2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高三（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高三（上）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知集合，集合，则 ．
2．（4分）函数在区间，上的平均变化率为 ．
3．（4分）已知，如果，那么实数的值为 ．
4．（4分）已知某校高三年级共480名同学，其中男生一共288人，现在为了了解该年级学生对于该校95周年校庆活动安排的想法，按照性别进行分层随机抽样，需要抽取一个容量为40的样本进行调查，则抽取的男生人数为 ．
5．（4分）已知圆柱的底面半径为3，母线长为6，则该圆柱的表面积为 ．
6．（4分）展开式中的系数为 ．
7．（5分）已知函数，则 ．
8．（5分）已知角，为锐角，，，则的值为 ．
9．（5分）已知定义在上的函数满足，当时，，，若，则的最小值为 ．
10．（5分）某校需要选拔4名同学参与该校95周年校庆活动的引导工作，现在有3位高一同学、2位高二同学和1位高三同学报名参如，则每个年级都有同学被选中的概率为 ．
11．（5分）已知函数，，若函数有6个不同的零点．则实数的范围是 ．
12．（5分）已知，，，是1，2，，满足下列性质的一个排列，性质：排列，，，中有且仅有一个，2，，，当时，满足性质的数列一共有 个．
二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）
13．（4分）已知，，则“，”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
14．（4分）在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
15．（5分）已知，，点为动点，点为线段上的点且满足，当取最小值时，△的外接圆的面积为
A．B．C．D．
16．（5分）中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线，是曲线上的一个动点．则下列结论正确的个数是
①曲线关于原点对称
②曲线上满足的有且只有一个
③动点到定点，距离之和的最小值为
④若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为，，
A．1个B．2个C．3个D．4个
三、解答题
17．（14分）如图，长方体中，，，点为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（14分）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
19．（14分）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．
（1）当时，求停车场的面积（精确到0.1平方米）；
（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．
20．（18分）给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的两个焦点分别是．
（1）若椭圆上一动点满足，求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点，作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，求点的坐标；
（3）已知，是否存在，，使椭圆的“伴随圆”上的点到过两点，的直线的最短距离．若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
21．（18分）设函数，直线是曲线在点，处的切线．
（1）当时，求单调区间；
（2）求证：不经过；
（3）当时，设点，，，，，，，，，为与轴的交点，与分别表示△和△的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
参考答案
一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12增每题5分，满分54分）
1．（4分）已知集合，集合，则 ．
解：集合，集合，
则．
故答案为：．
2．（4分）函数在区间，上的平均变化率为 ．
解：函数在区间，上的平均变化率为．
故答案为：．
3．（4分）已知，如果，那么实数的值为 4 ．
解：因为，且，
所以．
故答案为：4．
4．（4分）已知某校高三年级共480名同学，其中男生一共288人，现在为了了解该年级学生对于该校95周年校庆活动安排的想法，按照性别进行分层随机抽样，需要抽取一个容量为40的样本进行调查，则抽取的男生人数为 24 ．
解：某校高三年级共480名同学，其中男生一共288人，
需要抽取一个容量为40的样本进行调查，
则抽取的男生人数为．
故答案为：24．
5．（4分）已知圆柱的底面半径为3，母线长为6，则该圆柱的表面积为 ．
解：由题意得，，
圆柱的表面积，
代入解得，
故答案为：．
6．（4分）展开式中的系数为 15 ．
解：根据二项式展开．
故答案为：15．
7．（5分）已知函数，则 ．
解：函数，
则，
故，解得．
故答案为：．
8．（5分）已知角，为锐角，，，则的值为 ．
解：因为角、为锐角，
所以，
又，
所以，
所以，
又，
所以．
故答案为：．
9．（5分）已知定义在上的函数满足，当时，，，若，则的最小值为 4 ．
解：因为定义在上的函数满足，
所以，即函数的周期为6，
当时，，，
若（2），则，
，当且仅当时取等号．
故答案为：4．
10．（5分）某校需要选拔4名同学参与该校95周年校庆活动的引导工作，现在有3位高一同学、2位高二同学和1位高三同学报名参如，则每个年级都有同学被选中的概率为 ．
解：根据题意可分，①2位高一，1位高二，1位高三，此时共有种，
②1位高一，2位高二，1位高三，此时共有种，
而从6人中选择4人所有的选择方法有，
则每个年级都有同学被选中的概率为．
故答案为：．
11．（5分）已知函数，，若函数有6个不同的零点．则实数的范围是 ．
解：作函数的图象如下，
是开口向上的二次函数，其零点个数最多为2个，
①若只有一个解，则函数最多只有4个零点，不合题意；
②若有两个解，要使函数有6个零点，则需两个零点满足或，
若为，则，此时无解；
若为，则需，即，解得．
综上，实数的取值范围为．
故答案为：．
