通用版小学数学六年级上册拓展培优讲义专题11图形的变化规律（含答案）

这是一份通用版小学数学六年级上册拓展培优讲义专题11图形的变化规律（含答案），共36页。学案主要包含了考点点拨等内容，欢迎下载使用。

妙招演练
1．如下图，用同样的小棒摆图形，照这样摆下去，摆第6幅图需要（ ）根小棒．
A．45B．54C．63D．108
2．庆祝“六一”，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”的比赛，其中摆的1条、2条、3条“金鱼”如下图所示：
按照上面的规律，摆100条“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）．
A．800B．608C．704D．602
3．观察下图，寻找规律，问号处应填入（ ）。

A．B．C．
4．按下面点阵中的规律继续画，第11个点阵应该画（ ）个点。
A．64B．81C．121
5．小聪用火柴按照下图的方法摆三角形．照这样摆19个三角形共需要（ ）根火柴．
……
A．37B．38C．39D．57
6．一根绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀在5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪（ ）
A．35段B．34段C．33段D．32段
7．观察下边图形，按此规律，第⑩个图中○的个数有（ ）个。
A．55B．40C．36D．10
8．如下图所示，摆第7个图形需要( )根小棒．
A．12B．15C．17D．21
9．按如图所示的方式排列点阵，则第六个点阵中有（ ）个点。
A．36B．25C．16
10．找规律，在 里应填的图形是（ ）。
A．B．C．D．
11．如图是由火柴搭成的集合图案，则第8个图案中（ ）根火柴棒。
A．90B．110C．180D．144
12．一张正方形的桌子可以坐4人，同学们吃饭的时候把桌子拼在—起，如下图，那么8张桌子可以坐多少人？（ ）
A．23B．18C．25D．24
13．某餐厅里，一张桌子可坐6人，如下图，按照上面的规律， SKIPIF 1 < 0 张桌子能坐（ ）人。
……
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．红红按照一定的规律用小棒摆出了下面的4幅图。
如果按照这个规律维续摆，第五幅图要用（ ）根小棒。
A．23B．31C．35D．45
15．观察下图，寻找规律，问号处应填入（ ）。
A．B．C．D．
16．用小棒搭房子，搭一间用5根，搭三间用13根，如图，照这样子搭504间房子要用（ ）根小棒。
A．2015B．2016C．2017D．2018
17．节日的公园挂起了一盏盏彩灯，彩灯按黄、红、绿、黄、红、绿……的顺序有规律地连接在一起，那么第2020盏彩灯的颜色是（ ）。
A．红色B．黄色C．绿色
18．观察下面的点阵图形，根据圆点的变化，探究其规律，则第8个图形中圆点的个数为（ ）。
A．25B．26C．27D．29
19．如左图，照样子摆三角形，摆12个三角形一共需要（ ）根小棒。
A．24B．25C．36
20．如图，○、△、□各表示一个两位数中的其中一个数字，观察下面图与数的关系，第4图形表示的两位数是（ ）。
A．54B．43C．34
21．下面的图案是有规律排列的。第1个图案上有5朵，第2个图案上有8朵，第3个图案上有11朵……
照这样的规律，第4个图案上有( )朵，第 SKIPIF 1 < 0 个图案上有( )朵。
22．按图形排列规律填表
(1) (2) (3) (4)
23．观察图形变化规律：……则第50个图形是( )。
24．如下图，摆一个六边形要6根小棒，摆2个六边形要11根小棒，摆3个六边形要16根小棒……照这样摆下去，摆5个六边形需要用( )根小棒，摆n个六边形需要用( )根小棒。
25．按规律画图．
________
________
26．按照下图中四幅图的排列规律画下去，第（7）幅图中有( )○，有( )个 。
27．如下图所示，摆第一个图形需要3根小棒，摆第二个图形需要5根小棒……按照这样的规律摆下去，摆第十个图形需要__________根小棒.
