2025届天津市河西区高三(上)期中质量调查数学试卷（解析版）

这是一份2025届天津市河西区高三(上)期中质量调查数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为集合，，所以，
又因为，所以.
故选：D.
2. 设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立；
若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立，
即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B
3. 若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】选项A，若，则结论错误，故选项A错误；
选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误；
选项C，当时，，故选项C错误；
选项D，可知，，故选项D正确.
故选：D
4. 已知，，则（ ）
A. 25B. 5C. D.
【答案】C
【解析】由可得，
所以，
故选：C
5. 已知，，且，则的最大值为（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】由，，可得，
且，得，
当且仅当，即时取等号，
因此，所以的最大值为.
故选：C.
6. 函数，则，（ ）
A. 是偶函数，且在区间上单调递增
B. 是偶函数，且在区间上单调递减
C. 是奇函数，且在区间上单调递增
D. 是奇函数，且在区间上单调递减
【答案】A
【解析】的定义域为,
且
，
故，即函数是偶函数；
因，当时，，则，即函数在区间上单调递增.
故选：A.
7. 已知，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
，
，
所以或，
又，所以，
所以，
所以，
故选：B.
8. 将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】数列中的项为，
观察得到中的奇数项都是数列中的项，
即可以写成的形式，其为公比为4的等比数列，
故，故.故选：D
9. 已知函数有下列结论：
①最小正周期为；
②点为图象的一个对称中心；
③若在区间上有两个实数根，则实数a的取值范围是；
④若的导函数为，则函数的最大值为.
则上述结论正确的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①④D. ①③④
【答案】C
【解析】由题可知最小正周期为,故①正确；
根据正弦型函数的性质可知，的对称中心横坐标满足，
显然，故②不正确；
因为，所以，
由复合函数的单调性可知，当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，有最大值为1，，
所以要使在区间上有两个实数根，
则，故③错误;
由题得，
所以
其中，所以的最大值为，故④正确.
故选：C
第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10. 已知角的终边上有一点，则________.
【答案】
【解析】由题意知角的终边上有一点，
则,故.
11. 已知数列满足，点在函数的图象上，其中k为常数，且，，成等比数列，则________.
【答案】2
【解析】因为点在函数的图象上，
所以，所以，
又，所以，，，
因为，，成等比数列，所以，解得或（舍去）.
12. 化简：________.
【答案】
【解析】易知
.
13. 记的内角的对边分别为，若，，，则________.
【答案】
【解析】由可得，又，且，解得；
同理由可得，
由正弦定理可得，即.
14. 在平面四边形中，，，，若，则________；若为线段上一动点，当取得最小值时，则________.
【答案】
【解析】因为平面四边形中，，，，
所以是边长为2的等边三角形，在，，所以，因为，又，
所以，所以在，同理可得在上，
且分别是的四等分点，如图建立平面坐标系，

则，
所以，
再设，则，
，
显然时，取得最小，此时，
所以.

15. 已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解，
即y=fx与或的图象交点的横坐标，
当时，，则，
所以时，f'x>0，所以在上单调递增，
当时，f'x<0，可得在上单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，且；
作出函数的大致图象如下图所示：

所以当时，由图可知y=fx与无交点，即方程无解；
y=fx与有两个不同的交点，即有两个实数解；
当时，，
令，则，则，
作出大致图象如下图所示：

因为当时，y=fx与有两个不同的交点，
所以只保证与及共有四个交点即可，
所以只需，
解得，
即可得正实数的取值范围.
三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数解析式；
（2）若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象.
（i）求的解析式及值；
（ii）求在上的值域.
解：（1）由图可知，，，所以，.
将点代入得，.
又，所以，
所以.
（2）（i）将的图象向左平移个单位长度，
得，
再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，
所以，
所以；
（ii）因为，所以，，
所以，
所以，
所以，
故在上的值域为.
17. 如图，中，，，，是的中点，延长交于点.

（1）用，表示；
（2）设，求的值；
（3）若，，求面积的最大值.
解：（1）由点是的中点，
得.
（2）设，，，，
则，①
又
，②
所以对比①②得，得，
所以；
（3）由（2）得，即，

因，，
所以
，
即，当且仅当，即时等号成立，
此时面积最大，为.
18. 在中，内角所对的边分别为，.
（1）求的大小；
（2）若，边上的高为.
（i）求的值；
（ii）求的值.
解：（1）因为，，为内角，
所以，
因为，
所以可化为：，
即，
即，
因为，解得：.
（2）（i）由三角形面积公式得，所以，
由余弦定理得：，
解得：或舍去，所以；
（ii）由（i）可得，
在中，由正弦定理可得，即，
解得，又，所以为锐角，
所以，
所以，，
所以.
19. 设是等比数列，公比大于0，是等差数列.已知，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求的值；
（3）设其中，求.
解：（1）设数列的公比为，，数列bn的公差为，
因为且，所以，
解得或，又因为，所以，
所以，，
则，，
因为且数列bn是等差数列，
所以，，
又，所以，，
所以，，，
所以，.
所以数列的通项公式为，，数列bn的通项公式为，.
（2）由（1）可知
因此数列的前n项和为
即可得.
（3）由可知
所以，
其中，
记；
则，
两式相减可得，
可得，
即；
所以
20. 已知函数（，为自然对数的底数）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程：
（2）当时，讨论的单调性；
（3）若集合有且只有一个元素，求的值.
解：（1）由，可得，
中，
当时，，，
，，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为
（2）由题意及（1）得，
在中，，
当时，，
因为即，此时，
当时，，函数单调递增，
当时，，
函数单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
（3）函数，求导得，
显然，当时，的定义域为0,+∞，
不等式f'x>0恒成立，即在0,+∞上单调递增，
又与已知矛盾，即不合题意；
当时，的定义域为，此时，
则当时，f'x>0，当时，f'x<0，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
因此.
设，则，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增.
所以集合有且只有一个元素时.