山西省大同市2024-2025学年高一上学期期中教学质量检测数学试卷(含答案)

这是一份山西省大同市2024-2025学年高一上学期期中教学质量检测数学试卷(含答案)，共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．下列关于x,y的关系中,y是x的函数的是( )
A.B.
C.D.
3．设,,则下列不等式中不正确的是( )
A.B.C.D.
4．如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置,则该同学散步行走的路线可能是( )
A.B.C.D.
5．命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
6．设,若是的最小值,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．荀子曰“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情如果不去一点一点积累,就永远无法达成目标的哲理.由此可得“积跬步”是“至千里”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知正实数m,n满足,则的最小值是( )
A.25B.16C.18D.8
二、多项选择题
9．若集合A具有以下性质:①集合中至少有两个元素;②若,则,,且当时,.这样的集合A被称为“紧密集合”.以下说法正确的是( )
A.整数集是“紧密集合”
B.实数集是“紧密集合”
C.“紧密集合”可以是有限集
D.若集合A是“紧密集合”,且x,,则
10．一般地,若函数的定义域为,值域为,则称为的“k倍跟随区间”;若函数的定义域为,值域也为,则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是( )
A.若为的跟随区间,则
B.函数存在跟随区间
C.若函数存在跟随区间,则
D.二次函数存在“3倍跟随区间”
三、填空题
11．已知二次函数的图像过原点,且,,则的取值范围是________.
12．已知为R上的奇函数,,若对任意,,当时,都有,则不等式的解集为________.
四、解答题
13．（1）已知,,求的值:
（2）已知,求的值.
14．已知函数,且.
（1）求的值;
（2）若,求实数m的取值范围.
15．设函数,.
（1）当时,求函数的最大值和最小值:
（2）若函数的最小值为,求.
16．函数的定义域为,且满足对于任意,,有.
（1）求的值;
（2）判断的奇偶性并证明你的结论;
（3）如果,,且在上是增函数,求x的取值范围.
17．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为时,该公司对函数模型的基本要求是：当时,①是增函数;②恒成立;③恒成立.
(1)现有两个奖励函数模型：①;②.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由题设得,故选A.
2．答案：D
解析：对于A,不等式的解集为,所以y不是x的函数;
对于B,当时,有两个y与x对应,所以y不是x的函数;
对于C,当时,有两个y与x对应,所以y不是x的函数;
对于D,满足y与x的一一对应,所以y是x的函数.故选D.
3．答案：C
解析：因为在上是增函数,所以;
因为在上是减函数,所以;
当时,,所以C不成立;
因为;所以.故选C.
4．答案：D
解析：由已知函数图像可知,有一段时间该同学离家距离保持不变,结合选项可知只有D中的路线符合要求.故选D.
5．答案：C
解析：全称量词命题的否定为存在量词命题,所以该命题的否定为“,”.故选C.
6．答案：B
解析：当时,,是的最小值,所以,
当时,,当且仅当时等号成立,要满足是的最小值,需,即,解得.
所以a的取值范围是.故选B.
7．答案：A
解析：荀子的名言表明积跬步未必能至千里,但要至千里必须积跬步,故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.故选A.
8．答案：B
解析：由得,又,因为,,所以原式,当且仅当,即,时等号成立.故选B.
9．答案：BC
解析：若,,而,故整数集不是“紧密集合”,A错误;
根据“紧密集合”的性质,知实数集是“紧密集合”,B正确;
集合是“紧密集合”,故“紧密集合”可以是有限集,C正确;
集合是“紧密集合”,当,时,,D错误,
故选BC.
10．答案：ACD
解析：对于A,由已知可得函数在区间上单调递增,由,解得或（舍去）,所以,A正确;
对于B,若存在跟随区间,因为函数在单调区间上单调递减,则由解得或,不满足,故不存在,B不正确;
对于C,由已知得,函数在定义域上单调递减,若存在跟随区间,则有即两式作差得,,即,又,所以,易得,所以,设,由于,所以,即,则,解得,C正确;
对于D,若函数存在3倍跟随区间,设定义域为,值域为,当时,易得函数在定义域上单调递增,则a,b是方程的两个不相等的实数根,解得或,故存在定义域为使得值域为,D正确.故选ACD.
11．答案：
解析：设,
由,得
所以,又,
所以,
即的取值范围是.
12．答案：
解析：令,又为R上的奇函数,
所以为R上的偶函数,且,
又对任意,,当时,都有,
即相当于,
所以在上单调递减,
又,所以,
所以不等式,
即,所以,即,
又,所以中,要满足成立,
还需,即
所以.
13．答案：（1）
（2）
解析：（1）
（2）因为,所以,
又,所以.
14．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以,即,所以
（2）由于,所以其定义域为,
又在上是增函数.
由可得,解得,
所以实数m的取值范围为.
15．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）当时,函数,,所以函数的最大值为,最小值为.
（2）的对称轴为直线;
①当,即时,此时在上单调递增,所以当时函数取得最小值;
②当,即时,此时在上单调递减,所以当时函数取得最小值;
③当,即时,此时在上先减后增,所以函数在时取得最小值,即.
16．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）因为对于任意,,都有,所以令,得,所以.
（2）为偶函数.
证明如下:的定义域关于原点对称,
令,有,所以.
令,,有,
所以,所以为偶函数.
（3）依题设有,由（2）知是偶函数,
所以等价于,
又在上是增函数,
所以,
解得且,
所以x的取值范围是.
17．答案：(1)函数模型：②符合公司要求;
(2)．
解析：(1)对于函数模型：①,验证条件③：当时而，即不成立,故不符合公司要求;
对于函数模型：②,当时,条件①是增函数满足;
,满足条件②;
对于条件③：记
则
,当时,
恒成立,即条件③也成立.
故函数模型： ②符合公司要求.
(2) ,函数符合条件①;
由函数符合条件②,得,解得：;
由函数符合条件③,得对恒成立,
即对恒成立.
,当且仅当,即时等号成立,
综上所述,实数a的取值范围．