广东省深圳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（A卷）

这是一份广东省深圳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（A卷），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直线3x+4y﹣5＝0的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知等比数列{an}，若a4＝2，a6＝3，则a2＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）若椭圆的右焦点坐标为（1，0），则λ的值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
4．（5分）设两直线l1：（m+1）x﹣y﹣3＝0，l2：2x+my+1＝0相互垂直，则m的值为（ ）
A．1B．2C．﹣2D．﹣3
5．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的任意一点，则|PF1|•|PF2|的最大值是（ ）
A．9B．16C．25D．
6．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＜0，S7＝S17，则当Sn取得最小值时，n的值为（ ）
A．10B．12C．15D．24
7．（5分）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限步后，必然进入循环1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如取正整数m＝5，根据上述运算法则得出5→16→8→4→．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{an}满足：a1＝m（m为正整数），当m＝3时，a1+a2+a3+…+a20＝（ ）
A．72B．77C．82D．87
8．（5分）“a2+b2＜R2”是“圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝R2与坐标轴有四个交点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分必要条件
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知两椭圆x2+4y2＝1和4x2+y2＝4，则（ ）
A．两椭圆有相同的焦点
B．两椭圆的离心率相等
C．两椭圆有4个交点
D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心
（多选）10．（6分）已知数列{an}，{bn}满足an＝bn﹣n+1，且bn+1＝2bn，则（ ）
A．当a1≠0时，{bn}是等比数列
B．b3＝4a1+2
C．当b1＝0时，{an}是等差数列
D．当b1＝2时，{an}是递增数列
（多选）11．（6分）已知实数x，y满足方程，则（ ）
A．（x﹣2）2+y2的取值范围是[0，5]
B．的取值范围是
C．2x﹣y的取值范围是
D．|x+y﹣5|的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若直线2mx+y﹣（m+3）＝0，x﹣y+1＝0，3x﹣y﹣1＝0交于一点，则m＝ ．
13．（5分）已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝an+1，若，则数列{cn}的前n项和Tn＝ ．
14．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝3|F2B|，|AB|＝2|AF1|，且△ABF1的面积为4，则椭圆C的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知椭圆的方程为，设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴的交点为A．
（1）求△AF1F2的周长；
（2）设过椭圆的右焦点F2，且斜率为1的直线l与椭圆交于B，C两点，求弦BC的长．
16．（15分）已知圆O1：x2+y2﹣4＝0，圆O2：x2+y2+6x﹣6y+8＝0．
（1）求证：两圆O1，O2相交；
（2）设两圆交于A，B两点，求四边形O1AO2B的面积．
17．（15分）已知数列{an}中，a1＝﹣1，．
（1）求证：数列{2n﹣1•an}为等差数列，并求an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
18．（17分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），A（0，﹣2），在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率存在的直线l交椭圆C于M，N两点，且线段MN的中点P的横坐标为﹣2，过P作新直线l′⊥l，
①求直线l和直线OP的斜率之积；
②证明新直线l′恒过定点，并求出该定点的坐标．
19．（17分）在所有不大于kn（k，n∈N*，k≥2）的正整数中，记既不能被2整除也不能被3整除的个数记为Fk（n）．（注：一个自然数能被p和q整除当且仅当其能被p，q的最小公倍数整除，如能被5和3整除等价于能被15整除）
（1）求F6（1），F6（2）的值（不需说明）；
（2）求F6（n）关于n的表达式；
（3）若数列{an}满足an＝，记数列{an}的前n项和为Sn，求证：对于∀n∈N*，均有．
