江苏省连云港市赣榆区2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

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1．【答案】D
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、该方程中含有两个未知数，故此选项不符合题意；
B、含有分式，故此选项不符合题意；
C、该方程中x的最高次数是1，故此选项不符合题意；
D、它是一元二次方程；
故选：D．
2．【答案】A
【分析】由⊙O的半径是3cm，OA＝4cm，P是线段OA的中点，所以OP＝2，根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
【解答】解：∵O的半径为3cm，OA＝4cm，
∴OP＝6cm，
∴点P点在圆内．
故选：A．
3．【答案】D
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可．
【解答】解：∵x2﹣6x+4＝0，
∴x2﹣5x＝﹣7
∴x2﹣3x+32＝﹣4+9，
∴（x﹣3）4＝2，
故选：D．
4．【答案】B
【分析】由∠ACB＝70°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，可求得∠AOB的度数，又由等边对等角，即可求得答案．
【解答】解：∵∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°．
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝20°，
故选：B．
5．【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣5＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞4，即（﹣2）2﹣3×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣8且k≠0．
故选：C．
6．【答案】C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝50°，则的度数是100°，根据得到的度数是100°，利用圆周角定理的推论即可得到∠BDC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，
∴的度数是100°，
∵，
∴的度数是100°，
∴∠BDC＝，
故选：C．
7．【答案】D
【分析】根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF＝180°，则有∠OBC+∠OCB＝90°，即∠BOC＝90°，再由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长．
【解答】解：连接OF，
根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，
∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝16cm，OC＝12cm，
∴BC＝＝20cm，
∵OF⊥BC，
∴BE＝BF，CG＝CF
∴BE+CG＝BF+CF＝BC＝20cm．
故选：D．
8．【答案】C
【分析】过A作AM⊥OB于M，求得∠AOB＝360°÷12＝30°，根据直角三角形的性质得到AM＝OA＝，根据三角形的面积公式得到S△AOB＝，于是得到正十二边形的面积为12×＝3，根据圆的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，
过A作AM⊥OB于M，
在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，
∴AM＝OA＝，
∴S△AOB＝OB•AM＝＝，
∴正十二边形的面积为12×＝3，
∴3＝32×π，
∴π＝3，
∴π的近似值为8，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．【答案】3．
【分析】在一般形式ax2+bx+c＝0中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣5x﹣8＝0的二次项系数是6．
故答案为：3．
10．【答案】2024．
【分析】先把x＝m代入方程得到m2﹣3m﹣4＝0，变形后整体代入要求解的代数式．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣7＝0的一个根，
∴m2﹣7m﹣4＝0，
即m2﹣3m＝4．
∴2020+m3﹣3m
＝2020+（m2﹣8m）
＝2020+4
＝2024．
故答案为：2024．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】利用弧长的计算公式计算即可．
【解答】解：l＝＝4π，
故答案为：4π．
12．【答案】20．
【分析】设该种衬衫平均每次降价的百分率是x，根据某种衬衫原价每件100元，经两次降价，现售价每件64元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设该种衬衫平均每次降价的百分率是x，
由题意得：100（1﹣x）2＝64，
解得：x7＝0.2＝20%，x6＝1.8（不合题意舍去），
故答案为：20．
13．【答案】50．
【分析】设圆心为O，连接OA，作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，设OA＝OD＝r cm．利用勾股定理构建方程求解．
【解答】解：设圆心为O，连接OA，交⊙O于点D．
∵OD⊥AB，
∴AE＝EB＝AB＝，
在Rt△AOE中，OA2＝OE6+AE2，
∴r2＝（r﹣20）7+402，
∴r＝50．
故答案为：50．
14．【答案】7．
【分析】根据x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则有，．利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，再利用完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：∵x1、x2是方程x3+x﹣3＝0的两根，
∴x4+x2＝﹣1，x5x2＝﹣3，
＝1﹣2×（﹣5）
＝1+6
＝2，
故答案为：7．
15．【答案】65．
【分析】由D是△ABC的内心，得∠BAD＝∠CAD，∠ABD＝∠CBD，则∠BAD+∠ABD＝∠CAD+∠CBD，而∠CAD＝∠CBE，所以∠BAD+∠ABD＝∠CBE+∠CBD，则∠BDE＝∠DBE，因为∠E＝∠BCA＝50°，所以2∠BDE+50°＝180°，求得∠BDE＝65°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵D是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABD＝∠CBD，
