黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. [1，4]
【答案】A
【解析】
【分析】先化简集合，再利用交集定义即可求得.
【详解】
故
故选：A
2. 已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由模的平方得数量积与的关系，再代入投影向量公式可得.
【详解】因为平方得，,
又，则化简得，
故在方向上的投影向量是.
故选：D．
3. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由函数在上单调递增，得，解得，
充分性，当“”时，函数在上不一定单调递增，故充分性不成立，
必要性，函数在上单调递增，则，故必要性成立，
则“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题给条件求得的值，进而求得的值.
【详解】由，可得，
则，则，则，
故
故选：C
5. 已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用椭圆定义得到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而得到的方程.
【详解】圆，圆心，半径，
圆，圆心，半径，
因为
所以圆在圆内，
所以动圆与圆内切与圆外切，
设动圆半径为r，圆心，
则，，
故，
所以动点的轨迹是以为焦点长轴长为的椭圆.
由，
解得，jcdm
所以，
又因为该椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，
所以的方程为.
故选：C
6. 如图，三棱柱中，E，F分别是AB、AC的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（ ）
A. 5:6B. 3:4C. 1:2D. 5:7
【答案】D
【解析】
【分析】设面积为，和的面积为，三棱柱高位；；；总体积为：，根据棱台体积公式求；以及面积关系，求出体积之比．
【详解】由题：设面积为，和的面积为，三棱柱高位；；
；总体积为：
计算体积：
①
②
③
由题意可知，④
根据①②③④解方程可得：，；则.
故选：D．
7. 专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（ ）
A. 25台B. 24台C. 23台D. 22台
【答案】B
【解析】
【分析】设至少需要台抽水机，记一台抽水机20min完成的任务为单位1， 台抽水机完成的任务依次为，，是公差为的等差数列，解不等式即可得．不等式数字较大，引入二次函数后，利用函数的性质确定结论．
【详解】设至少需要台抽水机，记一台抽水机20min完成的任务为单位1，这台抽水机完成的任务依次为，（）
依题意，，是公差为的等差数列，
，
要完成所有任务，则，
，
记，在上是减函数，
，，
所以时，，
所以最小值需要24台抽水机，
故选：B．
8. 已知函数，若，当时，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. [0,8]
【答案】D
【解析】
【分析】将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增，继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解．
【详解】不妨设，
因为对一切都成立，
所以对一切都成立，
令，则．定义域为，
则原问题转化为在上单调递增；
，
当时，，在单调递增；
当时，需在上恒成立，即在上恒成立，
对于图象过定点，对称轴为，
故要使得在上恒成立，
需满足a>0且，
解得，
综合可得，即的取值范围为,．
故选：D.
【点睛】方法点睛：遇到双变量函数不等式，需要集中变量转化为函数值大小关系，从而构造函数，转化为新函数单调性判断问题，再结合导数确定单调性即可得所求.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ）
A. B. 离心率为
C. 的面积为6D. 的面积为12
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由题意及椭圆定义列出方程求解可判断A，根据离心率定义判断B，根据A可知三角形为直角三角形，求面积可判断CD .
【详解】由，得，则，
因为是椭圆上一点，所以，
因为，所以，，故A正确；
对于B，离心率为，故B正确；
对于CD，因为，所以为直角三角形，，所以，故C正确，D错误．
故选：ABC
10. 已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则（ ）
A. 的最小正周期是B.
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正弦型函数的周期与对称性可得的值，从而得函数解析式，利用正弦型函数的最小周期、最值、零点逐项判断即可得结论.
【详解】由题意可知，的最小正周期，故A不正确；
因为，由，可知为的一条对称轴，
所以，故B正确；
因为为一条对称轴，所以，则，
又因为，所以，故，
当时，，
若在区间上恰有3个零点，则，解得，
所以的最小值为，无最大值，故C正确，D不正确.
故选：BC.
11. 在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为的重心，则B. 若为的外心，则
C. 若为的垂心，则D. 若为的内心，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，对于A、C、D：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可．
【详解】在中，，，为内的一点，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
对于选项A：若为的重心，则，，则，
所以，
若，由平面向量基本定理可得：，
解得，所以，故选项A不正确；
对于选项B：若为的外心，其必在直线上，
所以，故选项B正确；
对于选项C：若为的垂心，其必在上，设，
则，解得，
此时，
若，由平面向量基本定理可得：，
解得，所以，故选项C正确；
对于选项D：若为的内心，设内切圆半径为，
则，得，则，
此时，
若，由平面向量基本定理可得：，
解得，所以，即选项D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用复数模的几何意义求解.
【详解】设复数，则，
即，则点的轨迹为圆心在，半径为的圆，
，其表示点到点的距离，
其最大值为到圆心的距离加上半径，即，
故答案为：.
13. 边长为1的正三角形ABC的内心为，过的直线与边AB，AC交于P、Q，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】以为坐标原点，与平行的直线为轴，建立直角坐标系，从而得直线，方程，设直线为，利用直线相交得坐标，从而可得的表达式，根据函数性质得最值.
【详解】如图，以为原点，所在直线为轴，与平行的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，
所以直线方程为，直线方程为，
过的直线与边AB，AC交于P、Q，设直线为，且，
所以，，
则，
故，
因为，故当时，取到最大值为.
