2024-2025学年重庆市江津区高二上学期期中数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆市江津区高二上学期期中数学质量检测试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
3．已知圆经过点和点，且圆心在直线上，则圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
4．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（ ）
A．10B．C．40D．44
5．已知点是的重心，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线为空间中一条直线，平面，，为两两相互垂直的三个平面，则（ ）
A．若，则与和相交B．若，则或
C．若，则，且D．若，则
7．已知海面上有一监测站，其监测范围为以为圆心，半径为的圆形区域，在A正东方向处有一货船，该船正以的速度向北偏西方向行驶，则货船行驶在监测站监测范围内的总时长为（ ）
A．B．C．D．
8．椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知圆，圆，则（ ）
A．直线的方程为
B．圆经过，两点，则圆的面积的最小值为
C．与圆和圆都相切的直线共有四条
D．若，分别为圆，圆上两动点，则的最大值为10
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ）
A．的周长为
B．存在点，使得
C．若，则的面积为
D．使得为等腰三角形的点共有4个
11．在矩形中，，点是边的中点，将沿翻折，直至点落在边上.当翻折到的位置时，连结，，则（ ）

A．四棱锥体积的最大值为
B．存在某一翻折位置，使得
C．为的中点，当时，二面角的余弦值为
D．为的中点，则的长为定值
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线与圆相切，则实数的值为 .
13．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 .
14．已知正四面体的棱长为，在棱上，且，则此正四面体的外接球球心到平面的距离为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线的方程为.
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值.
16．在锐角中，角所对的边分别为，，，且.
(1)求证：；
(2)若的角平分线交于，且，求线段的长度的取值范围.
17．在平面直角坐标系中，已知圆，不与轴垂直的直线过点且与圆相交于，两点.
(1)已知，求直线的方程；
(2)已知点且的面积为，求直线的方程.
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面.
(1)求证：为中点；
(2)求平面与平面夹角的正弦值；
(3)若点为棱上一动点（含端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
19．在平面直角坐标系中，已知椭圆与轴和轴的交点分别为，，，（在左侧，在下侧），直线（且）与直线交于点，过点且平行于的直线交于点（异于点），交轴于点，直线交于点（异于点），直线交轴于点.
(1)当时，求出，两点的坐标；
(2)直线与直线是否相互平行？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由.
答案
1．【正确答案】A
【详解】设倾斜角为，
因为直线的方向向量是，则直线的斜率，
故倾斜角的正切值为，
且，所以的倾斜角为.
故选：A.
2．【正确答案】C
【详解】因为，所以，
所以.
故选：C
3．【正确答案】B
【详解】因为圆心在直线，设圆心为，
因为圆经过点和，可得，
解得，故圆心为，则圆的半径为.
故选：B.
4．【正确答案】C
【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为，
所以侧面梯形的斜高为，
所以棱台的侧面积为.
故选：C
5．【正确答案】D
【详解】如图，由点是的重心，可得
，
结合，可得，，所以.
故选：D
6．【正确答案】D
【详解】对A选项，由，则与和相交或平行或在面内，所以A选项错误；
对B选项，当时，且且，所以B选项错误；
对C选项，当时，与，可以成任意角，所以C选项错误；
对D选项，如图，易得，所以D选项正确；
故选：D
7．【正确答案】C
【详解】依题意，如图，易知在监测范围内行驶的总距离为，
故在监测范围内行驶的总时长为.
故选：C
8．【正确答案】A
【详解】椭圆的右顶点，上顶点，
设，则，
由可得，解得，即，
又由，则，
将代入椭圆方程，得，
即，解得或（舍），所以.
故选：A.
9．【正确答案】ABD
【详解】圆，其圆心，半径，
圆，其圆心，半径，
对于A，直线的方程为，即，所以A正确；
对于B，因为，
当为圆的直径时，该圆面积最小，面积的最小值为，所以B正确；
对于C，因为，可得，可知圆与圆外切，
所以两圆的公切线共有3条，所以C错误；
对于D，当，，，共线时，取得最大值，所以D正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】AB
【详解】对于，由题意，，，故周长为，所以A正确；
对于B，当点位于上下顶点时，为直角，所以B正确.
对于C，当时，如图：
设，，则.
所以，所以C错误；
对于D，若是以为顶点的等腰三角形，点位于上下顶点；若是以为顶点的等腰三角形，则，此时满足条件的点有两个；同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有两个；故使得为等腰三角形的点共六个，所以D错误.
故选：AB
11．【正确答案】ACD
【详解】对于A，当平面平面时，四棱锥的体积最大，此时四棱锥的高为点到的距离，直角梯形的面积为，四棱锥体积的最大值为，所以A正确；
对于B，若，又，则平面，即，矛盾，所以B错误；
对于C，取中点，连接，，如图：

