第16讲 锐角三角函数-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答

这是一份第16讲 锐角三角函数-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答，共6页。试卷主要包含了单调性；，互余三角函数间的关系；，同角三角函数间的关系，化简，如图，在等腰Rt△ABC中等内容，欢迎下载使用。
三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：
1．单调性；
2．互余三角函数间的关系；
3．同角三角函数间的关系．
平方关系：sin2α+cs2α=1；
商数关系：tgα=，ctgα=；
倒数关系：tgαctgα=1．
【例题求解】
【例1】 已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝，tanB=2，AB=29cm，
则S△ABC = ．

思路点拨 过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=，tanB=，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值．
注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：
(1) S△ABC=；
（2）．
【例2】 如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=( )
A． B． C．0.3 D．

思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．
（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．
【例3】 如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值．
思路点拨 作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．
【例4】 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cs∠DAC，
(1)求证：AC＝BD；
(2)若sinC=，BC=12，求AD的长．

思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；
(2) sinC=，引入参数可设AD=12，AC＝13．
【例5】 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程的两个根．
(1)求实数、应满足的条件；
(2)若、满足(1)的条件，方程的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦?

思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立、等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数、应满足的条件．
学力训练
1．已知α为锐角，下列结论①sinα+csα=l；②如果α>45°，那么sinα>csα；③如果csα> ，那么α