重庆市字水中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学（I卷）试卷(含答案)

这是一份重庆市字水中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学（I卷）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若直线l的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为( )
A.B.C.D.
2．已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为( )
A.6B.3C.4D.2
3．如图,空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,点N为BC中点,则等于( )
A.B.
C.D.
4．已知圆，圆，则圆的位置关系为( )
A.内切B.外切C.相交D.外离
5．若直线与平行，则两直线间的距离为( )
A.B.C.D.
6．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是( )
A.B.
C.D.
7．正方体的棱长为是的中点，则三棱锥的体积是( )
A.B.C.D.2
8．一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A.或B.或C.或D.或
二、多项选择题
9．下列说法错误的是( )
A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件；
B.直线与直线互相平行，则；
C.过，两点的所有直线的方程为；
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为.
10．已知圆，直线，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.直线l与圆恒相交
C.的最小值为
D.若点在圆M上，则的最小值是
11．在正三棱柱中,,点P满足,其中,,则( )
A.当时,的周长为定值
B.当时,三棱锥的体积为定值
C.当时,有且仅有一个点P,使得
D.当时,有且仅有一个点P,使得平面
三、填空题
12．求焦点在x轴上，焦距为4，且经过点的椭圆标准方程
13．圆与圆相交于两点，则____________.
14．已知是圆上两点，且，直线上存在点P使得，则m的取值范围为____________.
四、解答题
15．已知直线，直线，记两条直线的交点为P.
(1)求两条直线交点P的坐标；
(2)若过点P的直线l被圆截得的弦长为，求直线l的方程.
16．如图，长方体的底面是边长为2的正方形，，点E为棱的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知圆是圆C上的一个动点，点是线段的中点，O为坐标原点.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)当时，求直线的方程及的面积.
18．如图，四棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形且垂直于底面E是的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)点M在棱上，且二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.
19．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点P到的距离是点P到的距离的2倍.
(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)过点B作直线l，交轨迹T于两点，记的面积为S，求S的最大值，以及取最大值时的直线l方程.
(3)设轨迹T与y轴正半轴的交点为C，直线相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可得直线的斜率,
故选:C
2．答案：D
解析：由椭圆,得,
即,设左焦点为,右焦点为,
则,
因为,
所以,
即点P到左焦点的距离为2.
故选:D
3．答案：B
解析：点N为中点,
,
.
故选：B.
4．答案：B
解析：圆,
即,圆心,半径;
圆,
即,圆心,半径.
所以,
所以圆外切,
故选B
5．答案：C
解析：由题意得,
解得,
所以直线,
所以两直线间的距离为
故选：C
6．答案：A
解析：因为过点与，
所以线段的中点坐标为，
，
所以线段的中垂线的斜率为，
所以线段的中垂线的方程为，
又因为圆心在直线上，
所以，解得
所以圆心为，
所以圆的方程为.
故选：A
7．答案：D
解析：
8．答案：B
解析：由题意可知点关于直线的对称点为,
由入射光线与反射光线的对称性知反射光线所在直线一定过点,
设反射光线所在直线方程为,
即,由直线与圆相切可得
,解得或,
故选B
9．答案：ACD
解析：""是"直线与直线互相垂直"的充分不必要条件，所以A不正确；
直线与直线互相平行,则或(舍去),所以B正确;
过,两点的所有直线的方程为
或,或,所以C不正确;
经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为,或,
所以D不正确.
故选：ACD
10．答案：ABD
解析：由题意得直线l的方程可化为,
所以直线l恒过定点,且点
在圆M内,所以直线与圆恒相交,故A,B正确;
当直线l与过定点的直径垂直时,弦长AC最小,
此时弦心距,
所以AC的最小值为故C错误
因为点在圆M上,其中
可看作圆M上的点到定点的距离的平方,
圆M上的点到定点的距离的最小值为-2,
所以的最小值是,故D正确.
故选ABD
11．答案：BD
解析：易知,点P在矩形内部（含边界）.
对于A,当时,,
即此时线段,周长不是定值,故A错误;
对于B,当时,,
故此时P点轨迹为线段,
而,平面,则有P到平面的距离为定值,
所以其体积为定值,故B正确.
对于C,当时,,取,中点分别为Q,H,则,所以P点轨迹为线段,不妨建系解决,
建立空间直角坐标系如图,,,,
则,,
所以或.故H,Q均满足,故C错误;
对于D,当时,,
取,中点为M,N,
所以P点轨迹为线段.设,因为,
所以,,
所以,
此时P与N重合,故D正确.
故选：BD
12．答案：
解析：由题意焦距为4，得，
又焦点在x轴上，所以焦点为，，
所以，
所以，，
所以椭圆方程为.
13．答案：4
解析：圆与
圆相交于A、B两点,
公共弦的方程为:,
即,圆的圆心,半径为2,
所以.
故答案为:4
14．答案：
解析：由题意可知:圆的圆心为,半径.
设AB中点为M,则,
且,可得，
又因为,可知为边长为2的等边三角形，
则,可得,
可知点P的轨迹是以原点O为圆心半径为的圆
因为直线上存在点P使得，
即直线与圆有交点
可知圆心到直线的距离,
解得:.
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)联立
可知：且.
点P的坐标为.
(2)设点的直线l的方程为：.
整理可得：.
圆的圆心为，半径为，
由点到直线距离公式可得：，解得：.
所求直线方程为；
当直线l的斜率不存在时，即时符合题意.
综上：所求直线l的方程为或.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)由已知可得平面.
且平面，
所以，
在中，，
所以，所以，
又因为平面，
所以平面.
又因为平面，
所以平面平面.
(2)以为x轴，为y轴，为y轴建立如图所示坐标系.
由(1)知平面，
所以平面的一个法向量是
设直线与平面所成角为，
则.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由圆，即，
设
是线段的中点
，即
又因为在圆上
，
即
整理得.
的轨迹方程是.
(2)由(1)知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
由于，
故O在线段的垂直平分线上，
又P在圆C上，
从而.
，
直线的斜率为.
直线的方程为，
即.
则O到直线l的距离为.
又N到l的距离为，
.
.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)取中点F，连结，
因为E为的中点，
所以，，
由，得
又，所以，
则四边形为平行四边形，有，
又平面平面，故平面.
(2)由已知得，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设，则可得，
设平面的一个法向量为，
则，
即，
取，则，
又易知底面的一个法向量为，
由于二面角的余弦值为，
，
，解得或（舍去），
19．答案：(1)
(2)；
(3)答案见解析
解析：(1)设点，由题意可得，
即，
化简得，
所以点P的轨迹T的方程为.
(2)由题易知直线l的斜率k存在，设直线l的方程为，
即，
则圆心到直线l的距离，
所以，
则
设，因为，
则，即.
所以，，
因为，所以.
此时，，即，
所以直线l的方程为：.
(3)，设，
联立
消y得，
则，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
联立
解得，
则，
所以，
所以点N在定直线上.