∴∠BAD+∠ABD＝∠CAD+∠CBD，
∵∠CAD＝∠CBE，
∴∠BAD+∠ABD＝∠CBE+∠CBD，
∵∠BDE＝∠BAD+∠ABD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD，
∴∠BDE＝∠DBE，
∵∠BDE+∠DBE+∠E＝180°，∠E＝∠BCA＝50°，
∴2∠BDE+50°＝180°，
∴∠BDE＝65°，
故答案为：65．
16．【答案】．
【分析】根据题意和正方形的性质可利用SAS证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，进而可证出∠APB＝90°，于是可得点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径是弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，进一步即可求解．
【解答】解：∵点M和N分别从B、C同时出发、CD向终点C，
∴BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝8，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN （SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP+∠CBN＝90°，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，是这个圆的，
如图所示，连接OC交圆O于P，
∵AB＝8，
∴OP＝OB＝4，
由勾股定理得：，
∴；
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】证明过程见解答．
【分析】连接AC，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠C，从而可得＝，然后利用等式的性质可得＝，从而可得AB＝CD，即可解答．
【解答】证明：连接AC，
∵PA＝PC，
∴∠A＝∠C，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝，
∴AB＝CD．
18．【答案】（1）x1＝﹣4，x2＝4．
（2）x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
（3）x1＝2，x2＝4．
（4）x1＝，x2＝．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣16＝0，
（x+8）（x﹣4）＝0，
∴x+8＝0或x﹣4＝4，
∴x1＝﹣4，x2＝4．
（2），
x2+5x＝2，
x2+4x+4＝2+3，即（x+2）2＝8，
∴x+2＝或x+8＝﹣，
∴x1＝﹣4+，x2＝﹣4﹣．
（3）x（x﹣2）＝6（x﹣2），
x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，
（x﹣4）（x﹣4）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣4＝8，
∴x1＝2，x2＝4．
（4）﹣3x5+4x+1＝3，
∵a＝﹣3，b＝4，
∴Δ＝62﹣4×（﹣2）×1＝28＞0，
∴x＝＝，
∴x4＝，x2＝．
19．【答案】小刚应该将铁丝剪成12cm和28cm的两段．
【分析】设围成第一个正方形的边长为x cm，则围成第二个正方形的边长为，cm，根据正方形的面积公式结合两个正方形的面积之和等于85cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设围成第一个正方形的边长为x cm，则围成第二个正方形的边长为，
依题意，得：x4+（）4＝85，
整理，得：x1＝3，x6＝7，
∴＝7或3，
∴4x＝12或28，
答：小刚应该将铁丝剪成12cm和28cm的两段．
20．【答案】（1）（﹣3，2）；；
（2）．
【分析】（1）连接AB，BC，AC，作AB，BC的垂直平分线交于点M，则点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，设点M（﹣3，k），根据MA＝MC求出k的值即可得出点M的坐标；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明∠BMC＝90°，由此可求出扇形MAC的弧长为，进而根据扇形MAC围成圆锥的底面圆的周长为可得出这个圆锥底面圆的半径．
【解答】解：（1）连接AB，BC，作AB，如图所示：
则点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，
∵A（﹣1，6），7），4），
∴AB∥x轴，
∴点M的横坐标为﹣3，
设点M的纵坐标为k，则M（﹣7，
∵MA＝MC，
∴（﹣1+3）8+（6﹣k）2＝（﹣7+3）2+（4﹣k）2，
解得：k＝2，
∴点M（﹣2，2）；
∴MA＝＝＝，
∴⊙M的半径是．
故答案为：（﹣3，3），；
（2）由（1）知：MA＝MC＝，
∴MA2+MC6＝40，
又∵AC2＝√（﹣1+5）2+（6﹣3）2＝40，
∴MA2+MC7＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，即∠BMC＝90°，
∴扇形MAC的弧长为：，
∴将扇形MAC围成圆锥的底面圆的周长为，
设这个圆锥底面圆的半径是R，
则，
∴R＝，
即这个圆锥底面圆的半径是．
故答案为：．
21．【答案】（1）见详解；（2）这个定值是3．
【分析】（1）直接根据根的判别式计算即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x的值，结合方程有一个根是定值，即可得出这个定值．
【解答】（1）证明：b2﹣4ac＝（m+7）2﹣4（6m+3）＝（m﹣2）2，
∵无论m取何值时，（m﹣2）2≥7，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：x2﹣（m+4）x+2m+3＝0，
（x﹣5）（x﹣m﹣1）＝0，
x＝6或x＝m+1，
不论m取何值，方程有一根为定值．
22．【答案】（1）直线BF与⊙O相切；理由见解析；
（2）BE＝．
【分析】（1）根据圆周角定理得到BD⊥AC，求得∠BDC＝∠F＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DCB＝∠FBC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据切线的判定定理得到直线BF与⊙O相切；