12．（5分）已知，，，是1，2，，满足下列性质的一个排列，性质：排列，，，中有且仅有一个，2，，，当时，满足性质的数列一共有 26 个．
解：当时，1，2，3所有的排列有：，2，，，3，，，1，，，3，，，2，，，1，，其中满足仅存在一个，2，，使得的排列有：，3，，，1，，，3，，，1，；
（3）；
当，由1，2，3，4构成的所有种排列中，符合性质的排列有：，2，4，，，3，2，，，3，4，，，4，2，，，1，3，，，3，1，，，3，4，，，4，1，，，1，2，，，4，1，，，1，2，，故（4）；
同理可得：（5）．
故答案为：26．
二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）
13．（4分）已知，，则“，”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
解：已知，，则由，可得，则充分性成立；
由不能推出，，如，，满足，但不满足，，故必要性不成立，
则“，”是“”的充分不必要条件．
故选：．
14．（4分）在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：，对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：．
15．（5分）已知，，点为动点，点为线段上的点且满足，当取最小值时，△的外接圆的面积为
A．B．C．D．
解：以为坐标原点，所在的直线为轴，
过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，又，
所以所在的直线为，
设，则，，
所以，
当时，最小，此时点，
因为，所以，
所以点的坐标为，
则，
设△外接圆的半径为，
由正弦定理得，
所以，所以．
故选：．
16．（5分）中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线，是曲线上的一个动点．则下列结论正确的个数是
①曲线关于原点对称
②曲线上满足的有且只有一个
③动点到定点，距离之和的最小值为
④若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为，，
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：设，则根据双纽线的定义有，
故，即曲线的轨迹方程为．
用替换方程中的，原方程不变，曲线关于原点中心对称，故①正确；
若曲线上点满足，则点在的垂直平分线，即轴上，故，
代入曲线方程得，解得，所以这样的点仅有一个，故②正确；
，当且仅当时，等号成立，
，故③正确；
由题意知直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点，
将代入曲线方程中，方程无非零解，则，解得或，
故④正确．
故选：．
三、解答题
17．（14分）如图，长方体中，，，点为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）设交于，连，
为的中点，为的中点
又面，面
平面
解：（2）连交于点，连，
则，
又，，
平面，
即即为直线与平面所成角
，
（12分）
18．（14分）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为，
所以当且时，，
两式相减得当且时，，
又因为，所以，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以．
（2）由（1），所以，令，
则，
所以当且时，，
故且为减函数，
而，
又因为恒成立，
所以，
所以实数的取值范围为．
19．（14分）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．
（1）当时，求停车场的面积（精确到0.1平方米）；
（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．
解：（1）在中，，，
由正弦定理得，
，
则停车场面积（平方米），
（2）在中，，，
由正弦定理得，
，
则停车场的面积为，
，
因为，所以，
当，即时，停车场的面积最大．
20．（18分）给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的两个焦点分别是．
（1）若椭圆上一动点满足，求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点，作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，求点的坐标；
（3）已知，是否存在，，使椭圆的“伴随圆”上的点到过两点，的直线的最短距离．若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）依题意，，，
，
椭圆的方程为：，
其“伴随圆”的方程为：；
（2）设直线的方程为：，
联立，消去整理得：
，
令△，
解得：，
直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，
，即，
，
解得：，，
，，
点的坐标为：；
（3）结论：存在、满足题意．
理由如下：
过两点、的直线的方程为：，
整理得：，
，
，即，
圆心到直线的距离，
当时，，但，故等式不能成立；
当时，，
，
，
又，
，
，
解得：或（舍，
，
综上所述，存在、满足题意．
21．（18分）设函数，直线是曲线在点，处的切线．
（1）当时，求单调区间；
（2）求证：不经过；
（3）当时，设点，，，，，，，，，为与轴的交点，与分别表示△和△的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
解：（1）当时，，定义域为，
，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）依题意，，切线的斜率为，
则切线的方程为，假设切线过原点，
将代入，得，即，
则，即，令，，
求导得，则在上单调递增，
于是，函数在上无零点，即假设不成立，
切线不过．
（3）当时，，，，，，，
由（2）知，，
由，得，即，
即，整理得，
令，
求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数极大值，
极小值（4），
又，，
因此函数在上有两个零点，
存在点使得且点有两个．