福建省2025届高中毕业班适应性测试数学试卷(含答案)

这是一份福建省2025届高中毕业班适应性测试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合,,则集合B中的元素个数为( )
A.9B.6C.4D.3
2．在如图所示中,二次函数与指数函数的图象只可为( )
A.B.
C.D.
3．在复平面内,复数,对应的点关于实轴对称,,则( )
A.-5B.5C.D.
4．已知一个高为6的圆锥被平行于底面的平面截去一个高为3的圆锥,所得圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上,球O的体积为,且球心O在该圆台内,则该圆台的表面积为( )
A.B.
C.D.
5．二项式展开式中的系数为( )
A.120B.135C.D.
6．设,,且,则下列结论正确的个数为( )
①
②
③
④
A.1B.2C.3D.4
7．定义在上的函数的导函数为,满足：,,且当时,,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
8．已知函数满足,设,若,当则( )
A.B.
C.D.
9．下列结论中正确的是( )
A.若,则
B.若a是第二象限角,则为第一象限或第三象限角
C.若角a的终边过点,则
D.若扇形的周长为6,半径为2,则其中心角的大小为1弧度
二、多项选择题
10．已知圆,直线,则下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.直线l被圆C截得的弦最长时,
C.直线l被圆C截得的弦最短时,
D.直线l被圆C截得的弦最短弦长为
11．已知等差数列的前n项和为,公差.若,则( )
A.B.C.D.
12．若函数对定义域D内的每一个,都存在唯一的,使得成立,则称为“自倒函数”.则下列结论正确的是( )
A.是“自倒函数”
B.“自倒函数”可以是奇函数
C.“自倒函数”的值域可以是R
D.若,都是“自倒函数”且定义域相同,则也是“自倒函数”
三、填空题
13．已知非零向量,满足,且,则与的夹角为__________.
14．已知椭圆的左、右焦点为、,点关于直线的对称点P仍在椭圆上,则的周长为______________.
15．设为实数a,b,c中最大的数.若,,,,则的最小值为________________.
四、解答题
16．一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列.
17．在公差不为零的等差数列中,,且,,成等比数列,数列的前n项和满足.
(1)求数列和的通项公式;
(2)设,数列的前n项和,若不等式对任意恒成立,求实数a的取值范围.
18．如图,在三棱锥中,平面平面,,,,D,E分别为线段,上的点,且,,.
(1)求证：平面;
(2)若直线与平面所成的角为,求平面与平面所成的二面角的大小.
19．已知数列的前n项和为,.
(1)求证：数列为等比数列,并求出数列的通项公式;
(2)若 ,求数列的前n项和.
从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上,并完成解答.
20．如图,在直三棱柱中,平面侧面,且.
(1)求证：;
(2)若直线与平面所成的角为,请问在线段上是否存在点E,使得二面角的大小为,若存在请求出E的位置,不存在请说明理由.
21．如图,已知椭圆的左焦点为,点P是椭圆C上位于第一象限的点,M,N是y轴上的两个动点(点M位于x轴上方),满足且,线段PN交x轴于点Q.
(1)若,求点P的坐标;
(2)若四边形为矩形,求点M的坐标;
(3)求证:为定值.
参考答案
1．答案：D
解析：的数对共9对,其中,,满足,
所以集合B中的元素个数共3个.
2．答案：C
解析：根据指数函数可知a,b同号且不相等,
则二次函数的对称轴在y轴左侧,又过坐标原点,
故选：C.
3．答案：B
解析：复数,对应的点关于实轴对称,,
所以,
所以.
故选：B.
4．答案：B
解析：设圆锥的底面半径为,依题意得该圆台的上底面半径为R,且圆台的高为3.
设球心O到圆台上底面的距离为a,球O的半径为R,
由球O的体积为,解得,
因为点O在该圆台内,则, 解得,
可得该圆台的母线长,
所以圆台的表面积为.
故选：B.
5．答案：D
解析：展开式通项为：,
令,则展开式中的系数为;
令,则展开式中的系数为;
令,则展开式中的系数为;
展开式中的系数为.
故选：D.
6．答案：C
解析：因为,故可得,当且仅当取得等号;
①,错误;
②,当且仅当时取得等号,正确;
③令,,,
故在单调递增,,即当,;
,又,即,解得,故;
故,也即,正确;
④令,,
则,
故当时,,单调递增;当时,,单调递减;
故的最大值为;由C可知,,
则,正确;
故选：C.
7．答案：A
解析：令,则可得
所以是上的奇函数,
,
当时,,所以,
是上单调递增,
所以是上单调递增,
因为,
由可得即,
由是上单调递增,可得 解得：,
所以不等式的解集为,
故选：A.
8．答案：A
解析：
,
因此,,A正确;
而,B错误;
由,得,
则,
由于,D错误;
因为,单调递减,
又,
因此当时,,当时,,C错误.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：解对于A,由三角函数的定义可知,,,其中,
因为,所以,,所以,所以,所以A正确;
对于B,由于a是第二象限角,所以,,
所以,,当时,,,
则为第一象限的角;当时,,,
则为第三象限的角,综上为第一象限或第三象限角,所以B正确;、
对于C,由于角a的终边过点,所以,所以C错误;
对于D,设扇形的圆心角为,则由题意得,得,所以D正确,
故选：ABD.