由题意，，，所以为二面角的平面角，在中，，，，所以C正确；
对于D，取中点，连接，，，则，，
且四边形为平行四边形，，，所以，即，，不变，由余弦定理知定值，所以D正确.
故选：ACD
12．【正确答案】2
【详解】将方程整理，可得，（）
则圆心为，半径为，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即，
由.
故2.
13．【正确答案】
【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，，
由对称性可知：，，则四边形为平行四边形，
则，即，且，
因为，则AF2=23a，，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，所以椭圆的离心率为.

故答案为.
14．【正确答案】/
【详解】在正四面体中，，，
，在，中，
，
取中点，连接，，如图，，，
而，，

令正的中心为，连接，，，
的延长线交于点，则为中点，
有，，
，显然平面，
正四面体的外接球球心在上，连接，
则，而，
在中，，解得，且，
令点到平面的距离为，由得：，
即，解得，
因此球的球心到平面的距离有，即.
故
15．【正确答案】(1)证明见解析
(2)4
【详解】（1）由，可得，
令，所以直线过定点.
（2）由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为，
设直线与轴，轴正半轴交点为，，令，得；令，得，
所以面积，
当且仅当，即时，面积最小值为4.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由，根据正弦定理可得，
即，所以；
可得，
所以，
即，显然，
故，，
所以.
（2）在中，由正弦定理可得，可得，
即，所以，
因为是锐角三角形，且，所以
解得，可得，所以，
所以线段长度的取值范围是.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）①直线的斜率不存在时，，不满足题意.
②直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
则圆心到直线的距离，
由，可得，解得，
故直线.
（2）①直线的斜率不存在时，，不满足题意.
②直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
则，
到直线的距离，
故，
由可得，化简得，
即，解得，
故直线.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）连结交于点，连结，
因为底面是矩形，所以为中点，
因为平面，平面，
平面平面，所以，
又因为为中点，所以为中点.
（2）取的中点，连结，，因为底面为矩形，所以，
因为，为中点，所以，，
所以，又因为平面平面，平面平面，
平面，，所以平面，所以，
所以，，两两垂直，
如图，建立空间直角坐标系，则由题意可得：
，，，P0,0,1，，，
则，，，
由上可知为平面的一个法向量，
设平面的法向量为n=x,y,z，
，令，则，，所以，
所以，，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
（3）由（2），，因为点在棱上（含端点）
所以设，
则，
设与平面所成角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
19．【正确答案】(1)，
(2)平行，证明见解析
【详解】（1）由椭圆方程可知：，
则，，，，
直线，即，
联立方程，解得，即，
直线，故，直线，故.
由，化简得，解得或（舍去），即，
可得，故直线，
联立方程，化简得，解得或（舍去），即，
所以.
（2）直线与直线相互平行，证明如下：
证明，再证明，，三点共线即可.
①证明由，解得，
直线的方程为，则，
故直线，可得，即，故 ；
②证明，，三点共线：
设，由，得，
解得，故，即；
直线的方程为，设交于，
由，得，
解得，故，即，
则，
，
所以，即，，三点共线，
又有直线交于点，故与重合，即，，三点共线.
由①②可知.