湖北省武汉市洪山区卓刀泉中学2022-2023学年八年级（下）月考数学试卷（3月份）

这是一份湖北省武汉市洪山区卓刀泉中学2022-2023学年八年级（下）月考数学试卷（3月份），共19页。试卷主要包含了下列各式计算正确的是，如图，一架2等内容，欢迎下载使用。

1.（3分）要使二次根式4+x有意义，x的取值范围是( )
A. x≠-4B. x⩾4C. x⩽-4D. x⩾-4
2.（3分）下列根式中，化简后能与3进行合并的是( )
A. 8B. 18C. 32D. 12
3.（3分）以下列各数为边，不能组成直角三角形的是()
A. 32，2，52B. 15，8，17
C. 5，8，7D. 10，26，24
4.（3分）下列各式计算正确的是()
A. 22−2=2B. 3+2=5
C. 33×23=63D. 66÷23=32
5.（3分）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=2，则AB=( )
A. 4B. 233C. 433D. 33
6.（3分）已知a、b、c为ΔABC的三边，且满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则ΔABC是( )
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
7.（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分ΔAFC的面积为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
8.（3分）如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时梯足B到墙底端O的距离为0.7米，若梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将外移()米.
A. 1.5B. 0.9C. 0.8D. 0.4
9.（3分）如图，已知ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将ΔABC绕点A顺时针方向旋转60°到ΔAB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为( )
A. 2-2B. 32C. 3-1D. 1
10.（3分）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，RtΔABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有( )
A. 9个B. 8个C. 7个D. 6个
11.（3分）化简：50-72= ______ ．
12.（3分）直角三角形中，若两条边的长分别为4，5，则第三条边的长为 ______ .
13.（3分）已知x=5+3，则代数式x2−6x−7的值为 ______ .
14.（3分）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的周长为 ______ .
15.（3分）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是______．
16.（3分）已知a，b均为正数，且a+b=8，求a2+9+b2+9的最小值 ______ .
17.（8分）计算：
(1)212−613+48；
(2)212×34+62.
18.（8分）一个三角形的边长分别为6x3、344x3、x12x.
(1)求它的周长(要求结果化简)；
(2)请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长的值.
19.（8分）若a=5+2，b=5−2，求：
(1)a2−b2；
(2)ba+ab.
20.（8分）如图，为迎接中国共产党建党100周年，武汉市卓刀泉中学拟对学校中的一块空地进行美化施工，AB=3米，BC=4米，AD=13米，CD=12米，∠ABC=90°，欲在此空地上种植盆景造型，已知盆景每平方米500元，试用该盆景铺满这块空地共需花费多少元？
21.（8分）由边长为1的小正方形构成网格，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C都是格点，点P是AB与网格线的交点.仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并回答下题：

(1)直接写出AC=______ ；
(2)在图1中，画△ABC的角平分线AD；
(3)在图2中，在AB的上方找一个格点D，使∠ABD=45°；
(4)在图2中，在边AB上画点E，使∠AEC=45°.
22.（8分）已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，连接EF.

(1)如图1，求证：∠BED=∠AFD；
(2)如图1，求证：BE2+CF2=EF2；
(3)如图2，当∠ABC=45°，若BE=4，CF=3，求△DEF的面积.
23.（8分）(1)如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系.
解题思路：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC=180°，可证∠ABD=∠ACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD=DE；从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系.
根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是 ______ .
【拓展延伸】
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.若点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
(3)如图3，两块斜边长都为12cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为 ______ cm.
24.（8分）已知：在平面直角坐标系中，P为第二象限的一点，PA⊥x轴于A.若P(a,b)，且a，b满足a+6+a2+6ab+9b2=0.
(1)求OP的长度；
(2)在坐标轴上是否存在点C，使CP=OC，若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由；
(3)如图，在y轴正半轴上取点B，使得OA=OB，D(m,n)为第二象限上一点，过点D作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，且交线段AB于G，H两点，求出当m，n满足什么关系时，∠GOH=45°，并给出证明.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，4+x⩾0，解不等式即可．
【解答】
解：由题意得，4+x⩾0，
解得，x⩾-4，
故选D．
2.【答案】D
【解析】解：A、8=22，与3不能进行合并，故本选项错误；
B、18=32，与3不能进行合并，故本选项错误；
C、32=62，与3不能进行合并，故本选项错误；
D、12=23，与3能进行合并，故本选项正确；
故选：D．
先根据二次根式的性质把每个根式化成最简二次根式，再判断是否与3是同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的性质和二次根式的定义的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．
3.【答案】C
【解析】解：A、(32)2+22=(52)2，故是直角三角形，故此选项不合题意；
B、82+152=172，故是直角三角形，故此选项不合题意；
C、52+72≠82，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、102+242=262，故是直角三角形，故此选项不合题意．
故选：C.
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4.【答案】D
【解析】解：22−2=2，故选项A错误；
3+2不能合并，故选项B错误；
33×23=69=6×3=18，故选项C错误；
66÷23=32，故选项D正确；
故选：D.
根据二次根式的加减法和乘除法可以计算出各个选项中的式子的正确结果，从而可以解答本题．
此题主要考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
5.【答案】C
【解析】解：设BC=x，
∵在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2x，
∵AC=2，
∴由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
22+x2=(2x)2，
解得：x=233，
∴AB=2x=433，
故选C．
设BC=x，根据含30度角的直角三角形性质求出AB=2BC=2x，根据勾股定理得出方程22+x2=(2x)2，求出x即可．
该题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是能得出AB=2BC，用了方程思想．
6.【答案】D
【解析】解：∵(a-b)(a2+b2-c2)=0，
∴a-b=0，或a2+b2-c2=0，
即a=b或a2+b2=c2，
∴ΔABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D.
由(a-b)(a2+b2-c2)=0，可得：a-b=0，或a2+b2-c2=0，进而可得a=b或a2+b2=c2，进而判断ΔABC的形状．
此题主要考查了利用边判断三角形的形状，有两边相等的三角形是等腰三角形，满足a2+b2=c2的三角形是直角三角形．
7.【答案】C
【解析】解：易证ΔAFD′≌ΔCFB，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8-x，
在RtΔAFD′中，(8-x)2=x2+42，
解之得：x=3，
∴AF=AB-FB=8-3=5，
∴SΔAFC=12⋅AF⋅BC=10．
故选：C．
因为BC为AF边上的高，要求ΔAFC的面积，求得AF即可，求证ΔAFD′≌ΔCFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在RtΔAFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB-BF，即可得到结果．
该题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解答该题的关键．
8.【答案】C
【解析】解；在Rt△ABO中，已知AB=2.5米，OB=0.7米，
则AO=2.52−0.72=2.4(米)，

∵AD=0.4米，
∴OD=2米，
∵在Rt△ODC中，AB=CD=2.5米，
∴OC=CD2−OD2=1.5(米)，
∴BC=OC−OB=1.5−0.7=0.8(米)，
∴梯足向外移动了0.8米．
故选：C.
在Rt△ABO中，根据勾股定理即可求AO的长度，再求得OD的长度，在Rt△ODC中，利用勾股定理可求得OC的长度，据此即可求解．
此题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求OC的长度是解答该题的关键．
9.【答案】C
【解析】
该题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解答该题的关键，也是本题的难点．
连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出ΔABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明ΔABC′和ΔB′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD-C′D计算即可得解．

解：如图，连接BB′，

∵ΔABC绕点A顺时针方向旋转60°得到ΔAB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴ΔABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在ΔABC′和ΔB′BC′中，
AB=BB′AC′=B′C′BC′=BC′，
∴ΔABC′≌ΔB′BC′(SSS)，
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C=90°，AC=BC=2，
∴AB=(2)2+(2)2=2，
∴BD=2×32=3，
C′D=12×2=1，
∴BC′=BD-C′D=3-1．
故选：C．
10.【答案】A
【解析】
此类题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的运用，选取适当分类的标准，才能做到不遗不漏．分别以A、B、C为直角顶点，分类三种情况：当点C为直角顶点，AB为斜边；点A为直角顶点，BC为斜边；点B为直角顶点，AC为斜边；根据点在方格中的特点，画出图形得出答案即可．

解：如图：

符合条件的点C一共有9个．
故选：A．
11.【答案】 -2
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．首先化简二次根式，进而合并即可．
【解答】
解：50-72=52-62=-2．
故答案为：-2．
12.【答案】 41或3
【解析】解：当5为直角边时，第三边为42+52=41，
当5为斜边时，第三边为52−42=3，
故答案为：41或3.
分5为斜边和直角边，分别利用勾股定理可得答案．
此题主要考查了勾股定理，运用分类思想是解答该题的关键．
13.【答案】 −11
【解析】解：当x=5+3时，
x2−6x−7=(5+3)2−6(5+3)−7
=5+9+65−65−18−7
=−11，
故答案为：−11.
直接将x=5+3代入，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
此题主要考查二次根式的混合运算，正确计算是解答该题的关键．
14.【答案】
【解析】解：∵AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，
∴BD=AB2−AD2=9，CD=AC2−AD2=5，
如图1，CD在△ABC内部时，BC=BD+DC=9+5=14，

此时，△ABC的周长=14+13+15=42，
如图2，CD在△ABC外部时，BC=BD−CD=9−5=4，
此时，△ABC的周长=4+13+15=32，
综上所述，△ABC的周长为32或42.
故答案为：32或42.
根据题意作出图形，利用勾股定理列式求出CD、BD，再分CD在△ABC内部和外部两种情况求出BC，然后根据三角形的周长的定义解答即可．
此题主要考查了勾股定理的运用，解答该题的关键是分情况讨论求出BC的长，作出图形更形象直观．
15.【答案】 245
【解析】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，

∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
∵SΔABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，
∴CM=AC.BCAB=6×810=245．
故答案为：245．
过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用SΔABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
这道题主要考查了轴对称问题，解答该题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
16.【答案】 10
【解析】解：将a+b=8转化为a=8-b，代入a2+9+b2+9得，(b-8)2+(0-3)2+(b-0)2+(0-3)2，
可理解为点P(b,0)到A(8,3)与C(0,3)的距离．
如图：找到C关于x轴的对称点B(0,-3)，
可见，AB的长即为求代数式a2+9+b2+9的最小值．
∵AB=82+(3+3)2=10，
∴代数式a2+9+b2+9的最小值为10.
故答案为：10.
将代数式转化为(b-8)2+(0-3)2+(b-0)2+(0-3)2，理解为点P(b,0)到A(8,3)与C(0,3)的距离，利用勾股定理解答即可．
此题主要考查利用轴对称求最短路线的问题，难度较大，解题关键是将求代数式的值巧妙的转化为几何问题．
17.【答案】
【解析】
(1)先根据二次根式的性质进行化简，然后再按照二次根式加减运算法则进行计算即可；
(2)根据二次根式乘除运算法则进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则，是解答该题的关键．
18.【答案】
【解析】
(1)把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；
(2)根据(1)中的结果，选择一个符合题意的x的值即可．
此题主要考查二次根式的应用．解答本题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则．
19.【答案】
【解析】
(1)先求得a+b，a−b的值，再利用平方差公式变形，将a+b，a−b的值整体代入即可求解；
(2)先求得a+b，ab的值，再利用分式和完全平方公式变形，将a+b，ab的值整体代入即可求解．
此题主要考查完全平方公式、平方差公式、二次根式的混合运算，利用完全平方公式将所给式子进行变形是解答该题的关键．
20.【答案】
【解析】
首先利用勾股定理得出AC的长度，然后利用勾股定理得逆定理得到△ADC是直角三角形，进而求出△ADC和△ABC的面积，两个面积之和即为空地面积．
此题主要考查勾股定理和勾股定理得逆定理的应用，关键在于求出∠ACD=90°.
21.【答案】
【解析】解：(1)AC=12+72=52，
故答案为：52；
(2)如图，△ABC的角平分线AD即为所作，
；
(3)如图，∠ABD=45°；

(4)如图，把BD向下平移2格再向右平移1格得CF，它与AB的交点E满足∠AEC=45°.

(1)利用勾股定理即可求解；
(2)AF=52+52=52=AC，利用等腰三角形的性质即可求作；
(3)利用等腰直角三角形的性质即可求作；
(4)把BD向下平移2格再向右平移1格，由平移的性质即可求作．
此题主要考查了平移的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解答该题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】
【解析】
(1)利用四边形内角和得出∠AED+∠AFD=180°，再根据补角的性质即可得；
(2)延长ED至点P，使ED=DP，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到直角三角形，由勾股定理及等量代换可得；
(3)由(2)结论求EF长，再通过全等证明DE=DF，由面积公式求解．
本题为三角形的综合应用，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等，构造全等三角形、掌握“倍长中线”型全等三角形的模型是解答该题的关键．
23.【答案】
【解析】解：(1)结论：DA=DC+DB；
理由：如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BDC=120°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
又∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，
故答案为：DA=DC+DB；
(2)结论：2DA=DB+DC，
理由：如图2，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，

∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，CE=BD，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴DA2+AE2=DE2，
∴2DA2=(DB+DC)2，
∴2DA=DB+DC；
(3)如图3，连接PQ，

∵MN=12cm，∠QMN=30°，
∴QN=12MN=6(cm)，
∴MQ=MN2−QN2=122−62=63(cm)，
由(2)知2PQ=QM+QN=(63+6)(cm)，
∴PQ=63+62=66+622=(36+32)(cm)，
故答案为：(36+32).
(1)由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE(SAS)得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；
(2)延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=(DB+DC)2；
(3)由直角三角形的性质知QN=12MN=6，MQ=MN2−QN2=63，利用(2)中的结论知2PQ=QM+QN=63+6，据此可得答案．
此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解答该题的关键．
24.【答案】解：（1）∵a+6+a2+6ab+9b2=0，
∴a+6+（a+3b）2=0，
∵a+6≥0，（a+3b）2≥0，
∴a=-6，b=2，
∴P（-6，2），
∴OP=22+62=210．

（2）作线段OP的垂直平分线交x轴于C′，交y轴于C．连接PC，PC′．

∵直线OP的解析式为y=-13x，线段OP的中点（-3，1），
∴线段OP的中垂线CC′的解析式为y=3x+10，
∴C（0，10），C′（-103，0），
即点C的坐标为（0，10）或（-103，0）；

（3）如图2中，当mn=-18时，∠GOH=45°．

证明：将△GOA绕点O顺时针旋转90°得到△OBK．则∠HBK=90°，
设D（m，-18m），
∵A（-6，0），B（0，6），
∴直线AB的解析式为y=x+6，
∴G（m，m+6），H（-18m-6，-18m），
∴AE=EG=6+m，AG=2（m+6），DG=DH=-18m-m-6，GH=2（-18m-m-6），FH=BF=18m+6，BH=2（18m+6），
∴HK2=BH2+BK2=2（18m+6）2+2（m+6）2=2（182m2+m2+216m+12m+72），
∵HG2=2（-18m-m-6）2=2（182m2+m2+216m+12m+72），
∴HG=KH，
∵OG=OK，OH=OH，
∴△OHG≌△OHK（SSS），
∴∠GOH=∠HOK，
∵∠GOK=90°，
∴∠GOH=45°．
【解析】
(1)利用非负数的性质求出a，b的值，即可解决问题．
(2)求出线段OP的垂直平分线的解析式，即可解决问题．
(3)如图2中，当mn=-18时，∠GOH=45°.只要证明ΔOHG≌ΔOHK(SSS)，即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了非负数的性质，线段从垂直平分线的性质，一次函数的应用，全等三角形的判定和性质，解答该题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．