28．观察下面图形的规律，其中第1个图形由4个小正方形组成，第2个图形由7个小正方形组成，第3个图形由10个小正方形组成，……，按此规律排列下去，则第20个图形由( )个小正方形组成。
29．用小棒按照如下的方式摆图形，摆一个六边形需要6根小棒，摆4个需要________根小棒，摆n个需要________根小棒。
30．如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为_____块；当白色瓷砖为n2（n为正整数）块时，黑色瓷砖为_____块。
31．观察下面的点阵，找规律填空．

“？”号点阵中共有( )个小圆点．
32．每三点不在同一直线上，如图，3个点可以连3条线段，4个点可以连6条线段，则5个点可以连成( )条线段，如果n大于1，那么(n+1)个点连成的线段条数比n个点连成的线段条数多( )．
33．摆一个正方形用4根小棒，并排摆2个正方形用7根小棒，并排摆3个正方形用________根小棒，并排摆n个正方形用________根小棒．
34．自主探究．（根据探究过程填出答案)
准备：
①每个都是棱长为1厘米的正方体．
②一个挨着一个排成一排，例如:
你要研究的问题是：正方体个数与拼成的长方体表面积之间的关系．
探究过程:
根据你的发现填空：
当正方体的个数为10时，所拼成的长方体的表面积是( )平方厘米．
当正方体的个数为a时，所拼成的长方体的表面积是( )平方厘米．
当拼成的长方体的表面积是202平方厘米时，正方体的个数是( )个．
35．……照这样把边长1cm的正方形拼成长方形，用5个这样的正方形拼成的长方形周长是( )厘米；用n个这样的正方形拼成的长方形的周长是( )厘米．
36．观察下面,想一想．
(1)第7幅图有( )个棋子,第15幅图有( )个棋子．
(2)第n幅图有( )个棋子．
37．棱长为1厘米的正方体，如图一层一层堆放起来，请根据规律填写下表．
38．用小棒按照如下方式摆图形。
（1）摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要_____根小棒，摆3个八边形需要_____根小棒，摆30个八边形需要_____根小棒。
（2）如果想摆n个八边形，需要_____根小棒。
（3）有2010根小棒，可以摆_____个这样的八边形。
39．根据下图的规律推断，第19个图形中，红色小三角形的面积之和占第19个图形的面积的( )%．
40．已知△、□各代表一个数，△＋△＋□=25，□=△＋△＋△，△=________、□=________．
41．三角形的内角和是180º，那么，
（1）任意四边形的内角和是________°，任意五边形的内角和是________°；
（2）进一步，如果把多边形的边数记作n，那么，n 边形的内角和的计算公式是___________________。
（3）一个考古学家发现了一个正多边形的残片，已知，∠EAB＝∠ABF＝165º，那么这个正多边形一共有多少条边？
42．判断推理．
三角形个数 1个 2个 3个 4个 …
小棒的根数 3根 5根 7根 9根 …
观察图形和表格，如果要摆100个三角形，需要多少根小棒？要摆n个三角形，需要多少根小棒？
43．A4纸张长20cm，粘贴处宽2cm.
（1）问10张这样贴在一起总长是多少？
（2）若总长为362cm，则贴了几张纸？
44．如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题．
（1）请完成下列表格：
（2）根据表中的数值，写出平面图的 m、n、f 之间的关系；
（3）如果一个平面图形有 20 个顶点和 11 个区域，求这个平面图形的边数．
45．（福州）用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题．
（1）图②中用了 块黑色正方形，图③中用了 块黑色正方形；
（2）按如图的规律继续铺下去，那第n个图形要用 块黑色正方形；
（3）如果有足够多的白色正方形，能不能恰好用完90块黑色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．
46．将指定的数填入下表中，要求每个格子里一个数字，表中的每横行从左到右数字由小到大，每竖列从上到下数字也由小到大．
（1）将1﹣4的自然数填入表①中，共有多少种方法？
（2）将1﹣6的自然数填入表②中，共有多少种方法？
（3）将1﹣9的自然数填入表③中，共有多少种方法．
47．观察与发现．
图①、②、③、④都称作平面图．
(1)数一数每个图各有多少个顶点,多少条边,这些边围出了多少个区域,将结果填入表中．
(2)观察表中数据,推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系．
(3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域,试根据(2)中推断出的关系,确定这个图有多少条边．
48．小明用小棒搭房子，搭2间用9根，搭3间用13根，照这样计算，如果搭10间房子，需要用多少根小棒？