故答案为：18
14. 已知数列的前项和为，满足，函数定义域为R，对任意都有，若，则的值为______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用确定数列的递推关系，从而求得通项公式，利用可确定函数是周期函数且得出周期，由二项展开式确定除以4所得余数，由求得，最后利用周期性得结论．
【详解】因为，
当时，，，
，则，
所以，
所以是等比数列，公比为，，
所以，
，则，
所以，即是周期函数，且周期为4，
，则，
，
上述展开式中，从第二项开始每一项都是8的倍数，也是4的倍数，
所以，
故答案为：．
【点睛】方法点睛：在已知数列的项与前项和关系时，一般利用确定数列的前后项之间的关系，从而求得通项公式，解题时要注意的情形是否对也适用．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件利用正弦定理及和角公式可得，再结合的范围，即可得到；
（2）由正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，根据角的范围可得的范围，进而得到答案．
【小问1详解】
由正弦定理可得：，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，即；
【小问2详解】
由正弦定理得，
所以，
则
，
由于为锐角三角形，故，所以，
从而，则，所以，
因此面积的取值范围是．
16. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.
表一：
（1）请用相关系数说明该组数据中变量与变量之间的关系可以用线性回归模型拟合（结果精确到0.001）；
（2）求关于经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；
（3）基于上述调查，某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周六在校自主学习与成绩进步”是否有关.
表二：
（参考数据：方差为的方差为230.8，）
附：，.
【答案】（1）详见解析；
（2）分.
（3）有关
【解析】
【分析】（1）依据公式计算即可求得相关系数；
（2）利用最小二乘法求得回归方程，再令即可得解；
（3）根据公式求得，再对照临界值表即可得解.
【小问1详解】
，
又的方差为的方差为230.8，
则
r值非常接近于1，故变量与变量之间的关系可以用线性回归模型拟合.
【小问2详解】
，
，
故，当时，，
故预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩为分.
【小问3详解】
,
因为，所以依据的独立性检验，
可以认为“周六在校自主学习与成绩进步”有关.
17. 已知等差数列和等比数列，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为；
（3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对于任意的时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式列方程组求得公差、公比后可得通项公式；
（2）由错位相减求和；
（3）用裂项相消法求得和，不等式转化为，引入函数，由导数确定的单调性后，可得出的最小值，从而得的范围．
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则由得：
，解得（舍去），
所以，；
【小问2详解】
，
，
则，
，
所以；
【小问3详解】
由（2）,
所以．
恒成立，即，，
设，则，由得，
，因此,,记，即，
时，，递减，时，递增，因此是的最小值，
，，
所以对任意的，的最小值是，
所以．
18. 如图，在三棱柱中，已知底面，为的中点，点在棱上，且为线段AD上的动点.

（1）证明：；
（2）若直线与所成角的余弦值为，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件证明平面，再由线面垂直的性质得到；
（2）由（2）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，将二面角的问题转化为向量夹角问题求解．
【小问1详解】
证明：在三棱柱中，底面，
所以三棱柱是直三棱柱，则，
因为，所以，
又因为，为的中点，
所以，又，平面，
所以平面，因为平面，
所以，
易知，则，
因为，
所以，则，
即，又，平面，
所以平面，
所以；
【小问2详解】
由（1）取的中点，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：

则，，，
设，
所以，
因为直线与所成角的余弦值为，
所以，解得，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
所以为平面的一个法向量，
易知是平面的一个法向量，
则，
由图可知为锐角，
所以二面角的余弦值为．
19. 设是定义在区间上的连续函数，若存在区间，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“含峰函数”，为“峰点”，称为的一个“含峰区间”.
（1）判断下列函数是否为“含峰函数”？若是，请指出“峰点”；若不是，请说明理由：
（i）；
（ii）.
（2）已知是“含峰函数”，且是它的一个“含峰区间”，求的最大值；
（3）设是“含峰函数”，是它的一个“含峰区间”，并记的最大值为.若，且，求的最小值.
【答案】（1）（i）是“含峰函数”，“峰点”为 （ii）不是 “含峰函数”
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）结合所给定义，分别借助导数研究函数与是否有极大值即可得；
（2）结合所给定义，可得在上存在极大值点，结合导数计算即可得的范围，即可得其最值；
（3）求导后可因式分解，由定义可得有两不相等实根，再根据，结合单调性得到，根据，结合单调性得到，即有，即可结合韦达定理表示出，再由、代入计算可得出间的关系，即可分类讨论最小值.
【小问1详解】
（i）由，，
当或时，，当或时，，
所以在和上单调递增，在和上单调递减，
故存在区间，该函数在上单调递增，在上单调递减，
故是“含峰函数”， “峰点”为，
（ii），，则在上是增函数，
故不是“含峰函数”；
【小问2详解】
由题意在上存在极大值点，
的定义域是，
，
因为，令得，（舍去），
当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得，又，所以的最大值是；
【小问3详解】
由，
则，
若，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
此时不为 “含峰函数”，
则有两个不等实根，
设这两根分别、且，
则有，
，，
由，故在上不为减函数，
若，则当时，，即在上单调递减，矛盾，故；
由，故在上不为增函数，
若，则当时，，即在上单调递增，矛盾，故；
故有，
故当时，，当时，，
即在、上单调递减，在、上单调递增，
故，故
，
由，即，
，即，
令，解得，
故当时，，当时，，
故当时，
，
由，故，
当时，
，
由，故，
综上所述，的最小值为，此时，.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于根据，结合单调性得到，根据，结合单调性得到.编号
1
2
3
4
5
学习时间
30
40
50
60
70
数学成绩
65
78
85
99
108
没有进步
有进步
合计
参与周六在校自主学习
35
130
165
未参与周六不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828