2024-2025学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）直线3x+4y﹣5＝0的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将直线方程化为斜截式，即可求出直线的斜率．
【解答】解：直线3x+4y﹣5＝0即，
所以直线的斜率为．
故选：C．
2．（5分）已知等比数列{an}，若a4＝2，a6＝3，则a2＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等比数列的性质求解．
【解答】解：等比数列{an}，a4＝2，a6＝3，
∴．
故选：C．
3．（5分）若椭圆的右焦点坐标为（1，0），则λ的值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】B
【分析】由椭圆的性质直接求解即可．
【解答】解：因为椭圆右焦点坐标为 （1，0），
所以 c＝1，且椭圆焦点在x轴上，
故 λ＝4﹣c2＝3．
故选：B．
4．（5分）设两直线l1：（m+1）x﹣y﹣3＝0，l2：2x+my+1＝0相互垂直，则m的值为（ ）
A．1B．2C．﹣2D．﹣3
【答案】C
【分析】根据题意，由直线垂直的性质可得2（m+1）﹣m＝0，解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：直线l1：（m+1）x﹣y﹣3＝0，l2：2x+my+1＝0相互垂直，
故2（m+1）﹣m＝0，解得m＝﹣2．
故选：C．
5．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的任意一点，则|PF1|•|PF2|的最大值是（ ）
A．9B．16C．25D．
【答案】C
【分析】设P（x0，y0），，，|PF1|•|PF2|＝25﹣，由此可求出|PF1|•|PF2|的最大值．
【解答】解：设P（x0，y0），，，
∴|PF1|•|PF2|＝25﹣，
∴|PF1|•|PF2|的最大值是25，
故选：C．
6．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＜0，S7＝S17，则当Sn取得最小值时，n的值为（ ）
A．10B．12C．15D．24
【答案】B
【分析】根据前n项和的定义结合等差数列性质可得a12+a13＝0，进而分析数列{an}的符号性，即可得结果．
【解答】解：S7＝S17，
则S17﹣S7＝0，即a8+a9+•••+a17＝0，
又因为数列{an}为等差数列，则a8+a17＝a9+a16＝•••＝a12+a13，
可得5（a12+a13）＝0，即a12+a13＝0，
且a1＜0，可知a12＜0，a13＞0，
即当n≥13时，an＞0；当n≤12时，an＜0；
所以当Sn取得最小值时，n的值为12．
故选：B．
7．（5分）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限步后，必然进入循环1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如取正整数m＝5，根据上述运算法则得出5→16→8→4→．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{an}满足：a1＝m（m为正整数），当m＝3时，a1+a2+a3+…+a20＝（ ）
A．72B．77C．82D．87
【答案】B
【分析】由a1＝3，推得数列{an}从第六项起呈现4，2，1的循环，计算可得所求和．
【解答】解：由a1＝3，a2＝10，a3＝5，a4＝16，a5＝8，a6＝4，a7＝2，a8＝1，a9＝4，…，
可得数列{an}从第六项起呈现4，2，1的循环，
故a1+a2+a3+a4+a5+（a6+a7+a8+...+a20）＝3+10+5+16+8+5×（4+2+1）＝42+35＝77．
故选：B．
8．（5分）“a2+b2＜R2”是“圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝R2与坐标轴有四个交点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分必要条件
【答案】A
【分析】根据点与圆位置关系的几何意义即可判断．
【解答】解：由a2+b2＜R2，可以表示为点（0，0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝R2的内部，
此时圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝R2与坐标轴有四个交点，则充分性成立；
反之，由圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝R2的方程可知，圆心为（a，b），半径为R，
则要使圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝R2与坐标轴有四个交点，
则|a|＜R，|b|＜R，则a2+b2＜2R2，则必要性不成立，
故“a2+b2＜R2“是“圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝R2成立的充分不必要条件．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知两椭圆x2+4y2＝1和4x2+y2＝4，则（ ）
A．两椭圆有相同的焦点
B．两椭圆的离心率相等
C．两椭圆有4个交点
D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心
【答案】BD