49．探究与归纳．
通过阅读所得的启示来回答问题（阅读中的结论可直接用）．
阅读：在直线是有n个不同点，则此直线上共有多少条线段？
分析：通过画图尝试，得表格：
问题：（1）某校六年级共有8个班进行辩论赛，规定进行单循环（每两班之间赛一场），那么该校六年级的辩论赛共有多少场次？
（2）有一辆客车，往返两地，中途停考三个车站，问有多少种不同的票价？要准备多少种车票？
50．观察下列图案：
第10个图含多少个黑点？
51．根据下列的图和字母的关系，将ad的图补上．
52．（广州）如图A点有一枚棋子，甲先乙后轮流走子，每次必须向上或向右走1步或2步，（走两步时可以拐弯），最终将棋子走到B点者获胜，甲怎样走才能必胜？
53．（武汉）在下面由火柴棒拼成的等式中，你能移动一根火柴棒，使等式仍成立吗？
请写出移动后仍成立的两个等式：
①
② ．
54．平面上有100条直线，这些直线最少有多少个交点？最多有多少个交点？
55．有一根弯曲的铁丝如下图1．按下面的虚线剪切，把铁丝分成几段．
（1）在括号里填写适当的数．
图1 （4）段 段 段
（2）剪切5次，把铁丝分成几段？剪切10次呢？
（3）猜想：按照上面的方法剪切多少次时，铁丝分成70段？
56．下图中，每一个正方形的边长均为1，根据分数的乘法的意义以及相应的图形，回答以下问题．
(1)① 1×＝1－←→
② 2×＝2－←→
③ 3×＝3－←→
④ 4×＝4－←→
写出第5个等式，并画出相应的图形．
⑤____________________←→
(2)猜想并写出与第100个图形相对应的等式．
57．（仪征市）请你根据前三个图的变化规律把第四幅图的阴影部分画出来．
58．足球是用黑、白两种颜色的皮缝制而成的，黑皮是正五边形，白皮是正六边形，其中黑皮有12块，白皮有多少块？
59．观察如图，要想得到200个直角三角形，应画多少个正方形？
……
60．仔细观察下面的点子图，根据每个图中点子的排列规律，想一想，可以怎样计算每个图中点子的总个数？请你把下表填写完整。
观察表中数据，如果用A表示第n个图形中点子的总个数，A和n之间的关系可以表示成A＝_________。
妙招总结
探索性问题是指给出一列数、一列等式，一列图形的前几项，然后让我们通过归纳加工、猜想，推出一般的结论;或者是给出一个图形，要求我们探索图形成立的条件、变化图形的不变规律。
这类问题需要学生通过对题目进行深刻理解，然后进行合情推理，就其本
质进行加工、猪想、类比和联想，做出合理判断和推理。解题时要关善于从所担供的数学或图形信息中,寻找其共同之处，存在于俱全中的共性，就是“特殊到一般在到特殊”的规律。其中蕴含着的共同模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识事物的一般过程，解题过程中通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是学生应该具备的基本能力，通过观察图形的变化类问题，培养学生的观察能力和总结能力。
数与形结合的规律，解答本类题型的关键是明确题意，发现题目中图形的变化规律，利用数形结合的思想解答，考查学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解，结合直观图形，归纳数的规律，找到数列中的递增规律。感受虽然图形和数的形式不同，但可以表示相同的规律，建立“数”与“形”之间的联系，根据题干中已知的图形的排列特征以及数量关系，推理得出一般结论，再根据推理得出一般的结论进行解答。
图号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
n
小正方形总数
1
4
9
白色小正方形数
0
1
4
层数
1
2
3
…
6
表面积/cm2
( )
( )
( )
( )
图
①
②
③
④
顶点数（m）
4
7
8
10
边数（n）
6
9
区域数（f）
3
3
5
6
图
顶点数
边数
区域数
①
4
6
3
②
③
④
图形
直线上点的个数
共有线段条数
两者关系
2
1
1=0+1
3
3
3=0+1+2
4
6
6=0+1+2+3+
5
10
10=0+1+2+3+4
……
……
……
……
n
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 =0+1+2+…＋(n-1)
序号
1
2
3
4
5
…
表示点子数的算式
1
1＋4
…
点子的总个数
1
…
参考答案：
1．C
【详解】略
2．D
【详解】本题考查的是找规律的问题．通过对本题的观察可以发现，摆一条小金鱼需要8根火柴棒，摆2条小金鱼需要14=8+6根火柴棒，摆3条小金鱼需要20=8+6+6根火柴棒…依次类推，详细过程如下：
通过观察本题摆小金鱼是有规律的，摆小金鱼和需要的火柴棒如下：
1条小金鱼——8条火柴棒
2条小金鱼——8+6=8+6×1=14条火柴棒
3条小金鱼——8+6+6=8+6×2=20条火柴棒
4条小金鱼——8+6+6+6=8+6×3=26条火柴棒
5条小金鱼——8+6+6+6+6=8+6×4=32条火柴棒
…… ……
