上海市黄浦区卢湾高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份上海市黄浦区卢湾高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题，附加题，附加题二等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知全集，集合，，则______．
2．（3分）已知等式恒成立，则______．
3．（3分）若幂函数的图像经过，则此函数的表达式为____________．
4．（3分）已知方程的两个根为，，则______．
5．（3分）已知，，化简______．
6．（3分）若实数，则的最小值为______．
7．（3分）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为__________________．
8．（3分）满足的集合有______个．
9．（3分）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为____________．
10．（3分）已知，，试用，表示__________________．
11．（3分）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是____________．
12．（3分）已知函数，若该函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，则实数的取值范围为__________________．
二、选择题：本题共有4题，每小题4分，共16分。每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号填入下面的表格中，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个，一律得零分。
13．（4分）设有意义，有意义，若是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件
14．（4分）已知：，且，则（ ）
A．B．C．D．
15．（4分）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
16．（4分）假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于20m，肇事汽车在该路段的限速为30km/h．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：m）与刹车前的速度（单位：km/h）之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据：
对于以下两个结论：
①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为41km/h；
②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶．
其中正确的是（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共5题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知集合为不等式的解集．
（1）求集合；
（2）若，且，求实数的范围．
18．（8分）设，，，是四个正数．
（1）已知，比较与的值的大小；
（2）若，求证：，，，中至少有一个小于1．
19．（10分）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．设矩形温室的左侧边长为，蔬菜的种植面积为．
（1）用表示；
（2）当为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大值是多少？
20．（10分）已知，，关于的不等式．
（1）若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，解关于的不等式（解集用表示）．
21．（12分）已知，，，幂函数在区间上是严格增函数．
（1）求函数的表达式；
（2）若关于的不等式的解集中有且仅有5个整数，求实数的范围；
（3）若，关于的方程的两实根分别为，（其中），求的值．
四、附加题（高一（5）（6）（7）（8）班必做，其它班选做，每题5分，共10分）
22．（5分）对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，则不等式成立的充分非必要条件是（ ）
A．B．C．D．
23．（5分）方程的两个根均大于1，则实数的取值范围是__________________．
五、附加题二（高一（8）班必做，其它班选做，共10分）
24．（10分）已知，，点在函数的图像上，且，则的最小值为__________________．
2024-2025学年上海市黄浦区卢湾高级中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分，把答案写在题中横线上．每个空格填对得全分，否则一律得零分．
1．【答案】．
【分析】结合交集、补集的定义，即可求解．
【解答】解：全集，，
则，
集合，
则．
故答案为：．
2．【答案】5．
【分析】由题意列出方程组，即可得答案．
【解答】解：因为恒成立，
即恒成立，
所以，
所以．
故答案为：5．
3．【答案】．
【分析】将点的坐标代入，即可确定解析式．
【解答】解：幂函数的图像经过，则，，
．
故答案为：．
4．【答案】3．
【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解．
【解答】解：因为方程的两个根为，，
所以，
则．
故答案为：3．
5．【答案】．
【分析】由已知结合指数幂的运算性质即可求解．
【解答】解：因为，，
所以．
故答案为：．
6．【答案】7．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为，则，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：7．
7．【答案】．
【分析】根据描述法的定义求解．
【解答】解：用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：．
故答案为：．
8．【答案】见试题解答内容
【分析】由，知集合中必有元素，且中还有元素，，中的0个，1个，或2个，所以满足的集合的个数．
【解答】解：，
集合中必有元素，且中还有元素，，中的0个，1个，或2个，
满足的集合的个数．
故答案为：7．