【分析】根据椭圆的几何性质，即可求解．
【解答】解：对于A选项，椭圆E即为，椭圆 E2 即为，
它们的焦点分别在x，y轴上，所以A选项错误；
对于B选项，因为E1，E2 的离心率均为，所以B选项正确；
对于C，联立，可得x＝±1，y＝0，
所以E1 与E2 有2个公共点，故C错误；
对D选项，显然两椭圆有相同的对称轴和对称中心，∴D选项正确．
故选：BD．
（多选）10．（6分）已知数列{an}，{bn}满足an＝bn﹣n+1，且bn+1＝2bn，则（ ）
A．当a1≠0时，{bn}是等比数列
B．b3＝4a1+2
C．当b1＝0时，{an}是等差数列
D．当b1＝2时，{an}是递增数列
【答案】ACD
【分析】对于A，当a1≠0时，由b1＝b1﹣1+1＝a1≠0，且bn+1＝2bn，得{bn}是等比数列；对于B，由已知得4a1＝4（b1﹣1+1）＝4b1＝2b2＝b3；对于C，当b1＝0时，由bn+1＝2bn，得bn＝0，an＝bn﹣n+1＝﹣n+1，推导出an+1﹣an＝﹣1，故{an}是等差数列；对于D，由bn+1＝2bn，得，推导出{an}是递增数列．
【解答】解：数列{an}，{bn}满足an＝bn﹣n+1，且bn+1＝2bn，
对于A，当a1≠0时，由b1＝b1﹣1+1＝a1≠0，且bn+1＝2bn，
故{bn}是等比数列，故A正确；
对于B，由已知有4a1＝4（b1﹣1+1）＝4b1＝2b2＝b3，故B错误；
对于C，当b1＝0时，由bn+1＝2bn得bn＝0，
∴an＝bn﹣n+1＝﹣n+1，
∴an+1﹣an＝（﹣n﹣1+1）﹣（﹣n+1）＝﹣1，故{an}是等差数列，故C正确；
对于D，∵bn+1＝2bn，∴，
∴an+1﹣an＝[bn+1﹣（n+1）+1]﹣（bn﹣n+1）＝bn+1﹣bn﹣1＝2bn﹣bn﹣1＝bn﹣1＞0，
∴{an}是递增数列，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（6分）已知实数x，y满足方程，则（ ）
A．（x﹣2）2+y2的取值范围是[0，5]
B．的取值范围是
C．2x﹣y的取值范围是
D．|x+y﹣5|的取值范围是
【答案】BCD
【分析】直接利用直线与圆的位置关系，进一步利用点斜式，点到直线的距离，以及直线的截距判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：由于实数x，y满足，
所以方程 表示的几何图形为单位圆位于y轴右侧的部分（包括y轴上两点），
其中T（1，0），M（0，1），N（0，﹣1），
如图所示：
对于A，（x﹣2）2+y2 何意义为 上的点到（2，0）的距离的平方，
所以|TQ|2 为最小值，最小值为1，|MQ|2 或|NQ|2 取得最大值，最大值为 22+12＝5，
所以（x﹣2）2+y2 的取值范围是[1，5]，选项A错误；
对于B，的几何意义是半圆上的点（x，y）与A（﹣1，﹣2）的连线的斜率，
设过点A（﹣1，﹣2）的直线为y+2＝k（x+1），则，
解得，此时为最小斜率，直线AM的斜率为最大值，即 ，
所以斜率的取值范围是，选项B正确；
对于C，设2x﹣y＝t，则y＝2x﹣t，﹣t为直线y＝2x﹣t 与y轴的交点的纵坐标，
当y＝2x﹣t与的图形相切于H时，﹣t取得最小值，t取得最大值，
由，解得 （负值舍去），
当y＝2x﹣t过点M（0，1）时，﹣t取得最大值，t取得最小值，1＝0﹣t，解得t＝﹣1，
所以2x﹣y的取值范围是，选项C正确；
对于D， 的几何意义是上的点到x+y﹣5＝0的距离，
过点O作OJ⊥直线x+y﹣5＝0于点J，与 的图形交于点S，
则SJ即为 上的点到x+y﹣5＝0 的距离最小值，其中，
所以，过点N作NK⊥直线x+y﹣5＝0于点K，
则NK即为 上的点到x+y﹣5＝0的距离最大值，最大值为，
所以 的取值范围是，
所以|x+y﹣5|的取值范围是，选项D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若直线2mx+y﹣（m+3）＝0，x﹣y+1＝0，3x﹣y﹣1＝0交于一点，则m＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】由题意可得直线x﹣y+1＝0和3x﹣y﹣1＝0的交点（1，2）在2mx+y﹣（m+3）＝0上，从而求得m的值．
【解答】解：联立，解得，即交点为（1，2），
代入直线2mx+y﹣（m+3）＝0，可得m＝1．
故答案为：1．
13．（5分）已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝an+1，若，则数列{cn}的前n项和Tn＝ ﹣ ．
【答案】﹣．
【分析】由等差数列的通项公式求得an，再由数列的裂项相消求和，可得所求和．
【解答】解：a1＝2，an+1＝an+1，即an+1﹣an＝1，
由等差数列的通项公式可得an＝2+n﹣1＝n+1，
则，
可得．
故答案为：﹣．
14．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝3|F2B|，|AB|＝2|AF1|，且△ABF1的面积为4，则椭圆C的方程为 ．
【答案】．
【分析】根据椭圆的几何性质及题意，建立方程，即可求解．
【解答】解：设|BF2|＝m，则|AF2|＝3m，
所以|AB|＝|AF2|+|BF2|＝4m，又|，|AB|＝2|AF1|，
所以|AF1|＝2m，
又|AF1|+|AF2|＝2m+3m＝5m＝2a，所以，
所以，，，，
所以，
所以sin∠F1AB＝，
所以，
所以，
所以5c2＝2a2，又三角形ABF1的面积为，
所以，
所以，所以a2＝25，
所以c2＝10，所以b2＝a2﹣c2＝15，