100条小金鱼——8+6+6+6+6…6=8+6×99=602条火柴棒
3．A
【分析】观察九宫格可知，从左到右横向观察图形，小黑点逆时针旋转一格且位置是由里到外矩形变化的，据此判断即可。
【详解】由分析可知：
所以问号处小黑点应该位于左下角且在圆圈的外面。
故答案为：A
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律、利用规律是解题的关键。
4．C
【详解】略
5．C
【详解】略
6．C
【分析】此题主要考查二个内容，一是对折后的段数问题，即对折几次，段数就是2的几次方；二是剪的次数与段数问题，剪开的各段的长度不同．
【详解】根据题意分析可得：连续对折5次后，共25段即32段；
故剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，有两端的两个线段长度是，
其余的长度是
∵×2+×31=1，
∴共有31+2=33段．
故选C．
7．A
【分析】第几个图中就有几层，且每层圆的个数与层数相同，据此把各层圆的个数进行求和解答。
【详解】图①中圆的个数：1＝1
图②中圆的个数：3＝1＋2
图③中圆的个数：6＝1＋2＋3
图④中圆的个数：10＝1＋2＋3＋4
……
图⑩中圆的个数：55＝1＋2＋3＋4＋……＋10
故答案为：A
【点睛】本题考查运用数形结合的方法探究数学规律，注意要把图形和数一一对应。
8．B
【详解】略
9．A
【分析】第1个点阵有1个点，第2个点阵有1＋3个点，第3个点阵有1＋3＋5个点，第n个点阵有n个连续的奇数相加，据此解答。
【详解】第6个点阵有点的个数是：1＋3＋5＋7＋9＋11＝36（个）
故答案为：A
【点睛】此题关键是找出每个点阵中点的个数计算的方法，并由此解答。
10．C
【详解】略
11．D
【详解】根据题意：n＝1时，根数为4＝2×1×（1＋1）
n＝2时，根数为12＝2×2×（2＋1）
n＝3时，根数为24＝2×3×（3＋1）
那么n＝n时，根数为2×n×（n＋1）
n＝8时，根数为2×8×（8＋1）＝144（根）
故答案为：D
此题需由n＝1，2，3，4……，所对应的根数，进行归纳找出其中的规律方可得到答案。
12．B
【分析】根据题意可知，一张正方形的桌子可以坐4人，每增加1张桌子，就多坐2人，增加7张桌子，就增加2×7＝14人，再加上原来的4个人即可得到答案。
【详解】2×7＋4
＝14＋4
＝18（人）
故答案为：B
【点睛】本题的关键是找出增加的桌子与增加的人数之间的关系。
13．C
【分析】根据桌子数×4＋2＝能坐的人数，进行分析。
【详解】n×4＋2＝4n＋2
故答案为：C
【点睛】本题考查了数与形，数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
14．B
【分析】通过树状图观察排列规律可得：第n幅图需要： SKIPIF 1 < 0 根小棒，根据规律做题即可。
【详解】第一幅图： SKIPIF 1 < 0 （根）
第二幅图： SKIPIF 1 < 0 （根）
第三幅图： SKIPIF 1 < 0 （根）
第四幅图： SKIPIF 1 < 0 （根）
第五幅图： SKIPIF 1 < 0 （根）
故答案为：B
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键从所给的图形中发现规律，并运用规律做题。
15．A
【分析】观察图形，看前面两列，每一列的点都在同一个圆圈里，按顺时针转动。
【详解】所以第三列的最后一个图跟第三列第一、第二个图一样，点在圆外按顺时针转动。
故答案为：A
【点睛】观察图形，找出规律，规律是每一列的点都在按顺时针转动。
16．C
【分析】搭1间房子用5根小棒，即4×1＋1；
搭2间房子用9根小棒，即4×2＋1；
搭3间房子用13根小棒，即4×3＋1；
……
搭504间房子用的小棒数为：4×504＋1。
【详解】4×504＋1
＝2016＋1
＝2017（根）
故答案为：C
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，找出规律是解题的关键。
17．B
【分析】首先根据已知彩灯排列顺序得出彩灯排列的一个周期是3盏，再用2020除以3即可得出商和余数，商是排列的周期数，余数是不够排列一个周期的彩灯的个数，最后按彩灯的排列顺序即可解答。
【详解】彩灯是按黄、红、绿、黄、红、绿……的顺序有规律地连接在一起，即3盏彩灯是一个周期，2020÷3＝673（个）……1（盏），剩余1盏是第674个周期的第1盏，即为第2020盏彩灯，根据彩灯排列顺序第2020盏应为黄色彩灯。
故答案为：B
【点睛】此题考查的是规律问题，解题时注意他们的周期。
18．D
【详解】4×8－3＝29（个）
则第8个图形中圆点的个数为29个.
故答案为：D
19．B
【分析】搭一个三角形需要3根小棒，搭两个三角形需要5根小棒，搭三个三角形需要7根小棒，则知搭n个三角形需要（2n＋1）根小棒，据此即可解答。
【详解】由分析及规律知：搭n个三角形需要（2n＋1）根小棒
当a＝12时，2×12＋1＝24＋1＝25（根）
故答案为：B。
