2024-2025学年山东省泰安市泰山区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省泰安市泰山区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了选择题，四象限，，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置）
1. 下列函数不是反比例函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意；
B、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意；
C、，不符合（k为常数，）的形式，不是反比例函数，故选项符合题意；
D、∵，
∴，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意；
故选：C
2. 在中，，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，
，
可设，，
根据勾股定理可得：
，
，
故选：．
3. 已知抛物线，将抛物线向下移动5个单位长度，向左移动3个长度单位后，所得抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】抛物线，将抛物线向下移动5个单位长度，向左移动3个长度单位后，所得抛物线的表达式是．
故选：B
4. 在反比例函数的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】反比例函数的解析式为，其中，
反比例函数的图象位于二、四象限，
，，在反比例函数的图象上，
，第二象限，
又，，
又在第四象限，，
，
故选：．
5. 如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】连接BD，如图所示：
根据网格特点可知，，
∴，
∵， ，
∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正确．
故选：D．
6. 抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵抛物线与轴只有一个公共点，
∴
∴．
故选：B．
7. 在等腰，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点A作于点D，
，，，
，
，
，，，
，
，
，
故选：D．
8. 定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 该函数图象位于第一、三象限
B. 当时，
C. 该函数图象经过点
D. 函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形
【答案】D
【解析】，，
A．该函数图象位于第二、四象限，故本选项不符合题意；
B．当时，随增大而增大，当时，，故本选项不符合题意；
C．当时，，该函数图象经过点原说法错误，故本选项不符合题意；
D．函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形，说法正确，故本选项符合题意；
故选：D．
9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 对称轴是直线
B. 最大值
C. 与x轴只有一个交点
D. 当时，随的增大而增大
【答案】C
【解析】，
直线是抛物线的对称轴，
故A选项说法正确；
当时，抛物线有最大值，
故B选项说法正确；
令，，
抛物线与x轴有两个交点，
故C选项说法错误；
当时，随的增大而增大，
故D选项说法正确，
故选：C．
10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限，
，，即，，
则一次函数y=mx+n不经过第一象限．
故选A．
11. 图，在轴的正半轴上依次截取，过点、、、…，分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、、、…，连接、、…，过点、、…分别向、、…作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】∵
∴设，，…
∵、、、…在反比例函数的图像上
∴
∵
∴
…
∴
故选：C．
12. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：；；函数的最大值为；若关于的方程无实数根，则．正确的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，
故正确；
，
，
又抛物线与轴交于点，
，
即：，
代入，可得：
，
故正确；
抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，
根据轴对称的性质可得，抛物线与轴另一个交点的横坐标为：，
抛物线与轴交于点，，
可以假设抛物线的解析式为，
当时，的值最大，最大值为，
故正确；
无实数根，
无实数根，
，，
，
整理，得：，
解得：，故正确；
综上所述，正确的有：，共个，
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果）
13. 老李驾车从甲地到乙地，他以60千米/时的平均速度5小时到达目的地，当他按原路匀速返回甲地时，汽车的速度（千米/时）与时间（时）（）的函数关系式为________．
【答案】
【解析】由已知得：甲地到乙地的路程（千米），则
汽车的速度y（千米/时）与时间x（时）（）的函数关系式为：，
故答案为：．
14. 二次函数y=x2﹣6x+5的顶点坐标是 ____________.
【答案】（3,-4）.
【解析】，
由此可得二次函数y=x2﹣6x+5的顶点坐标是（3，-4）.
15. 如图所示，矩形的边在轴上，在轴上，反比例函数的图象经过边上的点和边上的点，若恰好是的中点，其坐标为，连接、，则四边形的面积为__________．
【答案】20
【解析】∵D坐标为，点D在反比例函数的图象上，
∴，∵D好是的中点，∴点B的坐标为 ，
∵四边形为矩形，点D、E在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：20．
16. 如图，在距离铁轨米的处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上；一段时间后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这时段动车的运动路程是________米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】如图，
由题意可知：
，，，，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
17. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的学校是_______．
【答案】丙
【解析】描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，
过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示：
由图可知，
、乙、、丁在反比例函数图像上，
根据题意可知优秀人数，则
①，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，
故答案为：丙．
18. 已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若点，在抛物线上，，且，则；④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是________（填写序号）．
【答案】①②③④
【解析】∵抛物线过两点，且，
，
，
∴，即，
∵抛物线开口向下，，
∴，故①正确；
若，则，∴，
∴，故②正确；
∵抛物线，点在抛物线上，
∴，
把两个等式相减，整理得，
，
，
，
∴，故③正确；
依题意，将方程写成，
整理，得，
，
，，
，故④正确．
综上所述，①②③④正确．故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共7个小题，满分78分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤）
19. 计算
（1）；
（2）．
解：（1）原式；
（2）原式．
20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）连接，，求的面积．
解：（1）将代入得，
，
，
将代入，
得，
，
；
（2）由图象可知当时，的取值范围为或；
（3）将，分别代入，
得，
，
，
令，则，
解得：，

．
21. 已知二次函数的图象经过点，．
（1）求，的值；
（2）求出顶点坐标，并在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
（3）如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离．
解：（1）将，代入，
得，解得：；
（2）二次函数，
画函数图象的步骤：
列表：
描点：
连线：
图象如图所示，
顶点坐标为，对称轴是直线；
（3）把代入，
得，
点向下平移10个单位得到点，
所以需将抛物线向下平移10个单位．
22. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图，四边形为矩形，长米，长米，点距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．
（1）如图，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为米，求点到的距离的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，）
解：（1）如图，过点作，垂足为，
，
由题意可知，
，，米，米，
，
（米），
在中，，
，
（米），
四边形为矩形，
（米），
（米）；
（2）能，理由如下：
由题意可知，
，
，
当，米时，
则，
（米），
（米），
四边形为矩形，
（米），
（米），
，
能通过，
答：轿车能驶入小区．
23. 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表：
若日销售量是销售价的一次函数，试求：
（1）日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
解：（1）设日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式为，
由题意得，
解得．
所求函数关系式为：；
（2）依题意，设利润为元，得
整理得
当时，取得最大值，最大值为225
每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
24. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数：①；②；③．其图象上存在“近轴点”的是哪几个函数；
（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，求的取值范围．
解：（1）①中，时，，
是函的“近轴点”；
②，由对称性，当时，，
函数不存在“近轴点”；
③，
时，，
是的“近轴点”；
上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是①③
（2）中，时，，
图象恒过点，当直线过时，，；
；
当直线过时，，
，
；
的取值范围为或．
25. 如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，将直线绕点逆时针旋转，所得直线与轴交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点，
①当点到直线的距离最大时，求出最大距离；
②当点到直线的距离为时，求的值．
解：（1）当时，则点的坐标为0,4，
当时，，解得，，则点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
∵将直线绕点逆时针旋转得到直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的函数解析式为
，得，
即直线的函数解析式为；
（2）作轴交直线于点，如图①所示，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴轴，∴轴，
∴，
作于点，则，
∴，
∴当时，取得最大值，此时点P的坐标为，
即当点到直线的距离最大时，点的坐标是，最大距离是；
②当点到直线的距离为时，如图②所示，
则，
解得：，
则的坐标为，的坐标为，
当的坐标为，则，
∴；
当的坐标为，则，
∴；
由上可得，的值是或．
x
…
0
1
2
3
4
…
…
3
0
0
3
…
（元）
20
25
30
…
（袋）
20
15
10
…