2025省哈尔滨师大附中高三上学期期中考试数学含答案

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考试说明：本试卷分第 = 1 \* ROMAN I卷（选择题）和第 = 2 \* ROMAN II卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间为120分钟．
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第 = 1 \* ROMAN I卷 (选择题, 共58分)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3. 函数在区间上的最小值为（ ）
A. B . C. D.
4．已知是单位向量，则“是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 菱形边长为，为平面内一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8 . 已知函数为偶函数，且满足，当，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）

函数的图象关于点对称
C．将向左平移个单位长度，得到函数
D．若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是
10．设正实数满足，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
11.已知函数,则下列说法中正确的是（ ）
A.方程有一个解
B.若有两个零点，则
C.若存在极小值和极大值，则
D.若有两个不同零点，恒成立，则
第Ⅱ卷 (非选择题, 共92分)
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12. 中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的高度为 .
13．已知某种科技产品的利润率为，预计5年内与时间月满足函数关系式其中为非零常数. 若经过12个月，利润率为，经过24个月，利润率为，那么当利润率达到以上，至少需要经过________________个月用整数作答，参考数据：
14. 已知为单位向量，满足，则的最小值为
四、解答题:本题共5小题, 共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题13分）
在△ABC中，分别为角所对的边，且
(1)求角B .
(2)若，求△ABC周长的最大值.
16. （本小题15分）
已知数列满足
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和．
（本小题15分）
行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数．
(1)求的对称轴方程及在上的单调递增区间；
(2)在锐角中，已知,，，求
18. （本小题17分）
已知数列满足（）.
(1)记（），证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)设（），且数列的前项和为，求证：（）.
（本小题17分）
已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的范围；
(3)若在内有两个不同零点，求证：