黑龙江省牡丹江市省级示范高中2025届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)
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这是一份黑龙江省牡丹江市省级示范高中2025届高三上学期期中考试数学试卷(含答案),共14页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题
1.若,则( )
A.B.C.D.
2.从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会,我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40,这11个数据的分位数是( )
A.16B.30C.32D.51
3.如图,在中,,,,D是边上靠近B点的三等分点,E是边上的动点,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
4.的展开式中的常数项为( )
A.147B.C.63D.
5.若函数在区间上单调递增.则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6.已知,是一元二次方程的两个根,则( )
A.B.C.D.
7.已知函数,若关于x的方程有实数解,则m的取值范围为( )
A.B.C.D.
8.若函数在上恰有3个零点,则符合条件的m的个数是( )
A.4B.5C.6D.7
二、多项选择题
9.已知向量,,则( )
A.若,则B.若,共线,则
C.不可能是单位向量D.若,则
10.在等比数列中,,,则( )
A.的公比为B.的公比为2
C.D.数列递增数列
11.已知函数,,若,的图象与直线分别切于点,,与直线分别切于点C,D,且,相交于点,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12.已知平面向量,满足,且,则________.
13.若,且,则__________.
14.设,分别为等差数列,的前n项和,且.设A是直线BC外一点,P是直线BC上一点,且,则实数的值为________.
四、解答题
15.已知等比数列为递增数列,其前n项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列是首项为1,公差为3的等差数列,求数列的通项公式及前项和.
16.在锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)证明:.
(2)若点D在边AC上,且,求a的取值范围.
17.8世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒(BrkTaylr)发现的泰勒公式(又称麦克劳林公式)有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时,.其中,表示的二阶导数,即为的导数,表示的阶导数.
(1)根据公式估计的值;(结果保留两位有效数字)
(2)由公式可得:,当时,请比较与的大小,并给出证明;
(3)已知,证明:.
18.某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动,抽奖规则是:有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个,若第一次抽到红球则奖励50元的奖券,抽到黑球则奖励25元的奖券;第二次开始,每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍,抽到黑球则奖励25元的奖券,记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为.
(1)求及的分布列.
(2)写出与的递推关系式,并证明为等比数列;
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会,求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.(考数据:)
19.已知.
(1)求的定义域;
(2)若恒成立,求a能够取得的最大整数值;
(3)证明:.
参考答案
1.答案:B
解析:因为,则,
所以.故选B.
2.答案:C
解析:把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51,
因为,这11个数据按照从小到大排列第7个是32.
故选:.
3.答案:C
解析:由,解得.
设,,则.
4.答案:C
解析:二项式展开式中项分别为,,
所以的展开式中的常数项为.故选:C
5.答案:D
解析:在区间上单调递增,令,单调递减,
则在区间上单调递减且恒为正,
所以且,所以.
故选:D.
6.答案:A
解析:因为,是一元二次方程的两个根,
显然,所以,,
所以,
所以.
故选:A.
7.答案:D
解析:令,则恒成立,则在R上单调递增,且是奇函数.
由,得,即,
从而,即
故选:D
8.答案:B
解析:令,则或,
由,
当时,在上没有零点,
则在上应有3个零点,
因为,所以,即,
与联立得,因为,所以m的值依次为9,10;
当时,在上有1个零点,
在上有3个零点0,,,不满足题意;
当时,在上有2个零点,
故在上应有1个零点,
因为,所以该零点与的零点不相同,
所以,即,与联立得,
因为,所以m的取值依次为2,3,4,综上得符合条件的m的个数是5.
故选:B.
9.答案:AD
解析:对于A,由,得,解得,A正确;
对于B,由,共线,得,解得,B错误;
对于C,当时,是单位向量,C错误;
对于D,当时,,则,D正确.
故选:AD
10.答案:BC
解析:设等比数列的公比为q,
依题意得解得所以故,故BC正确,A错误;对于D,,则数列为递减数列,故D错误.故选:BC.
11.答案:BC
解析:由题意得,,所以,即,由,整理得,且,A错误;
把,,代入,整理得,B正确;
分别作出与的图象如下:
两图象有2个交点,所以图象上的切点有2个,即与的公切线有2条.
因为,的图象关于直线对称,所以点关于直线的对称点为,,,,C正确;
因为直线,关于直线对称,则点P就是直线与直线的交点,
直线的方程为,与联立得,
所以,所以,
由且可得,
设,则,所以,所以,D错误.
故选:BC.
12.答案:
解析:因为,所以,则,
所以.故答案为:.
13.答案:
解析:由,得.
因为,所以,则,则.
由,得,则,解得.故答案为:.
14.答案:
解析:依题意,B,C,P三点共线,
,,
依题意,,
.
15.答案:(1);
(2),
解析:(1)设等比数列的首项为,公比为q,
根据题意可得,解得或,
因为等比数列为递增数列,所以,
所以数列的通项公式为.
(2)因为数列是首项为1,公差为3的等差数列,
所以,所以,
所以.
16.答案:(1)证明见解析
(2).
解析:(1)证明:因为,所以,
整理得.
又,所以,从而,
整理得,则.
由,得,
即,结合锐角中,,
则,即.
(2)如图,由,可得,则.
在中,由正弦定理得,
整理得.
因为,且是锐角三角形,所以解得,
则,
从而,即a的取值范围为.
17.答案:(1)0.88
(2),证明见解析
(3)证明见解析
解析:(1)记,则,,,,
,所以,
因为,
所以且,,.
(2)令,则,,,
恒成立,在递增,,在递增,
,在递增,,即.
(3)由题,,,则,则,
令,,
易得在上递增,在上递减,从而,
即(当且仅当时取等号),
,即,
,
,得证.
18.答案:(1),分布列见解析;
(2),证明见解析;
(3)所得奖券数额的期望约为593.7元.
解析:(1)依题意,抽到一个红球的概率为,抽到一个黑球的概率为0.4,
显然的值为25,50,则,,
所以,
又的值为25,50,100,
则,,,
所以的分布列为:
(2)依题意,当时,甲第n次抽到红球所得的奖券数额为,对应概率为0.6,
抽到黑球所得的奖券数额为25元,对应概率为0.4,
因此当时,,
,即,又,
数列为等比数列,公比为1.2,首项为90.
(3)由(2)得,,即,
所以顾客甲抽奖6次,所得奖券数额的期望为(元).
19.答案:(1)
(2)1
(3)证明见解析
解析:(1)要使函数有意义,需满足,
令,
则,令,解得,
当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
的定义域为;
(2)由恒成立得,,
当时,不等式恒成立;
下面说明当且为整数时不等式成立的情况.
当时,不等式显然成立,
当时,等价于恒成立,此时恒成立,
令,则,令得,
当即且a为整数时,无解;
当即且a为整数时,
若,则,若,则,
即在上单调递增,在上单调递减,
则要使不等式恒成立,须使恒成立,
令,则故单调递增,
从而,当且仅当时取等号,此时恰有原不等式恒成立,
综上所述,a能够取得的最大整数值是1;
(3)由(2)可知,当时,恒成立,即,即,
当时,,即,
令,则有即
于是,
,得证.
25
50
100
P
0.4
0.24
0.36
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