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    黑龙江省牡丹江市省级示范高中2025届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

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    黑龙江省牡丹江市省级示范高中2025届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

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    这是一份黑龙江省牡丹江市省级示范高中2025届高三上学期期中考试数学试卷(含答案),共14页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.若,则( )
    A.B.C.D.
    2.从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会,我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40,这11个数据的分位数是( )
    A.16B.30C.32D.51
    3.如图,在中,,,,D是边上靠近B点的三等分点,E是边上的动点,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    4.的展开式中的常数项为( )
    A.147B.C.63D.
    5.若函数在区间上单调递增.则a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    6.已知,是一元二次方程的两个根,则( )
    A.B.C.D.
    7.已知函数,若关于x的方程有实数解,则m的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    8.若函数在上恰有3个零点,则符合条件的m的个数是( )
    A.4B.5C.6D.7
    二、多项选择题
    9.已知向量,,则( )
    A.若,则B.若,共线,则
    C.不可能是单位向量D.若,则
    10.在等比数列中,,,则( )
    A.的公比为B.的公比为2
    C.D.数列递增数列
    11.已知函数,,若,的图象与直线分别切于点,,与直线分别切于点C,D,且,相交于点,则( )
    A.B.C.D.
    三、填空题
    12.已知平面向量,满足,且,则________.
    13.若,且,则__________.
    14.设,分别为等差数列,的前n项和,且.设A是直线BC外一点,P是直线BC上一点,且,则实数的值为________.
    四、解答题
    15.已知等比数列为递增数列,其前n项和为,,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若数列是首项为1,公差为3的等差数列,求数列的通项公式及前项和.
    16.在锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
    (1)证明:.
    (2)若点D在边AC上,且,求a的取值范围.
    17.8世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒(BrkTaylr)发现的泰勒公式(又称麦克劳林公式)有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时,.其中,表示的二阶导数,即为的导数,表示的阶导数.
    (1)根据公式估计的值;(结果保留两位有效数字)
    (2)由公式可得:,当时,请比较与的大小,并给出证明;
    (3)已知,证明:.
    18.某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动,抽奖规则是:有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个,若第一次抽到红球则奖励50元的奖券,抽到黑球则奖励25元的奖券;第二次开始,每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍,抽到黑球则奖励25元的奖券,记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为.
    (1)求及的分布列.
    (2)写出与的递推关系式,并证明为等比数列;
    (3)若顾客甲一共有6次抽奖机会,求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.(考数据:)
    19.已知.
    (1)求的定义域;
    (2)若恒成立,求a能够取得的最大整数值;
    (3)证明:.
    参考答案
    1.答案:B
    解析:因为,则,
    所以.故选B.
    2.答案:C
    解析:把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51,
    因为,这11个数据按照从小到大排列第7个是32.
    故选:.
    3.答案:C
    解析:由,解得.
    设,,则.
    4.答案:C
    解析:二项式展开式中项分别为,,
    所以的展开式中的常数项为.故选:C
    5.答案:D
    解析:在区间上单调递增,令,单调递减,
