专题39 重要的几何模型之中点模型（二）-【几何模型】最新中考数学二轮复习 常见几何模型全归纳与精练（全国通用）

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1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法。
专题39 重要的几何模型之中点模型（二）
中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：直角三角形斜边中线模型
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，若AD为斜边上的中线，则：
（1）；（2），为等腰三角形；（3），．

图1 图2
拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）．
模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）
例1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则 ．
例2．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则 ．
例3．（2023·河南新乡·统考三模）如图，点O为菱形的对角线的交点，过点C作于点E，连接，若，则菱形的面积为 ．

例4．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，四边形中，，，连接．是的中点，连接．若，则的面积为 ．

例5．（2023·江苏常州·中考真题）如图，是的弦，点C是优弧上的动点（C不与A、B重合），，垂足为H，点M是的中点．若的半径是3，则长的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
例6．（2023·辽宁鞍山·校考三模）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边的中点，连接，，，则下列说法不正确的是（ ）

A． B． C． D．四边形是平行四边形
模型2：中位线模型
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE//BC且，△ADE∽△ABC。
中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。
模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。
例1．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为 ．

例2．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ）

A．1B．2C．3D．4
例3．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为 ．
例5．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．

例6．（2023·江苏镇江·统考中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作：

（1）取，的中点D，E，在边上作；（2）连接，分别过点D，N作，，垂足为G，H；（3）将四边形剪下，绕点D旋转至四边形的位置，将四边形剪下，绕点E旋转至四边形的位置；
（4）延长，交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q，A，T在一条直线上；②四边形是矩形；③；④四边形与的面积相等．
【任务1】请你对结论①进行证明．【任务2】如图2，在四边形中，，P，Q分别是，的中点，连接．求证：．
【任务3】如图3，有一张四边形纸，，，，，，小丽分别取，的中点P，Q，在边上作，连接，她仿照小宏的操作，将四边形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的长．
模型3：中点四边形模型
中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。
中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。
结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．
如图1，已知点M、N、P、Q是任意四边形ABCD各边中点，则四边形MNPQ为平行四边形。

图1 图2
结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）
如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，则四边形MNPQ为矩形。
结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）
如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，则四边形MNPQ为菱形。

图3 图4
结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．
如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB，则四边形MNPQ为正方形。
推广与应用
1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。
2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。
例1．（2023·广东阳江·统考二模）若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形的两条对角线，一定是（ ）
A．互相平分B．互相平分且相等C．互相垂直D．相等
例2．（2023·江苏南通·统考二模）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC
例3．（2023·辽宁抚顺·中考模拟）如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（ ）
A．， B．， C．， D．，
例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在任意四边形中，，，，分别是，，，上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当，，，是各边中点，且时，四边形为菱形
B．当，，，是各边中点，且时，四边形为矩形
C．当，，，不是各边中点时，四边形可以为平行四边形
D．当，，，不是各边中点时，四边形不可能为菱形
例5．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（ ）

A．B．C．D．
例6．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【性质探究】：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系；
【问题解决】：（3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”；
【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点．
（4）试探索与的数量关系，并说明理由．（5）若，求的最小值．

课后专项训练
1．（2023·河北石家庄·校考模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在边上运动（不与B、C重合），交于点G，则下列等式错误的是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·海南海口·校联考模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的延长线上一动点，连接交于点，若，，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
4．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在边长为 的正方形中，，连接，，， 分别是，的中点，连接，则的长为（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（ ）

A．B．C．3D．2
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，对角线与交于点O，若，，点E是边的中点，则的长为（ ）
A．5B．4C．6D．8
7．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．四边形是矩形
B．四边形的内角和小于四边形的内角和
C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和
D．四边形的面积等于四边形面积的
8．（2023下·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，E，F，G，H分别是，，，的中点，且，下列结论：①四边形是菱形；②；③若，则；④；其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2023·山东临沂·统考一模）四边形的对角线，交点，点，，，分别为边， ，，的中点．有下列四个推断，
①对于任意四边形，四边形可能不是平行四边形；
②若，则四边形一定是菱形；③若，则四边形一定是矩形；
④若四边形是菱形，则四边形也是菱形．所有正确推断的序号是 ．
10．（2023下·江苏南京·八年级校考期中）点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点（不与A，B，C重合）．线段．，，，的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形是平行四边形；②存在无数个中点四边形是菱形；③存在无数个中点四边形是矩形；④存在一个中点四边形是正方形．所有正确结论的序号是 ．
11．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为 ．

12．（2023·江西上饶·校联考二模）在中，，，，是的中点，是上的动点，若点到的一边的距离为2，则的长为 ．
13．（2023·广东广州·校考三模）如图，中，，，，是的中线，是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，交线段于点，当是直角三角形时，则 ．

14．（2023·陕西西安·校考模拟预测）在四边形中，对角线平分，、、分别为、、中点，连接交于，交于，若，，且，则= ．

15．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在矩形中，点E为的中点，将绕点D旋转得到，连接，G为的中点，连接，若，， ，当时，的长为 ．
16．（2023·安徽·校联考二模）如图，在中，，延长到点D，，点E是的中点，交于点F，则的面积为 ．

17．（2023·江苏南通·统考一模）如图，是四边形的对角线，，点在边上，连接交于，取的中点若，，，则的最小值为 ．

18．（2023·浙江·模拟预测）如图，已知，，，，绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P、Q．当为等腰三角形时，AP的长为 ．

19．（2023下·山西临汾·八年级统考期中）综合与探究：如图1，四边形中，、、、分别是、、、的中点，顺次连接、、、．
(1)猜想四边形的形状是________（直接回答，不必说明理由）．
(2)如图2，在四边形内一点，使，，，其他条件不变，试探究四边形的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，，，，，求四边形的面积．
20．（2023下·河北石家庄·八年级统考期中）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．
（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形；
②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形．
（2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．
21．（2023·广东深圳·深圳市海湾中学校考三模）类比探究
【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则把绕着A逆时针方向旋转，连接和．

①如图2，找出图中的另外一组相似三角形_________②若，，，则__________．
【迁移应用】在中，，，D、E、M分别是、、中点，连接和．①如图3，写出和的数量关系__________；②如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，当D落在上时，连接和，取中点N，连接，若，求的长．
【创新应用】如图5：，，是直角三角形，，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，且，连接，请直接写出的取值范围．

22．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践：数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中，AB=2，BC=3，则 ；(3)当AB=m , BC=n时． ．(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 ．
23．（2023·河南新乡·联考二模）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
【定理证明】请根据教材内容，结合图1，写出证明过程．
【定理应用】如图2，在矩形中，，点O为的中点，点M为边上一动点，点N为的中点，连接、、．

（1）当时，与的数量关系是__________，的值为__________；
（2）如图3，在平行四边形中，点E为边上一点，连接，点P在上，，点G是的中点，连接交于点F，若点F为的中点，，连接．
①求的度数；②直接写出的值．
如图23.4.2，在中，点D、E分别是与的中点．根据画出的图形，可以猜想：

，且，对此，我们可以用演绎推理给出证明．