【点睛】本题是一道找规律的题目，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。
20．B
【分析】前3个图中都有圆，表示的数字中都有5，即5表示圆形；进而可以得出3表示三角形；4表示正方形；而且第一个数字表示的图形在外面，第二个数字表示图形在第一个数字表示图形的里面。
【详解】图形中有一个正方形和一个三角形，正方形在外，三角形在内，所以用数字：43表示。
故答案为：B。
【点睛】根据第一幅、第二幅和第三幅图中的数字，得出：○△□各表示的数字是解决本题的关键。
21． 14 3n+2
【分析】观察图形可知：第1个图案有5（5＝3＋2）朵花，第2个图案有8（8＝3＋3＋2）朵花，第3个图案有11（11＝3＋3＋3＋2）朵花，第4个图案有3＋3＋3＋3＋2＝14朵花，……，由此可推断第n个图案有（3n＋2）朵花。
【详解】由分析可得：照这样的规律，第4个图案上有14朵，第 SKIPIF 1 < 0 个图案上有2＋3n朵。
故答案为：14； 3n＋2
【点睛】本题主要考查学生观察图形及其变化的能力，解题的关键是找到图形的变化规律。
22．16 25 n² 9 16 （n－1）²
【详解】略
23．
【分析】把第一个图形到第六个图形看作一个周期，计算50个图形里面有多少个完整的周期，商是整数时余数是几，就从第一个图形往后数出第几个图形，据此解答。
【详解】50÷6＝8（组）……2（个）
一个完整周期里面从左往右第2个图形是，所以第50个图形是。
【点睛】本题主要考查简单的周期问题，根据商为整数时的余数即可判断出第50个图形。
24． 26 5n＋1
【分析】摆一个六边形要6根小棒，摆2个六边形要11根小棒，摆3个六边形要16根小棒，6＝5＋1，11＝5×2＋1，16＝5×3＋1；需要小棒的根数＝六边形的个数×5＋1，据此解答即可。
【详解】根据分析可得规律：需要小棒的根数＝六边形的个数×5＋1
摆5个六边形需要：5×5＋1＝26（根）
摆n个六边形需要：n×5＋1＝5n＋1（根）
【点睛】观察图形，探索图形排列规律，用算式表示出来，根据图形和算式的规律解决问题。
25．
【详解】略
26． 13 36
【分析】根据图可知，第二个图形开始有1个■，第三幅图有4个■，即2×2，第四幅图有9个■，即3×3，由此即可知道第n幅图有：（n－1）2个■，问第七幅图， 把n等于7代入式子即可；第一幅图有1个○，第二幅图有3个○，即1＋2，第三幅图有5个○，即1＋2×2，第四幅图有7个○，即1＋2×3，由此即可知道第n幅图有：1＋2×（n－1）个○，当n＝7的时候代入式子即可求出有多少个○。
【详解】由分析可知，第n幅图有（n－1）2个■；有1＋2×（n－1）个○
当n＝7时，■的数量：（7－1）×（7－1）＝6×6＝36（个）
○的数量：1＋2×（7－1）
＝1＋2×6
＝1＋12
＝13（个）
【点睛】本题主要考查探索图形的规律，先找它们排列的规律，然后再求解。
27．21
【详解】略
28．61
【分析】观察图形可知，第一幅图小正方形一共有3×1＋1＝4（个）；第二幅图小正方形一共有3×2＋1＝7（个）；第三幅图小正方形一共有3×3＋1＝10（个）；第四幅图小正方形一共有3×4＋1＝13（个）；……，根据上面推理得出的规律，即可得出可得第n幅图小正方形的个数一共有多少个，进位求出第20个图形需要的小正方的个数；据此解答。
【详解】第一幅图小正方形一共有3×1＋1＝4（个）；
第二幅图小正方形一共有3×2＋1＝7（个）；
第三幅图小正方形一共有3×3＋1＝10（个）；
第四幅图小正方形一共有3×4＋1＝13（个）；
……
第n幅图小正方形的个数一共有3×n＋1＝（3n＋1）个。
当n＝20时：
3×20＋1
＝60＋1
＝61（个）
【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
29． 21 5n+1
【分析】摆一个六边形需要6根小棒，以后每增加一个六边形，就增加5根小棒，所以摆成n个六边形就需要：6＋5（n－1）＝5n＋1根小棒，据此即可解答．
【详解】摆一个六边形需要6根小棒，以后每增加一个六边形，就增加5根小棒，所以摆成n个六边形就需要5n＋1根小棒；
摆4个需要5×4＋1＝21（根）
即摆4个需要21根小棒，摆n个需要5n＋1根小棒。
故答案为：21；5n＋1
30． 16 4n＋4
【详解】第n个图形有n2块白瓷砖，瓷砖的总数是（n＋2）2，则黑瓷砖有（n＋2）2﹣n2＝4n＋4块；
那么当黑色瓷砖为20块时，（n＋2）2﹣n2＝20，解得n＝4，那么白瓷砖为42＝16
31．3
【详解】通过图形观察分析后面的图形中每一层的点数总是比前一个图形每一层的点数依次少一个，故“？”中的小圆点的点数应该是3.
【考点点拨】本题主要考查数图形中的规律的探索，难度系数 适中．
32． 10 n
【分析】根据题意可知，n个点连接成线段的条数是： SKIPIF 1 < 0 ，据此列式解答.
【详解】数与形结合的规律
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故答案为10；n.
