2025届辽宁省七校名校协作体高三(上)11月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份2025届辽宁省七校名校协作体高三(上)11月期中联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
由，可得，
又，则.
故选：A
2. 若，则复数的共轭复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，则，
所以复数的共轭复数的虚部是.
故选：B.
3. 由一组样本数据得到经验回归方程，那么下列说法正确的是（ ）
A. 若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱
B. 若越大，则两组变量相关性越强
C. 经验回归方程至少经过样本数据中的一个
D. 在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位
【答案】D
【解析】对于A，若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱，A错误；
对于B，若越大，则两组变量的相关性越强，是回归直线的斜率，
它不反应两变量的相关性强弱，B错误；
对于C，经验回归方程不一定经过样本数据中的一个，C错误；
对于D，在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，
若，相应的观测值y约增加个单位；若，相应的观测值y约增加个单位；
故当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位，正确，
故选：D
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
又，则，
所以，
，
故选：A．
5. 数列中，已知对任意自然数，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为①，
当时，②，由①②得，
又，满足，所以，
由，得到，
所以，
故选：C.
6. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，则恒成立，则在上单调递增，且是奇函数.
由，得，
即，
从而，即
故选：D
7. 已知为的外心，，，，则的面积为（ ）
A. 5B. C. 6D.
【答案】D
【解析】设的中点为，由为的外心可得，，
，
又，
所以，
又，可得，
故，
则的面积为.
故选：D.
8. 已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，时，，当时，，递减，时，，递增，
时，，时，，是极小值，
时，，在上是增函数，
时，，时，，且，
作出函数大致图象，如图，

由图象知时，无实解，时，有一解，时，有两解，时，有三解，
方程有四解，
则方程有两解且，
记，
则，解得，
故选：B．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 不共线，且，则.
B. 若向量，且与夹角为钝角，则的取值范围是
C. 已知，则在上的投影的坐标为
D. 已知点为的垂心，则
【答案】BD
【解析】选项A：不共线，且，
则，则
即.判断错误；
选项B：向量，且与的夹角为钝角，
则，解之得或或
则的取值范围是.判断正确；
选项C：在上的投影向量为
，
则在上的投影的坐标为.判断错误；
选项D：点为的垂心，则,
则，
则，
由可得
，
则，
即，
由，可得
，
则,
即，
故.判断正确.
故选：BD
10. 为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（ ）
A. 第一次投篮的人是甲的概率为
B. 已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为
C. 第二次投篮的人是甲的概率为
D. 设第次投篮的人是甲的概率为，则
【答案】BCD
【解析】掷两枚硬币向上的结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共有种情况，
记事件：向上的结果一正一反，记事件：向上的结果同正或同反，
则，故选项A错误，
对于B选项，设事件：第一次投篮的人是甲，事件：第二次投篮的人是乙，
则,，
则，所以B选项正确，
对于C选项，第二次投篮的人是甲的概率为，所以C选项正确，
对于D选项，由已知，当时，，
即，所以D选项正确；
故选：BCD.
11. 已知，则（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最大值是D. 的最小值是
【答案】AD
【解析】，因此可设，，
则，
，，
，，即，
所以，
，
由，知，
，所以，
时，取得最大值，A正确，B错误；
，
由知，
因此，时，，D正确，C错误；
故选：AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：，则这组数据的第75百分位数是______.
【答案】
【解析】将数据从小到大排序得，
因为，所以第75百分位数是.
13. 已知，且，则_____________.
【答案】或
【解析】因为，
整理得到，
解得或，所以或，
故答案为：或.
14. 设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝__________．
【答案】
【解析】当时，代入题中不等式显然不成立
当时，令， ，都过定点
考查函数，令，则
与轴的交点为
时，均有
也过点
解得或（舍去），
故.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）化简:；
（2）求函数的最小正周期和图象的对称中心;
（3）求函数在上的单调递增区间.
解：（1）
；
（2），
所以的最小正周期；
令，得，
即图象的对称中心为.
（3）令，得，
令，得；令，得，
所以函数在上的单调递增区间为.
16. 在中，内角所对的边分别是，已知向量，，满足.
（1）求；
（2）若，求周长的取值范围;
（3）若角的平分线交边于点，求面积的最小值.
解：（1）因为，，
由得，，
再由正弦定理角化边得，整理得到，
再由余弦定理得，
又因为，所以.
（2）由正弦定理及（1）得，
，
又，得，
所以，得到，
因此，周长的取值范围是.
（3）由，，
又因为，角的平分线交边BC于点，
所以有，整理得，
由基本不等式得，所以，且时取等号，
即，
即面积的最小值为.
17. 中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：
（1）将列联表补充完整；
（2）是否有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关;
（3）若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列、数学期望、方差.
附:，其中
解：（1）由题得列联表如下：
（2）由（1）可得，
所以没有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关
（3）由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人，
所以从了解该活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为，
则由题意可知，且，
所以，
，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望为,
随机变量的方差为.
18. 已知函数，数列满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求；
（3）对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值．
解：（1）因为函数，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则有；
（2）由（1）可知：，
所以
（3）由（2）可知：，
所以由，
因为，
所以由，
设，
由，
由二次函数性质可知：当时，函数是减函数，
，，
于是有时，，
所以，，因此，
存在，使得成立，则有，
因此实数k的最大值.
19. 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下.如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导.则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.
（1）已知且，
（i）若恒成立，求实数的取值范围；
（ii）当时，求证：.
（2）已知函数有两个零点，记作，若，证明：
（1）（i）解：法一：由，且化简得，即，
令，可知在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
令，显然hx在上单调递减，
所以，即，故实数的取值范围为.
法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得，
故问题转化为恒成立.
又，则恒成立，即恒成立，
因为，
故令，显然在上单调递减，
所以，所以，故实数的取值范围为.
（ii）证明：要证，即证，
即证，
又，
由拉格朗日中值定理可知，存在，
，
.
由题意知，当时，f'x在上单调递增，
则，故，
即，所以命题得证.
（2）解：函数有两个零点，即方程有两个根，即方程有2个根
令，
所以φx在0,+∞上单调递增，且，即方程有2个根，且这两根即为方程的根，
所以，则，则由，
得，
所以，则，
要证，即证，
又，令，
令，
又，所以，故在上单调递增，
所以，
所以，故在上单调递减，所以，
即，
即，所以不等式得证.男
女
合计
了解
20
不了解
20
40
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
男
女
合计
了解
40
20
60
不了解
20
20
40
合计
60
40
100
0
1
2
3