所以椭圆C的方程为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知椭圆的方程为，设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴的交点为A．
（1）求△AF1F2的周长；
（2）设过椭圆的右焦点F2，且斜率为1的直线l与椭圆交于B，C两点，求弦BC的长．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用椭圆的定义结合焦点三角形的性质即可求解；
（2）由题可得直线l的方程为：y＝x﹣1，联立椭圆的方程，由根与系数的关系可得，然后利用弦长公式即可求解．
【解答】解：（1）由题，a＝，c＝1，
所以；
（2）由题，右焦点为F2（1，0），直线l的斜率为1，
所以直线l的方程为：y＝x﹣1，设B（x1，y1），C（x2，y2），
联立，化简得9x2﹣10x﹣15＝0，
所以，
所以＝
＝＝．
16．（15分）已知圆O1：x2+y2﹣4＝0，圆O2：x2+y2+6x﹣6y+8＝0．
（1）求证：两圆O1，O2相交；
（2）设两圆交于A，B两点，求四边形O1AO2B的面积．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）6．
【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，求出圆心距，进而得到结论；
（2）求出两圆的公共弦所在直线方程，求得圆心到直线的距离，进而求解结论．
【解答】证明：（1）圆 O1：x2+y2﹣4＝0的圆心O1（0，0），半径r＝2，
圆O2：x2+y2+6x﹣6y+8＝0，即 的圆心O2（﹣3，3），半径，
可得，即R﹣r＜|O1O2|＜R+r，
所以两圆相交．
解：（2）设A（x，y），则其同时满足两圆的方程：x2+y2＝4，（x+3）2+（y﹣3）2＝10，
故其也满足两式之差：x2+y2﹣[（x+3）2+（y﹣3）2]＝4﹣10，化简得一直线方程l：x﹣y+2＝0，
即A在直线l上，同理点B也在直线l上，因此l：x﹣y+2＝0就是直线AB的方程．
O1到直线l的距离，由垂径定理可得．
因为O1O2⊥AB，四边形O1AO2B的面积S＝|AB|•|O1O2|＝×2×3＝6．
17．（15分）已知数列{an}中，a1＝﹣1，．
（1）求证：数列{2n﹣1•an}为等差数列，并求an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）．
【分析】（1）由已知数列的递推式可得，运用等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：（1）因为，所以，
故，
即数列 {2m﹣1•an} 是以﹣1为首项，2为公差的等差数列，
故2n﹣1an＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3，
所以；
（2）依题意可得，
，
两式相减可得，
所以．
18．（17分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），A（0，﹣2），在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率存在的直线l交椭圆C于M，N两点，且线段MN的中点P的横坐标为﹣2，过P作新直线l′⊥l，
①求直线l和直线OP的斜率之积；
②证明新直线l′恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）；
（2）①；
②证明见解析，定点为．
【分析】（1）由已知条件列方程组，求出a，b即可得解；
（2）①利用点差法即可得解；
②由①及l′⊥l，可得直线l′的方程为，即可得证l′过定点．
【解答】解：（1）由题可得，
故椭圆C的方程为：；
（2）①由题，设P（﹣2，y0），M（x1，y1）、N（x2，y2），显然x1≠x2，如图，
联立，两式作差变形得，
因为P为线段MN的中点，所以，
又，，
所以，
即直线l和直线OP的斜率之积为；
②证明：由①可得直线l的斜率为，
又l′⊥l，所以直线l′的方程为，
即，
所以新直线l′过定点，坐标为．
19．（17分）在所有不大于kn（k，n∈N*，k≥2）的正整数中，记既不能被2整除也不能被3整除的个数记为Fk（n）．（注：一个自然数能被p和q整除当且仅当其能被p，q的最小公倍数整除，如能被5和3整除等价于能被15整除）
（1）求F6（1），F6（2）的值（不需说明）；
（2）求F6（n）关于n的表达式；
（3）若数列{an}满足an＝，记数列{an}的前n项和为Sn，求证：对于∀n∈N*，均有．
【答案】（1）2，12；（2）F6（n）＝2×6n﹣1；（3）证明见解答．
【分析】（1）分别考虑在不大于6和36的所有正整数中，既不能被2整除也不能被3整除的个数，可得结论；
（2）分别考虑在不大于6n的所有正整数中，能被2整除的个数和能被3整除的奇数个数，可得结论；
（3）运用不等式的放缩法和等比数列的求和公式，即可得到证明．
【解答】解：（1）在不大于6的所有正整数中，既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，共2个，
即有F6（1）＝2；
在不大于36的所有正整数中，能被2整除的共有18个，能被3整除的奇数个数为6，
F6（2）＝36﹣18﹣6＝12；
（2）在不大于6n的所有正整数中，能被2整除的数有个，能被3整除的数有 个，
能被2和3同时整除的数，即是能被6整除的数，其个数有 个，
所以满足题意的表达式为 ；
（3）证明：由（2）知，当n＝1 时，，所以S1＝5，
当n≥2时，，
（上式放缩用到了不等式性质，若a＞b＞0，c＞0，则）
则n≥2时，，
也即，
综上可得， 对于∀n∈N* 成立，即证.