33． 10 3n+1
【分析】通过题意可知，第一个正方形由四根小棒摆成，以后加三根就可加一个正方形，摆第2个要3×2+1=7根，摆第三个要3×3+1=10根，摆第四个要3×4+1=13根，以此类推，得出规律连着摆n个这样的正方形需3n+1根小棒．
【详解】由题意可知：每增加一个正方形就增加3根小棒， 摆一个小正方形用4根小棒，摆两个小正方形用7根小棒，
摆第三个要3×3+1=10（根）
所以连摆n个这样的正方形需3n+1根小棒．
故答案为10，3n+1．
34． 42 2+4a 50
【详解】思路分析：据探究过程可知，每增加1个正方体,所拼成的长方体的表面积就增加正方体的4个面的面积,即增加:1×1×4=4(平方厘米)．1个正方体的表面积可以写为2+4;2个正方体拼成的长方体的表面积可以写为2+4×2;3个正方体拼成的长方体的表面积可以写为2+4×3……由此可以归纳出:当正方体的个数为a时,所拼成的长方体的表面积为(2+4a)平方厘．
名师详解：（1）1个小正方体，表面积是：6平方厘米可以写成2+1×4；
2个小正方体，表面积是10平方厘米，可以写成2+2×4；
3个小正方体，表面积是14平方厘米，可以写成2+3×4；
4个小正方体，表面积是18平方厘米，可以写成2+4×4；…
所以a个小正方体，表面积就是2+4a平方厘米；
答：当正方体个数为a时，所拼成的长方体表面积是2+4a平方厘米．
（2）当a=10时，表面积是：2+10×4=42（平方厘米），
答：当正方体个数为10时，所拼成的长方体表面积是42平方厘米．
（3）当2+4a=202时，
4a=200，
a=50，
答：当拼成的长方体表面积是202平方厘米时，正方体个数是50．
因而答案为：42；2+4a；50．
易错提示：出错的原因是，学生审题不清，另外本题也有一定的难度．注意的是，通过推理得出答案，这个推理的过程很重要，做题时一定要看仔细，做答案也要写仔细．
35． 12 2n+2
【详解】略
36． 49 225 n²
【详解】略
37． 6 18 36 126
【详解】解：如图

当放1层时，表面积为1×1×6=6平方厘米；
当放2层时，表面积为（1+2）×6=18平方厘米；
当放3层时，表面积为（1+2+3）×6=36平方厘米；
…
当放n层时，表面积为（1+2+3+…+n）×6=3n（n+1）平方厘米．
故第3层时：3×3×（3+1）＝36（cm2）
第6层时：3×6×（6+1）＝18×7＝126（cm2）
棱长为1厘米的正方体，如图一层一层堆放起来，根据规律填写如表：
38． 15 22 211 1＋7n 287
【分析】（1）（2）由图可以看出：
摆一个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要8＋7＝15根小棒以后每增加一个八边形，摆3个八边形需要8＋2×7＝22根小棒，也就是每增加一个八边形就增加7根小棒，所以摆n个八边形需要8＋（n－1）×7＝1＋7n根小棒，据此即可解答。
（3）由摆一个八边形需要8根小棒可得：1＋7n＝2010，解得n即可。
【详解】（1）根据题干分析可得：
摆成n个八边形就需要1＋7n根小棒，
当n＝2时，需要小棒1＋2×7＝15（根），
当n＝3时，需要小棒1＋3×7＝22（根），
当n＝30时，需要小棒1＋30×7＝211（根），
所以，摆2个八边形需要15根小棒，摆3个八边形需要22根小棒，摆30个八边形需要211根小棒。
（2）由（1）可知：摆n个八边形，需要1＋7n根小棒
（3）1＋7n＝2010
1＋7n－1＝2010﹣1
7n＝2009
7n÷7＝2009÷7
n＝287
所以，有2010根小棒，可以摆287个这样的八边形。
故答案为：15；22；211，1＋7n；287。
【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
39．4.75
【详解】根据图形的规律可知，第n个图形的小三角形总数为（n+1）2个，其中红色小三角形的个数为n个，当n=19时，共有（19+1）2=400，19÷400=4.75%
则第19个图形中，红色小三角形的面积之和占第19个图形的面积的4.75%．
故答案为4.75．
40． 5 15
【详解】因为□=△＋△＋△，所以△＋△＋□=△＋△＋△＋△＋△=25，故一个△=5 一个□=3×5=15
41．（1）360；540；（2）180（n－2）；（3）24边
【详解】略
42．摆100个三角形，需要201根小棒，要摆n个三角形，需要2n+1根小棒．
【详解】试题分析：搭第一个图形需要3根火柴棒，结合图形，发现：后边每多一个图形，则多用2根火柴．
解答：解：：搭第100个图形，需要小棒：
3+2×（100﹣1）=3+198=201（根）；
则要搭n个三角形时，需要小棒：
3+2（n﹣1）=2n+1（根）．
答：摆100个三角形，需要201根小棒，要摆n个三角形，需要2n+1根小棒．
点评：此题考查了规律型中的图形变化问题，要能够从图形中发现规律：搭第n个图形，需要3+2（n﹣1）=2n+1（根）．
43．（1）182厘米 （2）20张
【详解】（1）20+18×（10-1）
=20+162
=182（厘米）
答：10张这样贴在一起总长是182厘米．