10．答案：ABC
解析：对于选项A：直线l的方程可化为,
令,解得,
所以直线恒过定点,故A正确;
对于选项B：因为,即点在圆C内,
当直线l过圆心C时,直线被圆截得的弦长最长,
此时,解得,故B正确;
对于选项C：当直线时,直线被圆截得的弦长最短,
直线l的斜率为,,
由,解得,故C正确;
对于选项D：此时直线l的方程是,
圆心到直线的距离为,
可得,
所以最短弦长是,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：由题意,又,
结合二次函数性质知：对称轴,且,即,
所以,,.
综上,A、B、D对,C错.
故选：ABD.
12．答案：AB
解析：对于A,,任取,有,
,且;
由,得,
即, ,
且,即,
显然存在唯一的满足题意.
是上的自倒函数,所以A正确;
对于B,当是奇函数时,不妨设,其中,
则任取,有,
由得,其中,
是定义域上的自倒函数,所以B正确;
对于C,若自倒函数的值域是R,则当时,不存在,使得成立,
所以自倒函数的值域不可以是R,命题不成立,所以C错误;
对于D,当,都是自倒函数,且定义域相同时,函数不一定是自倒函数,
例如,其中,则不是自倒函数,
因为由,得, 不唯一,故命题不成立,所以D错误.
故选：AB.
13．答案：
解析：由题设,,又,
,且,为非零向量,
,又,
.
故答案为：.
14．答案：
解析：设,,
关于直线的对称点P坐标为,
点P在椭圆上,则：,
则,,则,
故的周长为：.
15．答案：2
解析：设,
则,,,
因为 ,当时,只需考虑,,
又因为,,
两式相乘得,可得,当且仅当时取等号,
当时,,只需考虑,,
两式相乘得,
则,当且仅当时取等号,
因为,故,综上所述,A的最小值为2.
故答案为：2.
16．答案：(1)
(2)分布列见解析
解析：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件,第一次取出的4件产品全是优质品为事件,
第二次取出的4件产品全是优质品为事件,第二次取出的1件产品是优质品为事件,
这批产品通过检验为事件A,依题意有,且与互斥,
所以
;
(2)X可能的取值为400,500,800,并且,,
,故X的分布列如下：
17．答案：(1),
(2)
解析：(1)设等差数列的公差为,,且,,成等比数列,
,即,解得或（舍去）,
所以.
数列的前n项和,
当时,,
当时,,,
即数列是首项为2,公比为2的等比数列,
.
(2)由(1)可得,
.
令,,
单调递增,.
,,.
18．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：(1)因为,,,所以,
所以,可得,
又因为,
所以
,可得,
又因为,所以,所以,
因为平面平面,平面平面,面,
所以平面,因为面,所以,
因为,,所以平面;
(2)由(1)知,,两两垂直,如图分别以,,所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
因为直线与平面所成的角为,即,所以,
则,,,,
所以,,,
因为,,所以,
由(1)知,所以,
又平面,面,所以,
因为,所以平面,
所以为平面的一个法向量,
设平面的法向量为,
由,令,得,,
所以为平面的一个法向量.
所以,
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为,
故平面与平面所成的锐二面角为.
19．答案：(1)证明见解析,
(2)答案见解析
解析：(1)依题意可得,
两式相减并化简得,所以,
又,,解得.
所以,故
由于,所以,于是.
故数列是首项为3,公比为3的等比数列,
,即
(2)选①: 由(1)得,
则,
两式相减得：
所以.
选②: 由(1)得,
所以
（i）当n为偶数时,
（ii）当n为奇数时,

综上所述
20．答案：(1)证明见解析
(2)存在,点E为线段中点
解析：(1)证明：连接交于点D,
因,则
由平面侧面,且平面侧面,
得平面,又平面,所以.
三棱柱是直三棱柱,则底面ABC,所以.
又,从而侧面,
又侧面,故.
(2)由(1)平面,则直线与平面所成的角,
所以,又,所以,,
假设在线段上存在一点E,使得二面角的大小为,
由是直三棱柱,所以以点A为原点,以AC､所在直线分别为y,z轴,以过A点和AC垂直的直线为x轴,建立空间直角坐标系,
如图所示,则,,,,
且设, ,
得
所以,
设平面的一个法向量,
由,得：,取,
由(1)知平面,所以平面的一个法向量,
所以,解得,
点E为线段中点时,二面角的大小为.
21．答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)椭圆,,,,,
,,,
设,且P在第一象限,,,,.
则.
(2)设,,,
由于,所以.
①,
由于,
所以
②,
由于四边形为矩形,,
所以③,
由于四边形为矩形,,
所以④,
③-④并化简得,
,
由于,所以,,代入②得：
,,,,,代入③得：
,由于,故解得,所以.
(3)令,,
由①②得,
,
,将代入得
,,
,,
,由于,所以,.
所以为定值.
X
400
500
800
P