（2）连接AE，根据圆周角定理得到∠AEB＝∠ADB＝90°，根据勾股定理得到AD＝＝＝8，求得CD＝2，根据等腰三角形的性质得到BE＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）直线BF与⊙O相切；
理由：∵AB为⊙O的直径，
∴BD⊥AC，
∵BF⊥CF，
∴∠BDC＝∠F＝90°，
在Rt△BDC与Rt△BFC中，
，
∴Rt△BDC≌Rt△BFC（HL），
∴∠DCB＝∠FBC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠DBC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CBF＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴直线BF与⊙O相切；
（2）连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝8，
∴CD＝8，
∵AB＝AC，
∴BE＝，
∵∠ABC＝∠ACB，∠AEB＝∠BDC，
∴△ABE∽△BCD，
∴，
∴，
∴BE＝（负值舍去）．
23．【答案】（1）8640；
（2）定价应为44元．
【分析】（1）利用养殖户每天的销量＝400+40×每千克降低的价格，即可得出y关于x的函数关系式，代入x＝2可求出y值，再利用养殖户每天的利润＝每千克的销售利润×日销售量，即可求出结论；
（2）利用养殖户每天的利润＝每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽可能让利顾客，即可确定x的值，再将其代入（50﹣x）中即可求出定价．
【解答】解：（1）设养殖户每天的销量y千克，降价x元，
当x＝2时，y＝400+40×2＝480，
∴养殖户每天的利润为（50﹣2﹣30）×480＝8640（元）；
故答案为：8640；
（2）依题意得：（50﹣x﹣30）（400+40x）＝8960，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x2＝4，x2＝4．
又∵要尽可能让利顾客，
∴x＝6，
∴50﹣x＝50﹣6＝44．
答：定价应为44元．
24．【答案】（1）见详解；（2）+．
【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D，再用圆周角定理和等角的余角相等，即可得出结论；
（2）先判断出OC∥AB，再判断出△COD是等边三角形，得到OC＝OD＝CD＝OA＝2，最后根据阴影部分面积为S围成面积＝S△AOC+S扇形DOC代入数据计算得到答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠ADC，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∴∠CBE+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE；
（2）解：∵OC⊥CE，AB⊥CE
∴OC∥AB，
∴∠COD＝∠EAD＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD＝∠D＝60°，OC＝OD＝CD＝OA＝2，
S围成面积＝S△AOC+S扇形DOC＝+＝+．
25．【答案】（1）y的最大值是﹣；
（2）n的最小值是．
【分析】（1）仿照题目所给的解题方法，将二次函数变换为一元二次方程，令Δ≥0求解即可；
（2）将m2n﹣4mn+4n﹣m2+2m﹣3＝0变换为一元二次方程（1﹣n）m2+（4n﹣2）m+3﹣4m＝0，令Δ≥0求解即可．
【解答】解：（1）∵﹣4x2+8x﹣3＝y，
即﹣4x4+6x﹣3﹣y＝4，
Δ＝36﹣16（3+y）≥0，
解得y≤﹣，
即y的最大值是﹣；
（2）∵实数m、n满足m2n﹣4mn+7n﹣m2+2m﹣5＝0，
即（1﹣n）m4+（4n﹣2）m+6﹣4m＝0，
Δ＝（6n﹣2）2﹣6（1﹣n）（3﹣7n）≥0，
解得：n，即n的最小值是．
26．【答案】（1）AE；
（2）3；
（3）最大值为；．
（4）AC的最小值为最大值为．
【分析】（1）结论：OC＝AE．只要证明△CBO≌△ABE即可；
（2）利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为；过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；
（4）以BC为边作等边△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由＝定值，∠BDC＝90°，推出点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；欲求AC的最小值，只要求出DM的最小值即可．
【解答】解：（1）如图中，结论：OC＝AE
∵△ABC，△BOE都是等边三角形，
∴BC＝BA，BO＝BE，
∴∠CBO＝∠ABE，
∴△CBO≌△ABE（SAS），
∴OC＝AE，
故答案为：AE；
（2）∵⊙O的半径为1，点A（2．
∴OE＝4，OA＝2，
在△AOE中，AE≤OE+OA，
∴当E、O、A共线，
∴AE的最大值为3，
∴OC的最大值为3．
故答案为：3；
（3）如图，连接BM，
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为（3，0），0），
∴OA＝2，OB＝5，
∴AB＝3，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图6中），
最大值＝AB+AN，
∵，
∴最大值为；
如图，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（4）如图，以BC为边作等边△BCM，
∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠ABC＝∠DBM，且AB＝DB，
∴△ABC≌△DBM（SAS），
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最小值，只要求出MD的最小值即可，
当M、D、O共线时，
如图：
∵，O是BC中点，
∴，
在Rt△BOM中，，
∴，
∴AC的最小值为．
如图，以BC为边作等边△BCM，
∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠ABC＝∠DBM，
∵AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM（SAS），
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵＝定值，
∴点D在以BC为直径的半圆⊙O上运动，
由图可知，当点D在BC上方，DM的值最大，
∴AC的最大值为．
综上，AC的最小值为．