（2）（362-2）÷18
=360÷18
=20（张）
答：若总长为362cm，则贴了20张纸．
44．（1）12，15；
（2）m+f-1=n；
（3）20+11-1=30
【详解】略
45．（1）7，10；（2）3n+1;（3）3n+1．
【详解】分析：（1）观察如图可直接得出答案；
（2）认真观察题目中给出的图形，结合问题（1），通过分析，即可找到规律，得出答案；
（3）根据问题（2）中总结的规律，列出算式3n+1=90，如果结果是整数，则能够拼出具有以上规律的图形，否则，不能．
解答：解：（1）观察如图可以发现，图②中用了7 块黑色正方形，在图③中用了10 块黑色正方形；
故答案为7；10；
（2）在图①中，需要黑色正方形的块数为3×1+1=4；
在图②中，需要黑色正方形的块数为3×2+1=7；
在图③中，需要黑色正方形的块数为3×3+1=10；
由此可以发现，第几个图形，需要黑色正方形的块数就等于3乘以几，然后加1．
所以，按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用3n+1块黑色正方形；
故答案为3n+1．
（3）假设第n个图形恰好能用完90块黑色正方形，则3n+1=90，
解得：n=，
因为n不是整数，所以不能．
故答案为3n+1．
点评：此题主要考查了图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，通过分析、思考，总结出图形变化的规律，属于难题．
46．（1）2种；（2）5种；（3）21种
【详解】试题分析：（1）要符合每横行从左到右数字由小到大，每竖列从上到下数字也由小到大排列．图一中，1只能在A的位置，4只能在D的位置，2和3可在B、C这两个格子中排列，所以共有2种方法；
（2）图二中，1只能在A的位置，6只能在F的位置，2只能在B和D，5只能在C、E的位置，数字5在C，有2种排列，数字5在E，又有3种排列方法；所以一共有2+3=5（种）．
（3）由（2）的规律已经知道，6格是5种，1、2、3确定后，剩下的6个一定是5种；由此进行求解．
解答：解：（1）如图，1和4是固定的，另外两格随便选，2种．
如下：
；
（2）1和6是固定的，其余的不确定：
（3）由（2）的规律已经知道，6格是5种；
1、2、3确定后，剩下的6个一定是5种，比如：
同理：
也对各对应5个；
但是例外，对应的不是5个．因为第一排右边的数限制了下面的数．
如下：
所以：共计5+5+5+4+2=21（种）
同理，以上所有情况倒过来后都有一一对应的种类
翻了一番，共21×2=42（种）．
点评：本题关键是根据题干的要求先确定出最大和最小的数字的位置．数字问题是排列计数原理中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．
47．(1)(横排)8 12 5 6 9 4 10 15 6
(2)顶点数+区域数-边数=1
(3)999+999-1=1997(条)
答:这个图有1997条边．
【详解】略
48．41根
【详解】根据图示，
2间房：5＋4＝9（根）
3间房：5＋4＋4＝13（根）
……
10间房：5＋4×（10﹣1）＝41（根）
答：搭10间房子，需要用41根小棒。
49．（1）28场 （2）10种不同票价 20种不同车票．
【详解】（1）由已知表格所给结论 SKIPIF 1 < 0 可知：n=8时，比赛场次为 SKIPIF 1 < 0 =28（场）
（2）5个站点共有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =10（种）不同票价，每两站之间要准备往返两种车票，所以需要准备20种不同的车票．
50．120个
【详解】略
51．
【详解】试题分析：第三幅图只有正方形，那么b和c都表示正方形，结合第一二幅图可知：a表示大圆，b小正方形，c大正方形，d小圆；ad就表示大圆里面有个小圆．
解答：解：ad表示：
点评：解决本题的关键是由题意得出四个字母所表示的图形，再画出所要求图形即可．
52．甲总能把握主动让乙先走，抢到每组的最后1步，照此走下去甲必胜
【详解】试题分析：因为每次走棋子必须向上或向右走，所以不管走什么路径，从A到B得步数是定的，共20步，而每次必走1或2步，因此，甲先走一次，每次可保证与乙刚走的步数和为3，如乙走1步，甲就走2步；乙走2步，甲就走1步．也就是，不论乙走1步，还是2步，甲总能抢到最后1步．以此类推，如果有若干个3步，只要轮到乙先走，甲一定能设法让最后一步留给自己走．
解答：解：甲有必胜的策略：从A到B，向右方向要走10步，向上走也要走10步，不论两人每次走1步还是走2步，不论每次是向上还是向右走，两人走的总步数一定是20步．而20÷3=6（组）…2（步），所以甲只要先走2步，然后将剩下的18步分成6个3步，当乙走1步时，甲走2步，当乙走2步时，甲走1步，从而在每个3步中，甲总能把握主动让乙先走，抢到每组的最后1步，照此走下去甲必胜．
点评：此题属于游戏中取胜的策略问题，解答此题的关键是甲若想必胜，走完第一次后剩下的步数必须是3的倍数，甲先走，因而甲把握主动，从而有必胜的策略．
53．
