四川省2024-2025学年高二上学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份四川省2024-2025学年高二上学期第二次月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系可求得该直线的倾斜角.
直线的斜率为，故该直线的倾斜角为.
故选：B.
2. 若随机事件A，B满足，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由概率的性质即可得到答案.
由概率的性质，
.
故选：B.
3. 已知直线，互相平行，且之间的距离为，则（）
A. 或3B. 或4C. 或5D. 或2
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据两直线平行由系数的关系求出参数，然后由平行线间的距离公式求出参数，最后由即可求出答案.
由可得，解得，则直线的方程为，由，即，解得或，故或，即.
故选：A.
【点睛】本题考查了两平行直线间系数的关系，考查了平行直线间距离公式的应用，考查了运算能力，属于一般难度的题.
4. 下列命题中正确的是（）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为
D. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则
【答案】C
【解析】
【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D.
对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；
对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，
，有，则或，B选项错误；
对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，
则直线l与平面所成的角为，C选项正确；
对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，
若，则，解得，D选项错误.
故选：C.
5. 已知，则“”是“直线和直线垂直”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线垂直的等价条件，求出的取值，根据包含关系即可得到结论
直线和直线垂直，
则，解得或，
所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件，
故选：A，
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂直的等价条件是解决本题的关键，属于基础题，
6. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长.
由题意可知：，
则
，
所以.
故选：C.
7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用点关于直线对称点，找出最短路程.
先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.
如图所示，
设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
8. 如图，在长方体中，已知.动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止.它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设运动时间为且，构建如图示空间直角坐标系，令，到面的距离恒为1且在面上的射影为，根据线面角定义求正切值.
设运动时间为，且，构建如图示空间直角坐标系，不妨令，
显然到面的距离恒为1，且在面上的射影为，
则，则，
所以.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某中学三个年级学生共2000人，且各年级人数比例如以下扇形图.现因举办校庆活动，以按比例分配的分层抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有人，则下列说法正确的有（）
A. 该学校高一学生共人B. 志愿服务小组共有学生96人
C. 志愿服务小组中高三学生共有人D. 某高三学生被选入志愿服务小组的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用扇形图特点和分层抽样的概念，即可判断.
对于A：由图可知，高三年级学生人数占总人数的，高二年级学生人数占总人数的，
所以高一年级学生人数占总人数的，
所以高一学生共人，故A正确；
对于B：因为，所以志愿服务小组共有学生人，故B错误；
对于C：因志愿服务小组中高三学生共有人，故C正确；
对于D：高三学生共人，志愿服务小组中高三学生共有人，
所以某高三学生被选入志愿服务小组的概率为，故D错误；
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（）
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. 若三点在一条直线上，则
C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D. 直线方向向量为，则该直线的斜率为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用直线相关知识分别判断每一个选项即可.
直线的斜率，所以其倾斜角为，A正确；
若三点在一条直线上，则斜率等于斜率，得，B错误；
过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线存在一条过原点，显然不过原点，C错误；
直线的方向向量为，则斜率，D正确.
故选：AD
11. 据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（）
A. 和是互斥事件但不是对立事件B. 和是互斥事件也是对立事件
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可.
事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”、“选择历史学科”、“选择地理学科”，
所以事件“选择政治学科”，包含于事件，故事件、可以同时发生，不是互斥事件，A错；
事件“选择一门理科学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生，
且必有一个事件发生，故和是互斥事件也是对立事件，B对；
由题意可知，，所以，C错；
事件事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生，
故和是互斥事件，所以，D对.
故选：BD.
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆的圆心坐标为，且点在圆上，则圆的一般方程为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据点在圆上，可得半径，进而可圆的方程.
由已知点在圆上，
则，
即圆的方程为，
即，
故答案为：.
13. 已知一组数据的平均数为10，方差为2，若这组数据，的平均数为，方差为，则________________________.
【答案】 ①. 19 ②. 8
【解析】
【分析】利用平均数的性质和方差的性质求解．
因为平均数为，方差为，
所以，的平均数为,
方差为.
故答案为：19；8.
