
（2）[全国卷Ⅱ]若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln（x＋1）的切线，则 b＝ 1－ln2 .
解析 设y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2，y＝ln（x＋1）分别相切于点（x1，y1），（x2，y2），则k＝y1－y2x1－x2，即k＝1x1＝1x2+1＝ln x1+2－ln（x2+1）x1－x2，解得k＝2，（另解：y＝ln（x＋1）的图象向右平移一个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到y＝ln x＋2的图象，故k＝2）
x1＝12，y1＝2－ln 2，因为点（12，2－ln 2）在直线y＝kx＋b上，所以2－ln 2＝2×12＋b，解得b＝1－ln 2.
方法技巧
曲线的公切线问题的求解方法
（1）求出两曲线各自的切线方程，利用两曲线的切线重合列方程组求解.
（2）设公切线与两曲线y＝f（x），y＝g（x）的切点分别为（x1，f（x1）），（x2，
g（x2）），则有f '（x1）＝g'（x2）＝f（x1）－g（x2）x1－x2，根据此列式求解.
训练3 （1）已知函数f（x）＝ax2与g（x）＝ln x的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为 12e .
解析 设公共点为P（x0，y0）（x0＞0），则ax02＝ln x0 ①.
由f（x）＝ax2，得f '（x）＝2ax，由g（x）＝ln x，得g'（x）＝1x.
因为函数f（x）与g（x）的图象在公共点P（x0，y0）处有共同的切线，所以f '（x0）＝
g'（x0），即2ax0＝1x0，得a＝12x02，代入①得12x02·x02＝ln x0，即ln x0＝12，得x0＝e12，所以a＝12x02＝12·（e12）2＝12e.
（2）曲线y＝－1x（x＜0）与曲线y＝ln x的公切线的条数为 1 .
解析 设（x1，y1）是公切线与曲线y＝－1x（x＜0）的切点，x1＜0，则切线斜率k1＝
（－1x）' x＝x1＝1x12，切线方
程为y＋1x1＝1x12（x－x1），整理得y＝1x12·x－2x1 ①.设（x2，y2）是公切线与曲线y＝ln x的切点，则切线斜率k2＝（ln x）' x＝x2＝1x2，切线方程为y－ln x2＝1x2（x－x2），整理得y＝1x2·x＋ln x2－1 ②.
由①②得1x12＝1x2，－2x1＝ln x2－1，消去x2得－2x1＝ln x12－1＝2ln（－x1）－1.
设t＝－x1＞0，则2ln t－2t－1＝0，只需探究此方程解的个数.
易知函数f（x）＝2ln x－2x－1在（0，＋∞）上单调递增，f（1）＝－3＜0，f（e）＝1－2e＞0，所以f（x）＝0有唯一解，即2ln t－2t－1＝0有唯一解，所以两曲线的公切线的条数为1.
1.[命题点1]已知f（x）＝（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）（x－5）（x－6），则
f '（3）＝ －12 .
解析 易得f '（x）＝（x－3）'[（x－1）（x－2）（x－4）（x－5）（x－6）]＋（x－3）·[（x－1）（x－2）（x－4）（x－5）（x－6）]'，则f '（3）＝2×1×（－1）×
（－2）×（－3）＝－12.
2.[命题点2角度2/2021新高考卷Ⅰ]若过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则（ D ）
A.eb＜aB.ea＜b
C.0＜a＜ebD.0＜b＜ea
解析 解法一（数形结合法） 设切点为（x0，ex0），则切线方程为y－ex0＝ex0（x－x0），因为切线过点（a，b），所以b－ex0＝ex0（a－x0），ex0（1－x0＋a）＝b，则由题意知关于x0的方程ex0（1－x0＋a）＝b有两个不同的解.设f（x）＝ex（1－x＋a），则
f'（x）＝ex（1－x＋a）－ex＝－ex（x－a）.由f'（x）＝0得x＝a，当x＜a时，f '（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞a时，f '（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（a）＝ea（1－a＋a）＝ea.当x＜a时，a－x＞0，所以f（x）＞0，当x→－∞时，f（x）→0，当x→＋∞时，f（x）→－∞，（提示：判断函数极值点左右两侧的图象特征很重要，需掌握用极限思想判断函数图象的趋势，从而能准确作出草图）
则函数f（x）＝ex（1－x＋a）的大致图象如图1所示.因为f（x）的图象与直线y＝b有两个交点，所以0＜b＜ea.故选D.
图1图2
解法二（用图估算法） 作出曲线y＝ex，如图2所示，过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则点（a，b）在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0＜b＜ea.故选D.
3.[命题点2角度2]若点P（1，a）不在f（x）＝x3－ax的图象上，且过点P仅能作一条直线与f（x）的图象相切，则a的取值范围为 （－∞，0）∪（12，＋∞） .
解析 点P（1，a）不在f（x）＝x3－ax的图象上，则f（1）＝1－a≠a，即a≠12.设过点
P（1，a）的直线与 f（x）＝x3－ax的图象切于点Q（t，t3－at），f '（x）＝3x2－a，则切线的斜率k＝f'（t）＝t3－at－at－1，即3t2－a＝t3－at－at－1，整理得2t3－3t2＋2a＝0，问题转化为
g（t）＝2t3－3t2＋2a仅有1个零点.g'（t）＝6t2－6t，令g'（t）＝0，得t＝0或t＝1，所以g（0）·g（1）＞0，（数形结合可得）
即2a（2a－1）＞0，所以a＞12或a＜0.
4.[命题点2/2021新高考卷Ⅱ]已知函数f（x）＝｜ex－1｜，x1＜0，x2＞0，函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1））和点B（x2，f（x2））处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则｜AM｜｜BN｜的取值范围是 （0，1） .
解析 解法一（构造函数法） f（x）＝｜ex－1｜＝ex－1，x≥0，1－ex，x