9．【答案】．
【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解．
【解答】解：由可得，
由可得，
若不等式组没有实数解，
则．
故答案为：．
10．【答案】
【分析】根据对数的运算即可得．
【解答】解：因为，所以，
所以．
故答案为：．
11．【答案】．
【分析】根据题意，分别求出、为真命题时的取值范围，再分“真假”和“假真”两种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，对于方程，变形可得，解可得或，
若为真命题，则或，则有，
对于，只有一个实数满足不等式，则有，解可得或，若命题和中有且仅有一个是真命题，有2种情况，
①假真，即，此时无解；
②真假，即，此时或；
综合可得：或，即的取值范围为．
故答案为：．
12．【答案】．
【分析】先进行分离变形，然后结合反比例函数的单调性即可求解．
【解答】解：由已知，，
又函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，
所以，解得，
故答案为：．
二、选择题：本题共有4题，每小题4分，共16分。每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号填入下面的表格中，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个，一律得零分。
13．【答案】B
【分析】先求出，对应的范围，然后检验充分必要性即可判断．
【解答】解：由可得，
由可得，
故推不出，，
故是的必要不充分条件．
故选：B．
14．【答案】C
【分析】由题意可得，且，再利用不等式的基本性质可得，从而得出结论．
【解答】解：，且，，且，
故有，
故选：C．
15．【答案】D
【分析】先求出集合的补集，再对集合分空集和非空集讨论，建立不等式关系，进而可以求解．
【解答】解：由已知可得，又，
当时，，解得，此时满足题意；
当时，要满足题意，只需，解得，
综上，实数的范围为．
故选：D．
16．【答案】C
【分析】先根据题意建立方程求出函数的解析式，再利用函数的单调性验证临界值，即可分别求解．
【解答】解：由题意可得，
则，
即，易知该函数在上单调递增，
又，，，
若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为42km/h，①不成立；
又的最小正整数的值为，
可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶，②成立．
故选：C．
三、解答题（本大题共5题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）把分式不等式转化为整式不等式求解即可；
（2）先求出，结合，列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）由不等式可得，，
即，
解得，
所以集合；
（2），
因为，
所以，
无解，
即实数的范围为．
18．【答案】（1）；
（2）详见解答．
【分析】（1）利用作差比较即可判断；
（2）利用反证法即可证明．
【解答】解：（1）因为，
则，
所以；
（2）证明：假设，，，都不小于1，即，，，，
则，，，，
所以，与已知矛盾，
故，，，中至少有一个小于1．
19．【答案】（1）；
（2）当为40m时，蔬菜的种植面积最大，最大值为．
【分析】（1）由题得，化简即得解；
（2）利用基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）；
（2），
，
当且仅当即时等号成立，
当为40m时，蔬菜的种植面积最大，最大值为．
20．【答案】（1）；
（2）当时，解集为；
当时，解集为，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
【分析】（1）由恒成立，转化为恒成立，结合二次函数的性质对的范围进行分类讨论即可求解；
（2）由恒成立，不等式可化为，然后结合二次不等式的求法对的范围进行分类讨论即可求．
【解答】解：（1）若，且不等式对一切恒成立，
又恒成立，
所以恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，解得，
综上，实数的取值范围为；
（2）当时，又恒成立，
不等式可化为，
即，
当时，，
当时，不等式可化为，
解得，
当时，不等式可化为，
当时，解得或；
当时，；
当时，解得或，
故当时，解集为；
当时，解集为，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
21．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据幂函数的图象与性质，结合题意，列不等式求解即可；
（2）解不等式，根据不等式的解集中有且仅有5个整数，得出这5个整数，由此列不等式求出的取值范围；
（3）由题意列方程，求出和，判断、与、的大小，计算的值即可．
【解答】解：（1）由题意知，，即，解得，
又因为，所以，所以；
（2）不等式为，即；所以，
解得，
所以不等式的解集为，其中；
因为不等式的解集中有且仅有5个整数，则这5个整数分别为2，3，4，5，6；
所以，即，解得；
所以的取值范围是；
（3）由题意知，方程为，所以，即；由根与系数的关系知，，；
解方程，得；
因为，且，所以，；
因为，
所以，
因为，
所以，
所以．
四、附加题（高一（5）（6）（7）（8）班必做，其它班选做，每题5分，共10分）
22．【答案】B
【分析】由已知结合二次不等式求法先求出的范围，然后结合已知定义即可求解．
【解答】解：由可得，
所以，
所以，
故选：B．
23．【答案】．
【分析】结合二次函数的图像和性质，根据一元二次方程根的分布，求参数的范围．
【解答】解：，因为的两个实数根均大于1，
所以，
解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
五、附加题二（高一（8）班必做，其它班选做，共10分）
24．【答案】．
【分析】由已知点的坐标可求出，然后代入到所求式子，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为点在函数的图像上，且，
所以，即，
即，因为，所以，
所以，
当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立；
当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立．
所以的最小值为．
故答案为：．
（单位：km/h）
5
10
20
…
（单位：m）
1.2025
2.725
6.73
…