第20讲 直线与圆-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答

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讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：
注： 点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点．
【例题求解】
【例1】 如图，AB是半圆O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为 ．
思路点拨 从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半径．
注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用．
【例2】 如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数是( )
A．65° B．115° C．60°和115° D．130°和50°
(山西省中考题)
思路点拨 略
【例3】 如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是⊙O的切线．
问：(1)若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB为半径的圆的交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由；
(2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切? (2001年黑龙江省中考题)
思路点拨 (1)是结论探索题，(2)是条件探索题，从切线的判定方法和性质入手，分别画图，方能求解．
【例4】 如图，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点(与点A、B不重合)，Q是BC边上的动点(与点B、C不重合)．
(1)当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段PC的长；
(2)当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由． (广州市中考题)
思路点拨 对于(2)，易发现只有点P能作为直角顶点，建立一个研究的模型——以CQ为直径的圆与线段AB的交点就是符合要求的点P，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ的取值范围．

注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有：
(1)从直线与圆交点个数入手；
(2)利用角证明，即证明半径和直线垂直；
(3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径．
一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑；
【例5】如图，在正方形ABCD中，AB=1，EQ \(\s\up 8(︵),\s\d 1(AC))是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作EQ \(\s\up 8(︵),\s\d 1(AC))所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．
（1）当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；
（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图，当EF=时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．
思路点拨 图中有多条⊙B的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的基础，对于(3)，由(2)求出的值，确定E点位置，这是解题的关键．
注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互
助等思想方法，具有较强的选拔功能．
学力训练
1．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，若OA=， FM=，那么△PMB的周长为 ．
2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则
∠ACB= ．
3．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠F=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是 ．
4．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D，过点D作⊙O的切线交AC于E，要使DE⊥AC，则△ABC的边必须满足的条件是 ．

5．、表示直线，给出下列四个论断：①∥；②切⊙O于点A；③切⊙O于点B；④AB是⊙O的直径．若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为( )
1 B．2 C．3 D．4

6．如图，圆心O在边长为的正方形ABCD的对角线BD上，⊙O过B点且与AD、DC边均相切，则⊙O的半径是( )
A． B． C． D．

7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC