知识必备12 相似三角形（知识清单+易错清单+11个考试真题专练） -【知识清单】最新中考数学一轮复习知识点一览表

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂转化为简单，将抽象转化为具体，将实际转化为数学。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
知识必备12 相似三角形
易错点：在研究三角形相似时,如果没有明确对应关系时,就一定要分类讨论,否则解答不完整.
一、解答题
1．（2024上·安徽合肥·九年级统考期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过几秒钟，与相似．

2．（2023上·浙江杭州·九年级统考期末）四边形中，点E在边上，连结．
(1)如图1，若，证明：．
(2)如图2，若四边形为矩形，，，且与E、B、C为顶点的三角形相似，求的长．
3．（2024上·陕西宝鸡·九年级宝鸡市新建路中学校考期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动．若点、点同时出发，当某点到终点时，另一点立即停止运动．运动时间为．

(1)_________，_________；（用含的代数式表示）
(2)请计算当点运动多少秒时，以、、为顶点的三角形与相似．
4．（湖南省常德市初中教学联盟校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）综合与实践
如图，在中，，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿方向向终点B匀速运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿方向向终点A匀速运动，连接．设运动的时间为t秒．
(1)求的长（用含t的代数式表示）．
(2)当秒时，求的面积．
(3)如图2，连接，当为直角三角形时，求所有满足条件t的值．
一．比例的性质（共2小题）
1．（2023•金昌）若，则
A．6B．C．1D．
2．（2023•甘孜州）若，则 ．
二．黄金分割（共1小题）
3．（2023•广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了
A．黄金分割数B．平均数C．众数D．中位数
三．平行线分线段成比例（共3小题）
4．（2023•吉林）如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，，则的值是
A．B．C．D．
5．（2023•常州）小明按照以下步骤画线段的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
6．（2023•北京）如图，直线，交于点，，若，，，则的值为 ．
四．相似图形（共1小题）
7．（2023•泰州）两个相似图形的周长比为，则面积比为 ．
五．相似多边形的性质（共1小题）
8．（2023•威海）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为
A．B．C．D．
六．相似三角形的性质（共2小题）
9．（2023•重庆）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为
A．4B．9C．12D．13.5
10．（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是
A．B．C．D．
七．相似三角形的判定（共1小题）
11．（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．
八．相似三角形的判定与性质（共7小题）
12．（2023•雅安）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为
A．4B．6C．8D．10
13．（2023•哈尔滨）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点，若，，则的长为
A．2B．4C．6D．8
14．（2023•乐山）如图，在平行四边形中，是线段上一点，连结、交于点．若，则 ．
15．（2023•江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高 ．
16．（2023•邵阳）如图，，，点是线段上的一点，且．已知，，．
（1）证明：．
（2）求线段的长．
17．（2023•眉山）如图，中，点是的中点，连结并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长．
18．（2023•苏州）如图，是的内接三角形，是的直径，，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
九．相似三角形的应用（共2小题）
19．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为
A．B．C．D．
20．（2023•镇江）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得长度为，则等于 ．
一十．位似变换（共5小题）
21．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是
A．B．或
C．D．或
22．（2023•遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为
A．B．C．D．
23．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形，，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为
A．B．C．D．
24．（2023•阜新）如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是 ．
25．（2023•盘锦）如图，的顶点坐标是，，，以点为位似中心，将缩小为原来的，得到△，则点的坐标为 ．
一十一．相似形综合题（共1小题）
26．（2023•福建）如图1，在中，，，是边上不与，重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，，的延长线相交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若是的中点，如图2，求证：．画法
图形
（1）以为端点画一条射线；
（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段、、，连接；
（3）过点、分别画的平行线，交线段于点、．、就是线段的三等分点．