14. 两条异面直线a，b所成的角为，在直线上取点A，E，在直线上取点B，F，使，且.已知，则线段AB的长为____________.
【答案】12或
【解析】
【分析】根据题意，画出相应示意图，且，，，则，，分两种情况求对应线段AB的长.
由题意，有如下两种情况，且，，，则，，
如上图，，又，即，
则，
又，则，
如上图，，又，即，
则，
又，则，
所以线段AB的长为12或.
故答案为：12或
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由．
【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；
（2）不公平，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题设的概率可得关于球数的方程组，求出其解后可得不同颜色的求出.
（2）利用列举法可求甲胜或乙胜的概率，从而可判断游戏是否公平.
【小问1详解】
设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B，
则，
由已知得，解得，
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；
【小问2详解】
由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个，
用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，
表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间，．
可得，
记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，
则，所以，
所以，
因为，所以此游戏不公平．
16. 已知直线.
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，求的面积的最小值及此时直线的一般式方程.
【答案】（1）
（2）4，.
【解析】
【分析】（1）要使直线不经过第四象限，则直线的斜率和直线在轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围；
（2）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值.
【小问1详解】
直线的方程为：，则
则直线l在y轴上的截距为，要使直线l不经过第四象限，
则，解得，
的取值范围是.
【小问2详解】
由题意可知，再由的方程，得，.
依题意得，解得.
，
“”成立的条件是且，即，
，此时直线的方程为.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过点在平面内作，垂足为，求出、的长，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面；
（2）利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【小问1详解】
过点在平面内作，垂足为，
因为，，，，，则四边形为矩形，
所以，，，则，且，
又因为平面，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0、、、、、P0,0,1，
因为为的中点，则，，
，，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，令，得，
因为，即，
又因为平面，所以平面.
【小问2详解】
又，由（1）知平面的一个法向量为，
所以，点到平面的距离为，
故点到平面的距离为.
18. 某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．
（一）人数统计表（二）各年龄段人数频率分布直方图
（1）在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值；
（2）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．
【答案】（1）频率分布直方图见解析；，，；
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据频率分布直方图中所有小长方形面积和为1得第二组的频率，除以组距得高，再补全直方图，根据频率等于频数除以总数求得、、
（2）先根据分层抽样确定两区间抽取人数，利用列举法确定总的基本事件数，以及岁中被抽取的人恰好又分在同一组的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.
【小问1详解】
结合频率分布直方图可知，第二组的频率为，
所以第二组高为．故补全频率分布直方图如下：
结合人数统计表与频率分布直方图，可知第一组的人数为，频率为，所以；
因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以；
因为第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以．
【小问2详解】
因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比为，
所以采用分层抽样法抽取6人，则在岁中抽取4人，在岁中抽取2人．
设年龄在中被抽取的4个人分别为：；
年龄在岁中被抽取的2个人分别为：；
则总的基本事件有：,,,,,……，共20个；
记“岁中被抽取的人恰好有分在同一组” 为事件C，而事件C包含的基本事件有8个；
所以.
【点睛】频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.
19. 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且.
（1）求证：平面
（2）求棱与BC所成的角的大小；
（3）在线段上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）为棱的中点，
【解析】
【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，再由线面垂直的判断定理得到证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量公式求解即可；
（3）利用已知条件求出点P的坐标，利用向量法求解平面角的余弦值.
【小问1详解】
因为三棱柱中，，所以，
因为顶点在底面上的射影恰为点，即平面，
由平面，则，
且∥，可得，
又因为，平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
以A为原点，射线，，分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
可得，，
设棱与BC所成的角为，
所以，
又因为，所以，
故棱与BC所成的角为.
【小问3详解】
设，则，
于是，解得，
则P为棱的中点，其坐标为，
设平面的一个法向量，则，
令，则，可得，
而平面的一个法向量，
则，
由题意可知：二面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值是.
序号
分组（岁）
本组中“低碳族”人数
“低碳族”人数在本组所占的比例
1
[25, 30)
120
0.6
2
[30, 35)
195
p
3
[35, 40)
100
0.5
4
[40, 45)
a
0.4
5
[45, 50)
30
0.3
6
[55 60)
15
0.3