【详解】试题分析：由题意可知把算式中的“+5”变成“﹣5”，把取下的火柴棒放在等式的右边，“93”变成“83”，等式仍然成立；
或把“27”取下1根火柴棒，变成“21”，则左边减少了6，把火柴棒放在“53”上，变成“59”，则左边又增加了6；所以等式仍然成立，据此即可解答．
解答：解：根据数字特点以及运算符号分析可得：移动一根火柴，等式仍然成立：
点评：对于火柴棒问题，要观察题干，根据数字特点结合运算符号进行分析．
54．这些直线最少有0个交点，最多有4950个交点
【详解】试题分许：这些直线交点最少时，100条直线互相平行；这些直线交点最多时，100条直线两两相交．依此即可求解．
解答：解：100条直线互相平行时没有交点，
所以这些直线最少有0个交点；
n条直线最多有n（n﹣1）个交点，
所以100条直线最多有×100×（100﹣1）=4950个交点，
答：这些直线最少有0个交点，最多有4950个交点．
点评：考查了组合图形的计数，注意平行和相交的特征，应理解和应用．
55．（1）7，10；（2）剪切5次，把铁丝分成16段，剪切10次可分成31段．
（3）按照上面的方法剪切23次时，铁丝分成70段．
【详解】试题分析：（1）查出每次剪完后，可剪的段数，再进行填空．
（2）根据观察剪的段数是：剪的次数减1乘3的积再加4的和，就是剪的段数可用式子：y=4+3（x﹣1）来表示．
可求出剪5次，剪10次可剪的段数．
（3）根据y=4+3（x﹣1）可求出剪的次数．
解答：解：（1）
（2）4+3×（5﹣1）
=4+3×4
=4+12
=16（段）
4+3×（10﹣1）
=4+3×9
=4+27
=31（段）
答：剪切5次，把铁丝分成16段，剪切10次可分成31段．
（3）当y=70时，
70=4+3（x﹣1）
70=4+3x﹣3
3x=69
x=23
答：按照上面的方法剪切23次时，铁丝分成70段．
故答案为7，10．
点评：本题的关键是找出规律再进行解答．
56．(1) 5×＝5－
(2)100×＝100－
【详解】（1）根据算式的规律，可知⑤的算式为5×＝5－
再画出对应的图，每个小正方形可看做“单位1”，表示，将“单位1”平均分成6份，阴影部分占5份，5×可画为
（2）第100个图形对应的算式为100× SKIPIF 1 < 0 =100- SKIPIF 1 < 0 ，即100×＝100－
57．
【详解】试题分析：从图中观察可知，第一幅图中的四个阴影部分在中间的对角线上，第二幅图的阴影部分向对角线的右面移了三个阴影，多余的一个，移到了对角线的左下，第三幅图中的阴影部分向对角线的右面移了二个阴影，多余的二个，移到了对角线的左下．照这样的变化，第四幅图的阴暗部分应是有对角线的右上角有一个，对角线的右下有3个．据此解答．
解答：解：根据分析画图如下：
点评：本题主要考查了学生认识观察发现规律的能力．
58．20块
【分析】足球是用黑、白两种颜色的皮缝制而成的。黑皮是正五边形，白皮是正六边形，通过观察图形，一块黑色周围有6块白皮，一块白皮周围有三块黑皮，黑皮和黑皮不相邻，黑皮的所有边都与白皮相邻，而白皮的六条边有三条与黑皮相邻，三条与白皮相邻；从而得出结论：所有黑皮的边数＝所有白皮的边数÷2，由此得解。
【详解】所有的黑皮的边数：12×5＝60，一块白皮的边数是6，则白皮的数量为：
60×2÷6
＝120÷6
＝20（块）
答：白皮有20块。
【点睛】此题考查了图形的拼组，发现黑皮的总边数等于白皮总边数的一半是解决此题的关键。
59．51个
【分析】第1个正方体中有0个直角三角形；第2个正方体中有4个直角三角形；第3个正方体中有8个直角三角形；第4个正方体中有12个直角三角形。由此得出规律，三角形的个数都是4的倍数，然后得出假设第n个正方体，就有（n－1）×4个直角三角形。
【详解】根据图中的数据可得：1个正方形有0个三角形，可以写成（1－1）×4个；
2个正方形有4个三角形，可以写成（2－1）×4个；
3个正方形有8个三角形，可以写成（3－1）×4个；
4个正方形有12个三角形，可以写成（4－1）×4个；
所以当正方形的个数为a时，三角形的个数可以写成：（a－1）×4个；
设需要画a个正方形才得到200个直角三角形，则根据上面的结论可得：
（a－1）×4＝200
a－1＝200÷4
a－1＝50
a＝51
答：应画51个正方形。
【点睛】本题的关键是根据图形发现规律：第1个正方体就有0×4个直角三角形；第2个正方体就有（2－1）×4个直角三角形，然后以此类推。
60． 1＋2×4 1＋3×4 1＋4×4 5 9 13 17 4n－3
【分析】通过观察发现，第一个图的点子数是1，第二个图的点子数是1＋4＝5，第三个图的点子数是1＋2×4＝9，第4个图的点子数是1＋3×4＝13，第五个图的点子数是1＋4×4＝17，由此可知用A表示第n个图形中点子的总个数，A和n之间的关系可以表示成A＝4n－3，据此解答即可。
【详解】如图：
由分析可得：A＝1＋4（n－1）＝4n－3
【点睛】此题主要考查学生根据图形规律，归纳出规律关系式，然后进行代数解答。
层数
1
2
3
…
6
表面积/cm2
6
18
36
…
126
序号
1
2
3
4
5
…
表示点子数的算式
1
1＋4
1＋2×4
1＋3×4
1＋4×4
…
点子的总个数
1
5
9
13
17
…