    则在区间上单调递减且恒为正,
    所以且,所以.
    故选:D.
    6.答案:A
    解析:因为,是一元二次方程的两个根,
    显然,所以,,
    所以,
    所以.
    故选:A.
    7.答案:D
    解析:令,则恒成立,则在R上单调递增,且是奇函数.
    由,得,即,
    从而,即
    故选:D
    8.答案:B
    解析:令,则或,
    由,
    当时,在上没有零点,
    则在上应有3个零点,
    因为,所以,即,
    与联立得,因为,所以m的值依次为9,10;
    当时,在上有1个零点,
    在上有3个零点0,,,不满足题意;
    当时,在上有2个零点,
    故在上应有1个零点,
    因为,所以该零点与的零点不相同,
    所以,即,与联立得,
    因为,所以m的取值依次为2,3,4,综上得符合条件的m的个数是5.
    故选:B.
    9.答案:AD
    解析:对于A,由,得,解得,A正确;
    对于B,由,共线,得,解得,B错误;
    对于C,当时,是单位向量,C错误;
    对于D,当时,,则,D正确.
    故选:AD
    10.答案:BC
    解析:设等比数列的公比为q,
    依题意得解得所以故,故BC正确,A错误;对于D,,则数列为递减数列,故D错误.故选:BC.
    11.答案:BC
    解析:由题意得,,所以,即,由,整理得,且,A错误;
    把,,代入,整理得,B正确;
    分别作出与的图象如下:
    两图象有2个交点,所以图象上的切点有2个,即与的公切线有2条.
    因为,的图象关于直线对称,所以点关于直线的对称点为,,,,C正确;
    因为直线,关于直线对称,则点P就是直线与直线的交点,
    直线的方程为,与联立得,
    所以,所以,
    由且可得,
    设,则,所以,所以,D错误.
    故选:BC.
    12.答案:
    解析:因为,所以,则,
    所以.故答案为:.
    13.答案:
    解析:由,得.
    因为,所以,则,则.
    由,得,则,解得.故答案为:.
    14.答案:
    解析:依题意,B,C,P三点共线,
    ,,
    依题意,,
    .
    15.答案:(1);
    (2),
    解析:(1)设等比数列的首项为,公比为q,
    根据题意可得,解得或,
    因为等比数列为递增数列,所以,
    所以数列的通项公式为.
    (2)因为数列是首项为1,公差为3的等差数列,
    所以,所以,
    所以.
    16.答案:(1)证明见解析
    (2).
    解析:(1)证明:因为,所以,
    整理得.
    又,所以,从而,
    整理得,则.
    由,得,
    即,结合锐角中,,
    则,即.
    (2)如图,由,可得,则.
    在中,由正弦定理得,
    整理得.
    因为,且是锐角三角形,所以解得,
    则,
    从而,即a的取值范围为.
    17.答案:(1)0.88
    (2),证明见解析
    (3)证明见解析
    解析:(1)记,则,,,,
    ,所以,
    因为,
    所以且,,.
    (2)令,则,,,
    恒成立,在递增,,在递增,
    ,在递增,,即.
    (3)由题,,,则,则,
    令,,
    易得在上递增,在上递减,从而,
    即(当且仅当时取等号),
    ,即,
    ,
    ,得证.
    18.答案:(1),分布列见解析;
    (2),证明见解析;
    (3)所得奖券数额的期望约为593.7元.
    解析:(1)依题意,抽到一个红球的概率为,抽到一个黑球的概率为0.4,
    显然的值为25,50,则,,
    所以,
    又的值为25,50,100,
    则,,,
    所以的分布列为:
    (2)依题意,当时,甲第n次抽到红球所得的奖券数额为,对应概率为0.6,
    抽到黑球所得的奖券数额为25元,对应概率为0.4,
    因此当时,,
    ,即,又,
    数列为等比数列,公比为1.2,首项为90.
    (3)由(2)得,,即,
    所以顾客甲抽奖6次,所得奖券数额的期望为(元).
    19.答案:(1)
    (2)1
    (3)证明见解析
    解析:(1)要使函数有意义,需满足,
    令,
    则,令,解得,
    当时,,在上单调递减,
    当时,,在上单调递增,
    的定义域为;
    (2)由恒成立得,,
    当时,不等式恒成立;
    下面说明当且为整数时不等式成立的情况.
    当时,不等式显然成立,
    当时,等价于恒成立,此时恒成立,
    令,则,令得,
    当即且a为整数时,无解;
    当即且a为整数时,
    若,则,若,则,
    即在上单调递增,在上单调递减,
    则要使不等式恒成立,须使恒成立,
    令,则故单调递增,
    从而,当且仅当时取等号,此时恰有原不等式恒成立,
    综上所述,a能够取得的最大整数值是1;
    (3)由(2)可知,当时,恒成立,即,即,
    当时,,即,
    令,则有即
    于是,
    ,得证.
    25
    50
    100
    P
    0.4
    0.24
    0.36

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